Derivadas: pack de clase de Matemáticas II

Cuatro piezas para dar o repasar este tema con ejercicios reales de la PAU de la Comunitat Valenciana. Se leen y se imprimen sin registro.

Procedencia de las resoluciones. Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar. Los enunciados son de las pruebas oficiales; las resoluciones son de Tu Selectividad. Si ves un fallo, usa «Reportar error» en la resolución.

Chuleta de una página

Ideas clave y fórmulas del apunte del tema, en una hoja A4. Leer el apunte completo.

Derivadas

Matemáticas II · PAU Comunitat Valenciana

Ideas clave

Calcular una tasa de variación media y una derivada (en un punto y como función) aplicando la definición con límites.
Derivar polinomios, productos, cocientes, potencias, raíces, logaritmos y exponenciales sin consultar la tabla.
Derivar funciones trigonométricas y sus inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente).
Encadenar reglas con la regla de la cadena en funciones de varias capas.
Usar la derivación logarítmica en funciones con $x$ en la base y en el exponente, y evitar los errores de simplificación más habituales.
A continuación calculamos derivadas por la definición, con límites. Hay que saberlo porque se puede pedir expresamente («calcula $f^{'} (a)$ por la definición»), aunque en la práctica diaria usaremos las reglas de la sección 3.

Fórmulas

T.V.M. en $[a, b]$: $\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}$
Derivada en $a$: $f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
Producto / cociente: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ; $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$
Potencia / raíz: $(u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}$ ; $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$
Logaritmos: $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ ; $(lo g_{a} u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u l n a}$
Exponenciales: $(e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}$ ; $(a^{u})^{'} = a^{u} u^{'} ln a$
Trigonométricas: $(sen u)^{'} = u^{'} cos u$ ; $(cos u)^{'} = - u^{'} sen u$ ; $(tg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{c o s ^{2} u}$
Inversas: $(arcsen u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$ ; $(arccos u)^{'} = \frac{- u ^{'}}{1 - u ^{2}}$ ; $(arctg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$
Derivación logarítmica: $ln y = g ln f \Rightarrow y^{'} = y [g^{'} ln f + g \frac{f ^{'}}{f}]$

Errores típicos

Los errores que declaran las resoluciones publicadas de este tema, agrupados por frecuencia y con el ejercicio donde ocurren.

Las resoluciones de este tema todavía no declaran errores típicos, así que no mostramos ninguno. Los iremos añadiendo cuando las resoluciones los incluyan.

Ejercicios tipo

7 ejercicios oficiales del tema, del más reciente al más antiguo.

Hoja para el alumnado, sin soluciones Hoja para el profesor, con soluciones

Extraordinaria 2009 2009

Ejercicio 3.2, opción B. Dada la función real , se pide calcular razonadamente: Ver resolución paso a paso
Ejercicio 4.2, opción B. Una lámina metálica rectangular se dilata uniformemente por calentamiento, aumentando su base y su altura por minuto. Averiguar la velocidad… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2008 2008

Ejercicio 4.1. Un móvil se mueve con velocidad constante de , en el primer cuadrante, sobre la recta , partiendo del punto situado a del origen. Se pide ob… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2007 2007

Ejercicio 3.2. Sea la función con dominio los números reales no nulos . Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2007 2007

Ejercicio 3.2. Se considera la función real , donde , y son parámetros reales. Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2006 2006

Ejercicio A.4, opción A. Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de . Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2006 2006

Ejercicio A.4, opción A. Una persona camina a la velocidad constante de alejándose horizontalmente en línea recta desde la base de un farol cuyo foco luminoso está a… Ver resolución paso a paso

Mini-examen de 20 minutos

Tres ejercicios oficiales de convocatorias distintas, los más recientes del tema, con el baremo de cada apartado. Una hoja para el alumnado, sin soluciones, y otra para ti.

