Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2007 · Extraordinaria 2007

1.13.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Dado el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ 6 x + 3 y + 2 z = 5 3 x + 4 y + 6 z = 3 x + 3 y + 2 z = α$ , se pide:

a)Justificar que para cualquier valor del parámetro real $α$ , el sistema tiene solución única (1 punto).
b)Hallar la solución del sistema en función del parámetro $α$ (1,3 puntos).
c)Determinar el valor de $α$ para el que la solución $(x, y, z)$ del sistema satisface $x + y + z = 1$ (1 punto).

Apartado a

1. El parámetro $α$ solo aparece en el término independiente, así que no afecta a la matriz de coeficientes. Su determinante es:
$∣ A ∣ = 631343262 = 6 (8 - 18) - 3 (6 - 6) + 2 (9 - 4) = - 60 - 0 + 10 = - 50 \neq = 0$
$rango (A) = rango (A^{*}) = 3 =$ número de incógnitas: compatible determinado para todo $α$ .

Apartado b

1. Aplicamos la regla de Cramer con $∣ A ∣ = - 50$ .
$x = \frac{5 3 α 3 4 3 2 6 2}{- 50} = \frac{10 α - 50}{- 50}, y = \frac{6 3 1 5 3 α 2 6 2}{- 50} = \frac{30 - 30 α}{- 50}, z = \frac{6 3 1 3 4 3 5 3 α}{- 50} = \frac{15 α - 20}{- 50}$
2. Simplificamos las fracciones.
$x = 1 - \frac{α}{5}, y = \frac{3 α - 3}{5}, z = \frac{4 - 3 α}{10}$
$(x, y, z) = (1 - \frac{α}{5}, \frac{3 α - 3}{5}, \frac{4 - 3 α}{10})$
Comprobación con $α = 0$ : $(1, - \frac{3}{5}, \frac{2}{5})$ cumple las tres ecuaciones.

Apartado c

1. Sumamos las tres incógnitas e igualamos a $1$ .
$(1 - \frac{α}{5}) + \frac{3 α - 3}{5} + \frac{4 - 3 α}{10} = \frac{10 - 2 α + 6 α - 6 + 4 - 3 α}{10} = \frac{8 + α}{10} = 1$
$α = 2$
Entonces $(x, y, z) = (\frac{3}{5}, \frac{3}{5}, - \frac{1}{5})$ y $x + y + z = 1$ .

1.23.3 puntos

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Dadas las matrices $A = (6 - 1 41)$ y $X = (x y)$ , se pide:

a)Obtener razonadamente todos los valores de $α$ para los que $(00)$ es la única solución de la ecuación matricial $A X = α X$ (1,5 puntos).
b)Resolver la ecuación matricial $A X = 2 X$ (1,8 puntos).

Apartado a

1. $A X = α X$ equivale al sistema homogéneo $(A - α I) X = 0$ , que siempre tiene la solución nula. Esta es la única si y solo si $∣ A - α I ∣ \neq = 0$ .
$∣ A - α I ∣ = 6 - α - 1 4 1 - α = (6 - α) (1 - α) + 4 = α^{2} - 7 α + 10 = (α - 2) (α - 5)$
La solución nula es la única para $α \neq = 2$ y $α \neq = 5$ .

Apartado b

1. Para $α = 2$ : $(A - 2 I) X = 0$ con $A - 2 I = (4 - 1 4 - 1)$ , que tiene rango $1$ (las dos ecuaciones son $x + y = 0$ ).
${4 x + 4 y = 0 - x - y = 0 \Rightarrow y = - x$
2. Tomamos $x = λ$ como parámetro.
$X = (λ - λ) = λ (1 - 1)$
$X = λ (1 - 1)$ , $λ \in R$
Comprobación: $A (1 - 1) = (2 - 2) = 2 (1 - 1)$ .

