Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2007 · Ordinaria 2007

1.13.3 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
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Dadas las matrices $B (x) = x + 2 2 x + 3 4 x + 4 432666$ y $C (y) = 3 y + 5 2 y + 3 3 y + 4 7321266$ :

a)Calcular el determinante de la matriz $3 B (x)$ y obtener el valor de $x$ para el que dicho determinante vale $162$ (1,8 puntos).
b)Demostrar que la matriz $C (y)$ no tiene inversa para ningún valor real de $y$ (1,5 puntos).

Apartado a

1. Simplificamos $∣ B (x) ∣$ con operaciones entre filas que no cambian el determinante: $F_{2} \to F_{2} - 2 F_{1}$ y $F_{3} \to F_{3} - 4 F_{1}$ .
$∣ B (x) ∣ = x + 2 - 1 - 4 4 - 5 - 14 6 - 6 - 18 = (x + 2) (90 - 84) - 4 (18 - 24) + 6 (14 - 20) = 6 x + 12 + 24 - 36$
$∣ B (x) ∣ = 6 x$
2. Al multiplicar una matriz $3 \times 3$ por $3$ , cada una de las tres filas se multiplica por $3$ , así que el determinante se multiplica por $3^{3} = 27$ .
$∣3 B (x) ∣ = 27 ∣ B (x) ∣ = 27 \cdot 6 x = 162 x$
$∣3 B (x) ∣ = 162 x$
3. Imponemos que valga $162$ .
$162 x = 162 \Rightarrow x = 1$
$x = 1$

Apartado b

1. Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. La primera columna de $C (y)$ es lineal en $y$ , así que $∣ C (y) ∣ = y D_{1} + D_{2}$ , con $D_{1}$ y $D_{2}$ los determinantes que resultan de poner en la primera columna los coeficientes de $y$ y los términos independientes, respectivamente.
$D_{1} = 3237321266 = 3 (18 - 12) - 7 (12 - 18) + 12 (4 - 9) = 18 + 42 - 60 = 0$
2. Lo mismo con los términos independientes.
$D_{2} = 5347321266 = 5 (18 - 12) - 7 (18 - 24) + 12 (6 - 12) = 30 + 42 - 72 = 0$
$∣ C (y) ∣ = 0 \cdot y + 0 = 0$ para todo $y$ : $C (y)$ no tiene inversa para ningún valor real de $y$ .

1.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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Dado el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ x + α y + z = 9 3 x + 5 y + z = 9 α x + y + z = 9$ , se pide:

a)Probar que es siempre compatible, obteniendo los valores de $α$ para los que es indeterminado (2 puntos).
b)Resolver el sistema anterior para $α = 7$ (1,3 puntos).

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$∣ A ∣ = 1 (5 - 1) - α (3 - α) + 1 (3 - 5 α) = α^{2} - 8 α + 7 = (α - 1) (α - 7)$
Si $α \neq = 1$ y $α \neq = 7$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , $rango = 3$ y el sistema es compatible determinado.
2. Casos $α = 1$ y $α = 7$ : el rango de $A$ es $2$ (las dos primeras filas no son proporcionales). Comprobamos que el de la ampliada también lo es. Con $α = 1$ la primera y la tercera ecuación son idénticas. Con $α = 7$ la tercera es combinación de las otras dos: $E_{3} = - 2 E_{1} + 3 E_{2}$ (en coeficientes y en el término independiente: $- 18 + 27 = 9$ ).
$α = 1$ : $F_{3} = F_{1}$ y $rango (A) = rango (A^{*}) = 2 < 3$ . $α = 7$ : $F_{3} = - 2 F_{1} + 3 F_{2}$ en $A^{*}$ , luego $rango (A^{*}) = 2$ .
Siempre compatible; es indeterminado (1 parámetro) para $α = 1$ y $α = 7$ .

Apartado b

1. Con $α = 7$ la tercera ecuación sobra. Restamos las dos primeras: $(x + 7 y + z) - (3 x + 5 y + z) = 0 \Rightarrow - 2 x + 2 y = 0 \Rightarrow y = x$ .
${x + 7 y + z = 9 3 x + 5 y + z = 9 \Rightarrow y = x, 8 x + z = 9$
2. Tomamos $z = λ$ como parámetro.
$x = y = \frac{9 - λ}{8}$
$(x, y, z) = (\frac{9 - λ}{8}, \frac{9 - λ}{8}, λ)$ , $λ \in R$
Comprobación en la tercera: $7 \cdot \frac{9 - λ}{8} + \frac{9 - λ}{8} + λ = 9$ .