Mini-examen: Derivadas

Matemáticas II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 9,9 puntos

Nombre y grupo: ______________________________ Fecha: ____________

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2009 2009, ejercicio 3.2, opción B · 3,3 puntos
Dada la función real $f (x) = \frac{8}{1 + x ^{2}}$ , se pide calcular razonadamente:
- a)Las derivadas primera y segunda de la función $f (x)$ (0,8 puntos). (0,8 puntos)
- b)Los puntos de inflexión de la curva $y = f (x)$ (1 punto). (1 punto)
- c)La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva $y = f (x)$ (1,5 puntos). (1,5 puntos)
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2008 2008, ejercicio 4.1 · 3,3 puntos
Un móvil se mueve con velocidad constante de $2 m/s$ , en el primer cuadrante, sobre la recta $x = 1$ , partiendo del punto $M = (1, 0)$ situado a $1 m$ del origen. Se pide obtener razonadamente:
- a)Las coordenadas del punto $M (t)$ donde está situado el móvil después de $t$ segundos (1 punto). (1 punto)
- b)La función $m (t)$ igual a la pendiente de la recta que pasa por el punto $O = (0, 0)$ y por el punto $M (t)$ (1,3 puntos). (1,3 puntos)
- c)La derivada de la función $m (t)$ (1 punto). (1 punto)
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2007 2007, ejercicio 3.2 · 3,3 puntos
Sea la función con dominio los números reales no nulos $f (x) = \frac{4}{x}$ .
- a)Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f (x)$ en el punto de abscisa $x = 2$ (1,8 puntos). (1,8 puntos)
- b)Determinar los puntos $M$ y $N$ de la gráfica de $f (x)$ para los que las rectas tangentes a la gráfica en $M$ y $N$ se cortan en el punto $(4, - 8)$ (1,5 puntos). (1,5 puntos)

Mini-examen: Derivadas (hoja del profesor)

Matemáticas II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 9,9 puntos

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2009 2009, ejercicio 3.2, opción B · 3,3 puntos
Baremo: a) 0,8 · b) 1 · c) 1,5
Apartado a
1. Derivada primera con la regla de la cadena: $f (x) = 8 (1 + x^{2})^{- 1}$ .
  $f^{'} (x) = - \frac{16 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$
2. Derivada segunda con la regla del cociente.
  $f^{''} (x) = \frac{16 ( 3 x ^{2} - 1 )}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}$
Apartado b
1. $f^{''} (x) = 0 ⟺ 3 x^{2} - 1 = 0 ⟺ x = \pm \frac{3}{3}$ . $f^{''}$ cambia de signo en ambos puntos (negativa entre ellos y positiva fuera), luego son inflexiones. Ordenada: $f (\pm \frac{3}{3}) = \frac{8}{1 + 1/3} = 6$ .
  Puntos de inflexión: $(- \frac{3}{3}, 6)$ y $(\frac{3}{3}, 6)$
Apartado c
1. La pendiente de la tangente en $x$ es $f^{'} (x)$ . Para maximizarla buscamos los máximos de $f^{'}$ : sus puntos críticos son los ceros de $f^{''}$ , $x = \pm \frac{3}{3}$ . Como $f^{'''} (- \frac{3}{3}) < 0$ , $f^{'}$ tiene máximo en $x = - \frac{3}{3}$ ; además $f^{'} \to 0$ en $\pm \infty$ .
  Pendiente máxima: $33 \approx 5, 20$ , en $x = - \frac{3}{3}$ .
Respuesta final: a) $f^{'} = - \frac{16 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$ , $f^{''} = \frac{16 ( 3 x ^{2} - 1 )}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}$ . b) $(\pm \frac{3}{3}, 6)$ . c) $33$ (en $x = - \frac{3}{3}$ ).
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2008 2008, ejercicio 4.1 · 3,3 puntos
Baremo: a) 1 · b) 1,3 · c) 1
Apartado a
1. El móvil se mueve sobre $x = 1$ (la abscisa no cambia) en sentido ascendente (primer cuadrante), con velocidad $2$ m/s: la ordenada aumenta $2 t$ en $t$ segundos.
  $M (t) = (1, 2 t)$
Apartado b
1. La recta por $O = (0, 0)$ y $M (t) = (1, 2 t)$ tiene como pendiente el cociente entre la variación de $y$ y la de $x$ .
  $m (t) = 2 t$
Apartado c
1. Derivamos respecto del tiempo.
  $m^{'} (t) = 2$ (constante)
Respuesta final: a) $M (t) = (1, 2 t)$ . b) $m (t) = 2 t$ . c) $m^{'} (t) = 2$ .
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2007 2007, ejercicio 3.2 · 3,3 puntos
Baremo: a) 1,8 · b) 1,5
Apartado a
1. Punto: $f (2) = 2$ . Pendiente de la tangente: $f^{'} (x) = - \frac{4}{x ^{2}}$ , así que $f^{'} (2) = - 1$ .
  Tangente: $y = - x + 4$
2. La normal es perpendicular a la tangente: pendiente $- 1/ f^{'} (2) = 1$ .
  Normal: $y = x$
Apartado b
1. Tangente en el punto $(a, \frac{4}{a})$ , con $f^{'} (a) = - \frac{4}{a ^{2}}$ .
2. Imponemos que pase por $(4, - 8)$ .
  $a = 1$ o $a = - 2$
3. Puntos correspondientes: $f (1) = 4$ y $f (- 2) = - 2$ .
  $M = (1, 4)$ y $N = (- 2, - 2)$
Respuesta final: a) Tangente $y = - x + 4$ ; normal $y = x$ . b) $M = (1, 4)$ y $N = (- 2, - 2)$ .

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