2.13.3 puntos

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Dado el plano $π : 2 x + y + 3 z - 1 = 0$ y el punto $Q = (2, 1, 3)$ , se pide calcular:

a)La distancia del punto $Q$ al plano $π$ (1,1 puntos).
b)El área del triángulo $Δ$ cuyos vértices $P_{1}$ , $P_{2}$ y $P_{3}$ son los puntos de intersección del plano $π$ con los ejes coordenados (1,1 puntos).
c)El volumen del tetraedro de vértices $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ y $Q$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Distancia de $Q = (2, 1, 3)$ al plano $2 x + y + 3 z - 1 = 0$ .
$d (Q, π) = \frac{∣2 \cdot 2 + 1 + 3 \cdot 3 - 1∣}{2 ^{2} + 1 ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{13}{14}$
$d = \frac{13}{14} = \frac{13 14}{14} \approx 3, 47$

Apartado b

1. Cortes con los ejes: con $y = z = 0$ , $x = \frac{1}{2}$ ; con $x = z = 0$ , $y = 1$ ; con $x = y = 0$ , $z = \frac{1}{3}$ .
$P_{1} = (\frac{1}{2}, 0, 0), P_{2} = (0, 1, 0), P_{3} = (0, 0, \frac{1}{3})$
2. El área es la mitad del módulo del producto vectorial de $P_{1} P_{2} = (- \frac{1}{2}, 1, 0)$ y $P_{1} P_{3} = (- \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3})$ .
$P_{1} P_{2} \times P_{1} P_{3} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}), S = \frac{1}{2} \frac{1}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{6}$
$S = \frac{14}{12} \approx 0, 31 u^{2}$

Apartado c

1. El volumen del tetraedro es un tercio del área de la base por la altura; la altura desde $Q$ es la distancia de $Q$ al plano de la base ( $π$ ).
$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot d (Q, π) = \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{12} \cdot \frac{13}{14} = \frac{13}{36}$
$V = \frac{13}{36} u^{3} \approx 0, 36$
Con el producto mixto: $V = \frac{1}{6} [P_{1} P_{2}, P_{1} P_{3}, P_{1} Q] = \frac{13}{36}$ .

2.23.3 puntos

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Dados los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ de ecuaciones $π_{1} : x + 2 y + z + 3 = 0$ y $π_{2} : 2 x + y - z - 6 = 0$ , se pide:

a)Calcular el ángulo $α$ que forman los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ (1,1 puntos).
b)Calcular la ecuación paramétrica de la recta $r$ , intersección de los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ (1,1 puntos).
c)Comprobar que el plano $π$ de ecuación $x + y - 1 = 0$ es el plano bisector de $π_{1}$ y $π_{2}$ , es decir, $π$ forma un ángulo $α /2$ con cada uno de los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ , donde $α$ es el ángulo obtenido en el apartado $a)$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. El ángulo entre planos es el agudo entre sus normales $n_{1} = (1, 2, 1)$ y $n_{2} = (2, 1, - 1)$ .
$cos α = \frac{∣2 + 2 - 1∣}{6 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$α = 6 0^{\circ}$

Apartado b

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de los normales.
$d = (1, 2, 1) \times (2, 1, - 1) = (- 2 - 1, 2 + 1, 1 - 4) = (- 3, 3, - 3) ∥ (1, - 1, 1)$
2. Un punto de $r$ : con $z = 0$ queda $x + 2 y = - 3$ y $2 x + y = 6$ , de donde $x = 5$ , $y = - 4$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 5 + t y = - 4 - t z = t$
$r : (5 + t, - 4 - t, t)$
Comprobación: $(5 + t) + 2 (- 4 - t) + t + 3 = 0$ y $2 (5 + t) + (- 4 - t) - t - 6 = 0$ .

Apartado c

1. Normal de $π$ : $n = (1, 1, 0)$ . Ángulo con $π_{1}$ :
$cos β_{1} = \frac{∣ ( 1 , 1 , 0 ) \cdot ( 1 , 2 , 1 ) ∣}{2 6} = \frac{3}{12} = \frac{3}{2}$
$β_{1} = 3 0^{\circ} = α /2$
2. Ángulo con $π_{2}$ :
$cos β_{2} = \frac{∣ ( 1 , 1 , 0 ) \cdot ( 2 , 1 , - 1 ) ∣}{2 6} = \frac{3}{12} = \frac{3}{2}$
$β_{2} = 3 0^{\circ} = α /2$
Además $π$ contiene a $r$ : $(5 + t) + (- 4 - t) - 1 = 0$ . Por tanto $π$ es bisector.

3.13.3 puntos

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Dadas las funciones reales $f (x) = 4 x^{2} + 2 x + 10$ y $g (x) = x^{3} + x^{2} + 5 x + 5$ . Se pide:

a)Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ (1,6 puntos).
b)Calcular la función $H (x) = \int \frac{f ( x )}{g ( x )} d x$ que cumple $H (0) = 0$ (1,7 puntos).

Asíntotas de f(x)/g(x)

Apartado a

1. Factorizamos el denominador: $x = - 1$ es raíz ( $- 1 + 1 - 5 + 5 = 0$ ), y por Ruffini $g (x) = (x + 1) (x^{2} + 5)$ , con $x^{2} + 5$ sin raíces reales. El numerador no se anula en $x = - 1$ : $f (- 1) = 4 - 2 + 10 = 12 \neq = 0$ .
$x \to - 1^{\pm} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{12}{0 ^{\pm}} = \pm \infty$
Asíntota vertical: $x = - 1$ .
2. El grado del numerador (2) es menor que el del denominador (3), luego el límite en el infinito es $0$ : asíntota horizontal $y = 0$ (en $+ \infty$ y en $- \infty$ ). No hay oblicua.
$x \to \pm \infty lim \frac{4 x ^{2} + 2 x + 10}{x ^{3} + x ^{2} + 5 x + 5} = 0$
Asíntota horizontal: $y = 0$ .

Apartado b

1. Fracciones simples: $\frac{4 x ^{2} + 2 x + 10}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 5 )} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 5}$ , luego $4 x^{2} + 2 x + 10 = A (x^{2} + 5) + (B x + C) (x + 1)$ . Con $x = - 1$ : $12 = 6 A \Rightarrow A = 2$ . Igualando coeficientes de $x^{2}$ : $4 = A + B$ , $B = 2$ ; del término en $x$ : $2 = B + C$ , $C = 0$ .
$\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{2}{x + 1} + \frac{2 x}{x ^{2} + 5}$
Comprobación del término independiente: $5 A + C = 10$ .
2. Integramos: $\int \frac{2}{x + 1} d x = 2 ln ∣ x + 1∣$ y $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 5} d x = ln (x^{2} + 5)$ .
$H (x) = 2 ln ∣ x + 1∣ + ln (x^{2} + 5) + K$
3. Condición $H (0) = 0$ : $2 ln 1 + ln 5 + K = 0$ , luego $K = - ln 5$ .
$H (x) = 2 ln ∣ x + 1∣ + ln (x^{2} + 5) - ln 5 = 2 ln ∣ x + 1∣ + ln \frac{x ^{2} + 5}{5}$
$H (x) = 2 ln ∣ x + 1∣ + ln (x^{2} + 5) - ln 5$

3.23.3 puntos

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4 resultados comprobados en 2 apartados
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Sea la función con dominio los números reales no nulos $f (x) = \frac{4}{x}$ .

a)Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f (x)$ en el punto de abscisa $x = 2$ (1,8 puntos).
b)Determinar los puntos $M$ y $N$ de la gráfica de $f (x)$ para los que las rectas tangentes a la gráfica en $M$ y $N$ se cortan en el punto $(4, - 8)$ (1,5 puntos).

Apartado a

1. Punto: $f (2) = 2$ . Pendiente de la tangente: $f^{'} (x) = - \frac{4}{x ^{2}}$ , así que $f^{'} (2) = - 1$ .
$y - 2 = - 1 (x - 2)$
Tangente: $y = - x + 4$
2. La normal es perpendicular a la tangente: pendiente $- 1/ f^{'} (2) = 1$ .
$y - 2 = 1 (x - 2)$
Normal: $y = x$

Apartado b

1. Tangente en el punto $(a, \frac{4}{a})$ , con $f^{'} (a) = - \frac{4}{a ^{2}}$ .
$y - \frac{4}{a} = - \frac{4}{a ^{2}} (x - a) \Rightarrow y = \frac{8}{a} - \frac{4 x}{a ^{2}}$
2. Imponemos que pase por $(4, - 8)$ .
$- 8 = \frac{8}{a} - \frac{16}{a ^{2}} \Rightarrow - 8 a^{2} = 8 a - 16 \Rightarrow a^{2} + a - 2 = 0$
$a = 1$ o $a = - 2$
3. Puntos correspondientes: $f (1) = 4$ y $f (- 2) = - 2$ .
$M = (1, 4), N = (- 2, - 2)$
$M = (1, 4)$ y $N = (- 2, - 2)$
Tangentes: $y = 8 - 4 x$ y $y = - 4 - x$ , ambas pasan por $(4, - 8)$ .

4.13.3 puntos

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2 resultados comprobados en 1 apartado
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Se tienen dos programas informáticos $A$ y $B$ . Para procesar $n$ datos, el programa $A$ realiza un número de operaciones elementales no superior a $12 + n 4 n^{3}$ , mientras que el programa $B$ ejecuta $n^{2} - 2 n + 10$ operaciones elementales.