2.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dadas las dos rectas $r$ y $s$ , que se cortan, de ecuaciones $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{2 y - 1}{- 6} = \frac{2 z - 3}{6}$ y $s : \frac{x - 3}{- 2} = \frac{2 y + 3}{2} = \frac{z - 1}{4}$ , se pide calcular:

a)El punto $P$ de corte de las rectas $r$ y $s$ (1,1 puntos).
b)Un vector direccional de $r$ y otro de $s$ (0,5 puntos), y el ángulo $α$ que forman las rectas $r$ y $s$ en el punto de corte $P$ (0,6 puntos).
c)La ecuación implícita $a x + b y + cz + d = 0$ del plano $π$ que contiene a las rectas $r$ y $s$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Ponemos las rectas en forma paramétrica. En $r$ : $\frac{2 y - 1}{- 6} = \frac{y - 1/2}{- 3}$ y $\frac{2 z - 3}{6} = \frac{z - 3/2}{3}$ , luego pasa por $(1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ con dirección $(2, - 3, 3)$ . En $s$ : $\frac{2 y + 3}{2} = \frac{y + 3/2}{1}$ , así que pasa por $(3, - \frac{3}{2}, 1)$ con dirección $(- 2, 1, 4)$ .
$r : (1 + 2 t, \frac{1}{2} - 3 t, \frac{3}{2} + 3 t) s : (3 - 2 u, - \frac{3}{2} + u, 1 + 4 u)$
2. Igualamos coordenadas: $1 + 2 t = 3 - 2 u$ , $\frac{1}{2} - 3 t = - \frac{3}{2} + u$ , $\frac{3}{2} + 3 t = 1 + 4 u$ .
$t + u = 1, 3 t + u = 2 \Rightarrow t = u = \frac{1}{2}$ (la tercera también se cumple: $3 = 3$ )
$P = (2, - 1, 3)$

Apartado b

1. Vectores direccionales: $d_{r} = (2, - 3, 3)$ y $d_{s} = (- 2, 1, 4)$ . El ángulo entre rectas es el agudo entre ellos.
$cos α = \frac{∣ ( 2 , - 3 , 3 ) \cdot ( - 2 , 1 , 4 ) ∣}{22 21} = \frac{∣ - 4 - 3 + 12∣}{462} = \frac{5}{462}$
$α = arccos \frac{5}{462} \approx 76, 5^{\circ}$

Apartado c

1. El plano que contiene a las dos rectas tiene como vector normal el producto vectorial de los directores y pasa por $P$ .
$n = (2, - 3, 3) \times (- 2, 1, 4) = (- 12 - 3, - 6 - 8, 2 - 6) = (- 15, - 14, - 4) ∥ (15, 14, 4)$
2. Imponemos que pase por $P = (2, - 1, 3)$ : $15 \cdot 2 + 14 \cdot (- 1) + 4 \cdot 3 = 28$ .
$15 x + 14 y + 4 z - 28 = 0$
$π : 15 x + 14 y + 4 z - 28 = 0$
Comprobación con $(1, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \in r$ : $15 + 7 + 6 - 28 = 0$ .

2.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados el punto $Q = (3, - 1, 4)$ y la recta $r$ de ecuación paramétrica $r : x = - 2 + 3 λ, y = - 2 λ, z = 1 + 4 λ$ , se pide:

a)Hallar la distancia del punto $Q$ a la recta $r$ (1,1 puntos).
b)Justificar que la recta $s$ que pasa por $Q$ y tiene a $(1, - 1, 1)$ como vector direccional no corta a $r$ (1,1 puntos).
c)Calcular la distancia entre las rectas $r$ y $s$ (1,1 puntos).

Apartado a

1. Tomamos $R_{0} = (- 2, 0, 1) \in r$ y $d = (3, - 2, 4)$ . Con $R_{0} Q = (5, - 1, 3)$ , la distancia es $∣ R_{0} Q \times d ∣ / ∣ d ∣$ .
$R_{0} Q \times d = i 53 j - 1 - 2 k 34 = (- 4 + 6, 9 - 20, - 10 + 3) = (2, - 11, - 7)$
2. Módulos: $∣ (2, - 11, - 7) ∣ = 4 + 121 + 49 = 174$ y $∣ d ∣ = 9 + 4 + 16 = 29$ .
$d (Q, r) = \frac{174}{29} = 6$
$d (Q, r) = 6 \approx 2, 45$

Apartado b

1. Las rectas $r$ y $s$ tienen directores $(3, - 2, 4)$ y $(1, - 1, 1)$ , que no son proporcionales: no son paralelas. Se cortarían solo si $d_{r}$ , $d_{s}$ y $R_{0} Q$ fueran coplanarios.
$315 - 2 - 1 - 1 413 = 3 (- 3 + 1) + 2 (3 - 5) + 4 (- 1 + 5) = - 6 - 4 + 16 = 6 \neq = 0$
No son coplanarias: $s$ no corta a $r$ (se cruzan).

Apartado c

1. La distancia entre rectas que se cruzan es el valor absoluto del producto mixto dividido entre el módulo del producto vectorial de los directores.
$d_{r} \times d_{s} = (- 2 + 4, 4 - 3, - 3 + 2) = (2, 1, - 1), d (r, s) = \frac{∣ [ R _{0} Q , d _{r} , d _{s} ] ∣}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣} = \frac{6}{6}$
$d (r, s) = 6 \approx 2, 45$
Coincide con $d (Q, r)$ : la perpendicular común pasa por $Q \in s$ .

3.13.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se consideran las funciones reales $f (x) = 12 x^{3} - 8 x^{2} + 9 x - 5$ y $g (x) = 6 x^{2} - 7 x + 2$ . