Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2006 · Extraordinaria 2006

A.1Opción A3.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Dado el sistema de ecuaciones con un parámetro real $λ$ e incógnitas $x$ , $y$ , $z$ , $⎩ ⎨ ⎧ (λ + 2) x - y + z = 0 3 x + (λ + 6) y - 3 z = 0 5 x + 5 y + (λ - 2) z = 0$ se pide:

a)Calcular para qué valores de $λ$ el sistema sólo admite la solución $(x, y, z) = (0, 0, 0)$ (1 punto).
b)Para cada valor de $λ$ que hace indeterminado el sistema, obtener todas sus soluciones (1,8 puntos).
c)Explicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las ecuaciones del sistema cuando $λ = - 3$ (0,5 puntos).

Apartado a

1. Un sistema homogéneo siempre admite la solución trivial; es la única si y solo si $∣ A ∣ \neq = 0$ . Calculamos $∣ A ∣$ sumando la columna 2 a la columna 3 (queda el factor $λ + 3$ ) y restando la fila 3 a la fila 2.
$∣ A ∣ = (λ + 3) λ + 2 35 - 1 λ + 6 5 011 = (λ + 3) λ + 2 - 2 5 - 1 λ + 1 5 001 = (λ + 3) [(λ + 2) (λ + 1) - 2]$
$∣ A ∣ = λ (λ + 3)^{2}$
2. Solo la solución $(0, 0, 0)$ cuando el determinante no se anula.
$λ (λ + 3)^{2} \neq = 0$
$λ \neq = 0$ y $λ \neq = - 3$

Apartado b

1. $λ = 0$ : la matriz $235 - 1 65 1 - 3 - 2$ tiene rango $2$ (el menor $23 - 1 6 = 15 \neq = 0$ ), así que la tercera ecuación sobra. Resolvemos con las dos primeras tomando $z = 5 k$ .
${2 x - y = - 5 k 3 x + 6 y = 15 k \Rightarrow x = - k, y = 3 k$
$λ = 0$ : $(x, y, z) = (- k, 3 k, 5 k)$ , $k \in R$ (una recta por el origen).
Comprobación en la tercera: $5 (- k) + 5 (3 k) - 2 (5 k) = 0$ .
2. $λ = - 3$ : las tres ecuaciones son $- x - y + z = 0$ , $3 x + 3 y - 3 z = 0$ y $5 x + 5 y - 5 z = 0$ , todas proporcionales a $x + y - z = 0$ . El rango es $1$ y hay dos parámetros.
$z = x + y$
$λ = - 3$ : $(x, y, z) = (a, b, a + b)$ , $a, b \in R$ (un plano por el origen).

Apartado c

1. Para $λ = - 3$ las tres ecuaciones son múltiplos de $x + y - z = 0$ (coeficientes $(- 1, - 1, 1)$ , $(3, 3, - 3)$ y $(5, 5, - 5)$ ), luego definen el mismo plano.
Los tres planos son coincidentes: una única superficie, el plano $x + y - z = 0$ .

A.2Opción A3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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4 resultados comprobados en 3 apartados
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En el espacio se consideran la recta $r$ intersección de los planos de ecuaciones implícitas $2 x - 2 y - z = 9$ y $4 x - y + z = 42$ , y la recta $s$ que pasa por los puntos $(1, 3, - 4)$ y $(3, - 5, - 2)$ . Se pide:

a)Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ (0,8 puntos) y de la recta $s$ (0,3 puntos).
b)Justificar que las rectas $r$ y $s$ se cruzan (0,8 puntos).
c)Calcular un vector direccional de la recta $t$ , perpendicular común a las rectas $r$ y $s$ , (0,4 puntos) y calcular el punto $P$ de intersección de las rectas $s$ y $t$ (1 punto).

Apartado a

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de los normales $(2, - 2, - 1)$ y $(4, - 1, 1)$ .
$d_{r} = (- 2 - 1, - 4 - 2, - 2 + 8) = (- 3, - 6, 6) ∥ (1, 2, - 2)$
2. Un punto de $r$ : sumando las dos ecuaciones, $6 x - 3 y = 51$ , es decir $y = 2 x - 17$ y $z = 25 - 2 x$ ; con $x = 8$ sale $(8, - 1, 9)$ . Para $s$ : punto $(1, 3, - 4)$ y vector $(3, - 5, - 2) - (1, 3, - 4) = (2, - 8, 2) ∥ (1, - 4, 1)$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 8 + t y = - 1 + 2 t z = 9 - 2 t s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + u y = 3 - 4 u z = - 4 + u$
$r : (8 + t, - 1 + 2 t, 9 - 2 t)$ y $s : (1 + u, 3 - 4 u, - 4 + u)$
Comprobación: $(8, - 1, 9)$ cumple $16 + 2 - 9 = 9$ y $32 + 1 + 9 = 42$ .

Apartado b

1. Los vectores directores $(1, 2, - 2)$ y $(1, - 4, 1)$ no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas. Falta ver si se cortan: estudiamos el determinante formado por ambos vectores y el vector que une un punto de cada recta, $A B = (1, 3, - 4) - (8, - 1, 9) = (- 7, 4, - 13)$ .
$11 - 7 2 - 4 4 - 2 1 - 13 = 108 \neq = 0$
Los tres vectores no son coplanarios: $r$ y $s$ se cruzan.

Apartado c

1. La perpendicular común tiene la dirección del producto vectorial de $d_{r}$ y $d_{s}$ .
$d_{t} = (1, 2, - 2) \times (1, - 4, 1) = (2 - 8, - 2 - 1, - 4 - 2) = (- 6, - 3, - 6) ∥ (2, 1, 2)$
$d_{t} = (2, 1, 2)$
2. $t$ corta a $r$ en $R = (8 + α, - 1 + 2 α, 9 - 2 α)$ y a $s$ en $P = (1 + β, 3 - 4 β, - 4 + β)$ con $R P ∥ (2, 1, 2)$ . Imponemos que $R P \times (2, 1, 2) = 0$ y resolvemos.
$R P = (β - α - 7, 4 - 4 β - 2 α, - 13 + β + 2 α) = k (2, 1, 2) \Rightarrow α = 2, β = 1$
$P = (2, - 1, - 3)$
Además $R = (10, 3, 5)$ y $R P = (- 8, - 4, - 8)$ , de módulo $12$ (distancia entre $r$ y $s$ ).

A.3Opción A3.3 puntos

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Dadas las funciones $f (x) = x^{3} - 3 x + 8$ y $g (x) = - 3 x$ , se pide:

a)Calcular el máximo absoluto de la función $f (x)$ en el intervalo $[- 3, 0]$ (1 punto).
b)Calcular el punto de corte de la curva $y = f (x)$ y la recta $y = g (x)$ (1 punto).
c)Obtener el área del recinto limitado por la curva $y = f (x)$ y las rectas $y = g (x)$ , $x = - 3$ y $x = 0$ (1,3 puntos).

Recinto entre f(x) y g(x) en [−3, 0]

Apartado a

1. Puntos críticos: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ; solo $x = - 1$ está en $[- 3, 0]$ . Comparamos con los extremos del intervalo.
$f (- 3) = - 27 + 9 + 8 = - 10, f (- 1) = - 1 + 3 + 8 = 10, f (0) = 8$
Máximo absoluto: $f (- 1) = 10$ (en $x = - 1$ ).

Apartado b

1. Igualamos $f (x) = g (x)$ : los términos en $x$ se cancelan.
$x^{3} - 3 x + 8 = - 3 x \Rightarrow x^{3} = - 8 \Rightarrow x = - 2$
Punto de corte: $(- 2, 6)$
Comprobación: $g (- 2) = 6$ .

Apartado c

1. La diferencia $f - g = x^{3} + 8$ cambia de signo en $x = - 2$ : es negativa en $[- 3, - 2)$ (la recta queda por encima) y positiva en $(- 2, 0]$ . Dividimos el área en dos trozos.
$A = \int_{- 3}^{- 2} - (x^{3} + 8) d x + \int_{- 2}^{0} (x^{3} + 8) d x$
2. Primitiva $F (x) = \frac{x ^{4}}{4} + 8 x$ con $F (- 3) = - \frac{15}{4}$ , $F (- 2) = - 12$ , $F (0) = 0$ .
$A = - [F (- 2) - F (- 3)] + [F (0) - F (- 2)] = \frac{33}{4} + 12$
$A = \frac{81}{4} = 20, 25 u^{2}$

A.4Opción A3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Un incendio se extiende en forma circular uniformemente. El radio del círculo quemado crece a la velocidad constante de $1, 8 m/min$ .

a)Obtener el área quemada en función del tiempo $t$ transcurrido desde el comienzo del incendio (1,3 puntos).
b)Calcular la velocidad de crecimiento del área del círculo quemado en el instante en que el radio alcance $45 m$ (2 puntos).

Apartado a

1. El radio crece a $1, 8$ m/min desde $0$ : $r (t) = 1, 8 t$ (en metros, con $t$ en minutos). El área de un círculo es $π r^{2}$ .
$A (t) = π (1, 8 t)^{2} = 3, 24 π t^{2}$
$A (t) = 3, 24 π t^{2} m^{2}$

Apartado b

1. La velocidad de crecimiento del área es la derivada $A^{'} (t) = 6, 48 π t$ . El radio vale $45$ cuando $1, 8 t = 45$ , es decir, $t = 25$ min.
$A^{'} (25) = 6, 48 π \cdot 25 = 162 π$
$A^{'} = 162 π \approx 508, 9 m^{2} / min$
Equivale a $A^{'} = 2 π r r^{'} = 2 π \cdot 45 \cdot 1, 8$ (regla de la cadena).

B.1Opción B3.3 puntos

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$A$ es una matriz $3 \times 3$ tal que $A^{2} = 2 - 1 - 1 10 - 1 0 - 1 2$ y $A^{3} = 1 - 2 2 0 - 1 2 20 - 3$ . Se pide:

a)Calcular el determinante de la matriz $A^{3}$ (0,5 puntos) y la matriz inversa de $A^{3}$ (1 punto).
b)Calcular la matriz fila $X = (x, y, z)$ que es solución de la ecuación matricial $X A^{3} = B A^{2}$ , donde $B$ es la matriz fila $B = (1, 2, 3)$ (1,3 puntos).
c)Calcular la matriz inversa de $A$ (0,5 puntos).

Apartado a

1. Desarrollo por la primera fila.
$∣ A^{3} ∣ = 1 (3 - 0) - 0 + 2 (- 4 + 2) = 3 - 4 = - 1$
$∣ A^{3} ∣ = - 1 \neq = 0$ (y por tanto $∣ A ∣^{3} = - 1$ , $∣ A ∣ = - 1$ ).
2. Cofactores, traspuesta y división por $∣ A^{3} ∣ = - 1$ .
$Cof (A^{3}) = 342 - 6 - 7 - 4 - 2 - 4 - 1 \Rightarrow (A^{3})^{- 1} = - Cof^{t} = - 3 62 - 4 72 - 2 41$
$(A^{3})^{- 1} = - 3 62 - 4 72 - 2 41$
Comprobación: $A^{3} (A^{3})^{- 1} = I$ .

Apartado b

1. De $X A^{3} = B A^{2}$ se despeja $X$ multiplicando por $(A^{3})^{- 1}$ por la derecha (el orden importa).
$X = B A^{2} (A^{3})^{- 1}$
2. Primero $B A^{2}$ y luego por $(A^{3})^{- 1}$ .
$B A^{2} = (1, 2, 3) 2 - 1 - 1 10 - 1 0 - 1 2 = (- 3, - 2, 4), X = (- 3, - 2, 4) - 3 62 - 4 72 - 2 41$
$X = (5, 6, 2)$

Apartado c

1. Como $A^{3} = A \cdot A^{2}$ , se tiene $A^{- 1} = A^{2} (A^{3})^{- 1}$ .
$A^{- 1} = 2 - 1 - 1 10 - 1 0 - 1 2 - 3 62 - 4 72 - 2 41 = 011 - 1 21 010$
$A^{- 1} = 011 - 1 21 010$
Se comprueba que $A = 1 - 1 1 001 10 - 1$ cumple $A^{2}$ y $A^{3}$ del enunciado.

B.2Opción B3.3 puntos

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En el espacio se consideran el plano $π$ que pasa por los puntos $(11, 1, 2)$ , $(5, 7, 5)$ y $(7, - 1, - 2)$ , y la recta $r$ intersección de los planos de ecuaciones implícitas $x + y + z = 15$ y $2 x - 7 y + 2 z = 3$ . Se pide:

a)Calcular la ecuación paramétrica de $r$ (0,6 puntos) y la ecuación implícita del plano $π$ (0,4 puntos).
b)Calcular el punto $P$ intersección de $r$ y $π$ (0,8 puntos) y el ángulo $α$ que determinan $r$ y $π$ (0,5 puntos).
c)Calcular los puntos $M$ y $N$ de la recta $r$ cuya distancia al plano $π$ es igual a $3$ u.l. (1 punto).

Apartado a

1. Restando a la segunda ecuación el doble de la primera: $2 x - 7 y + 2 z - 2 (x + y + z) = 3 - 30 \Rightarrow - 9 y = - 27 \Rightarrow y = 3$ . Entonces $x + z = 12$ . Tomando $x = t$ :
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 3 z = 12 - t$
$r : (t, 3, 12 - t)$ , con dirección $(1, 0, - 1)$
2. Plano $π$ : normal $= A B \times A C$ con $A = (11, 1, 2)$ , $A B = (- 6, 6, 3)$ y $A C = (- 4, - 2, - 4)$ .
$A B \times A C = (- 24 + 6, - 12 - 24, 12 + 24) = (- 18, - 36, 36) ∥ (1, 2, - 2)$ , y con $A$ : $11 + 2 - 4 = 9$
$π : x + 2 y - 2 z - 9 = 0$
Comprobación: $(5, 7, 5)$ : $5 + 14 - 10 = 9$ ; $(7, - 1, - 2)$ : $7 - 2 + 4 = 9$ .

Apartado b

1. Sustituimos la recta en la ecuación del plano.
$t + 6 - 2 (12 - t) - 9 = 0 \Rightarrow 3 t - 27 = 0 \Rightarrow t = 9$
$P = (9, 3, 3)$
2. El ángulo entre recta y plano cumple $sen α = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$ , con $d = (1, 0, - 1)$ y $n = (1, 2, - 2)$ .
$sen α = \frac{∣1 + 0 + 2∣}{2 \cdot 3} = \frac{2}{2}$
$α = 4 5^{\circ}$

Apartado c

1. Un punto de $r$ es $(t, 3, 12 - t)$ y su distancia al plano vale:
$d = \frac{∣ t + 6 - 24 + 2 t - 9∣}{1 + 4 + 4} = \frac{∣3 t - 27∣}{3} = ∣ t - 9∣$
2. Imponemos $d = 3$ : $∣ t - 9∣ = 3$ , es decir $t = 6$ o $t = 12$ .
$t = 6 \Rightarrow M = (6, 3, 6) t = 12 \Rightarrow N = (12, 3, 0)$
$M = (6, 3, 6)$ y $N = (12, 3, 0)$
Son simétricos respecto de $P = (9, 3, 3)$ , el punto de la recta que está en el plano.

B.3Opción B3.3 puntos

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Se consideran las funciones $f (x) = a x + b + sen x$ y $g (x) = - \frac{2}{π} x + sen x$ . Se pide:

a)Obtener la derivada de la función $f (x) = a x + b + sen x$ (0,5 puntos). Calcular $a$ y $b$ si $O = (0, 0)$ es un punto de la curva $y = a x + b + sen x$ , cuya recta tangente en $O = (0, 0)$ es el eje $O X$ (1,8 puntos).
b)Justificar que la función $g (x) = - \frac{2}{π} x + sen x$ se anula en dos puntos del intervalo $[0, π]$ (0,5 puntos).
c)Calcular esos dos puntos (0,5 puntos).

Apartado a

1. Derivamos: $f^{'} (x) = a + cos x$ . Que $O = (0, 0)$ esté en la curva significa $f (0) = 0$ ; que la tangente en $O$ sea el eje $O X$ (horizontal) significa $f^{'} (0) = 0$ .
$f (0) = b = 0 f^{'} (0) = a + cos 0 = a + 1 = 0$
$f^{'} (x) = a + cos x$ ; $a = - 1$ y $b = 0$

Apartado b

1. Comprobamos $g (0) = 0$ y $g (\frac{π}{2}) = - \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} + 1 = 0$ : hay dos ceros en $[0, π]$ . No hay más, porque $g^{''} (x) = - sen x \leq 0$ en $[0, π]$ ( $g$ es cóncava) y una función cóncava no corta a una recta horizontal en más de dos puntos.
$g (0) = 0, g (\frac{π}{2}) = 0, g (π) = - 2$
$g$ se anula en dos puntos de $[0, π]$ .

Apartado c

1. Los dos ceros son los hallados. También se puede ver que $g (x) = 0 ⟺ sen x = \frac{2 x}{π}$ , ecuación cuyas soluciones en $[0, π]$ son $0$ y $π /2$ .
$x = 0 x = \frac{π}{2}$
$x = 0$ y $x = \frac{π}{2}$

B.4Opción B3.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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3 resultados comprobados en 2 apartados
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Dos postes de $3 m$ y $4 m$ se hallan clavados verticalmente en el suelo. Sus bases distan $5 m$ y, en el segmento que las une, hay un punto $P$ que dista $x$ metros de la base del poste más bajo. El extremo superior de cada poste se une con $P$ mediante un segmento rectilíneo de cable. Se pide:

a)Obtener la expresión $f (x)$ de la longitud total de cable utilizado en ambos segmentos (1,8 puntos).
b)Demostrar que esa longitud total de cable es mínima cuando son iguales los valores absolutos de las pendientes de los dos segmentos considerados (1 punto). Calcular esa longitud mínima (0,5 puntos).

Postes, punto P y cables

Apartado a

1. Cada cable es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Del poste de $3$ m: catetos $3$ y $x$ . Del poste de $4$ m: catetos $4$ y $5 - x$ .
$f (x) = 9 + x^{2} + 16 + (5 - x)^{2}, 0 \leq x \leq 5$
$f (x) = x^{2} + 9 + x^{2} - 10 x + 41$

Apartado b

1. Derivamos: $f^{'} (x) = \frac{x}{9 + x ^{2}} - \frac{5 - x}{16 + ( 5 - x ) ^{2}}$ . En la figura, $\frac{x}{9 + x ^{2}} = cos θ_{1}$ y $\frac{5 - x}{16 + ( 5 - x ) ^{2}} = cos θ_{2}$ , con $θ_{1}, θ_{2}$ los ángulos de los cables con el suelo, ambos en $(0, π /2)$ .
$f^{'} (x) = 0 ⟺ cos θ_{1} = cos θ_{2} ⟺ θ_{1} = θ_{2} ⟺ tan θ_{1} = tan θ_{2}$
El mínimo se alcanza cuando las pendientes $tan θ_{1} = \frac{3}{x}$ y $tan θ_{2} = \frac{4}{5 - x}$ son iguales en valor absoluto.
2. Igualamos las pendientes y despejamos. Como $f^{''} > 0$ ( $f$ es suma de funciones convexas), es un mínimo.
$\frac{3}{x} = \frac{4}{5 - x} \Rightarrow 15 - 3 x = 4 x \Rightarrow x = \frac{15}{7} \approx 2, 14 m$
3. Longitud mínima: $f (\frac{15}{7}) = 9 + \frac{225}{49} + 16 + \frac{400}{49} = \frac{3 74}{7} + \frac{4 74}{7}$ .
$f_{m i n} = 74 \approx 8, 60 m$
$f_{m i n} = 74 \approx 8, 60 m$
Coincide con la distancia entre la cima de un poste y el simétrico de la otra respecto del suelo: $5^{2} + (3 + 4)^{2}$ .