)Comprobar que cuando el número $n$ de datos es grande, el programa $A$ procesa los $n$ datos con menos operaciones elementales que el programa $B$ (3,3 puntos).

1. Escribimos el número de operaciones de $A$ como potencia: $n 4 n^{3} = n \cdot n^{3/4} = n^{7/4}$ .
$A (n) = 12 + n^{7/4}, B (n) = n^{2} - 2 n + 10$
2. Comparamos con el cociente, que tiende a $0$ porque el numerador crece como $n^{7/4}$ y el denominador como $n^{2}$ (potencia mayor).
$n \to \infty lim \frac{A ( n )}{B ( n )} = n \to \infty lim \frac{12 + n ^{7/4}}{n ^{2} - 2 n + 10} = n \to \infty lim \frac{12 n ^{- 2} + n ^{- 1/4}}{1 - 2 n ^{- 1} + 10 n ^{- 2}} = 0$
Como $A / B \to 0 < 1$ , a partir de un cierto $n$ se tiene $A (n) < B (n)$ .
3. Precisamos desde cuándo. Sea $D (n) = B (n) - A (n) = n^{2} - 2 n - 2 - n^{7/4}$ . Con $n = 6$ : $D \approx - 1, 0 < 0$ ; con $n = 7$ : $D \approx 2, 9 > 0$ . Además $D^{'} (n) = 2 n - 2 - \frac{7}{4} n^{3/4}$ es creciente ( $D^{''} > 0$ ) y positiva en $n = 3$ , luego $D$ crece para $n \geq 3$ y se mantiene positiva.
$D (6) \approx - 1, 00, D (7) \approx 2, 88, D (8) \approx 7, 95, D (9) \approx 14, 23$
Para $n \geq 7$ el programa $A$ realiza menos operaciones que el $B$ (y la diferencia crece).

4.23.3 puntos

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El borde de un estanque está formado por el arco de curva $y = 4 - x^{2}$ de extremos $(- 2, 0)$ y $(2, 0)$ y el segmento rectilíneo que une estos dos puntos. Un surtidor está situado en el punto de coordenadas $(0, 2)$ . Se pide:

a)Determinar, razonadamente, el punto del segmento rectilíneo del borde del estanque que está más próximo del surtidor (0,8 puntos).
b)Determinar, razonadamente, los puntos del arco de curva del borde del estanque que están más próximos del surtidor (1,6 puntos).
c)¿Cuáles son los puntos del borde del estanque más próximos al surtidor? (0,9 puntos).

Estanque, surtidor y puntos más próximos

Apartado a

1. El segmento está sobre $y = 0$ , con $- 2 \leq x \leq 2$ . La distancia de $(x, 0)$ a $(0, 2)$ es $x^{2} + 4$ , mínima cuando $x = 0$ (o bien: el pie de la perpendicular desde el surtidor al eje $O X$ ).
$d (x) = x^{2} + 4 \Rightarrow d_{m i n} = d (0) = 2$
Punto más próximo del segmento: $(0, 0)$ , a distancia $2$ .

Apartado b

1. Un punto del arco es $(x, 4 - x^{2})$ , con $- 2 \leq x \leq 2$ . Minimizamos el cuadrado de la distancia al surtidor $(0, 2)$ , que tiene el mismo mínimo.
$D (x) = x^{2} + (4 - x^{2} - 2)^{2} = x^{2} + (2 - x^{2})^{2} = x^{4} - 3 x^{2} + 4$
2. Derivamos e igualamos a cero: $D^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x = 2 x (2 x^{2} - 3) = 0$ , con $x = 0$ o $x = \pm 3/2 = \pm \frac{6}{2}$ . Comparamos con los extremos del arco.
$D (0) = 4, D (\pm \frac{6}{2}) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 4 = \frac{7}{4}, D (\pm 2) = 8$
El mínimo es $D = \frac{7}{4}$ en $x = \pm \frac{6}{2}$ ; con $y = 4 - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$ .
$x = 0$ es un máximo relativo de $D$ ( $D^{''} (0) = - 6 < 0$ ).

Apartado c

1. Comparamos la distancia mínima en el segmento ( $2$ ) con la del arco ( $7/4 = \frac{7}{2} \approx 1, 32$ ).
$\frac{7}{2} \approx 1, 32 < 2$
Los puntos del borde más próximos al surtidor son $(\pm \frac{6}{2}, \frac{5}{2})$ , a distancia $\frac{7}{2}$ .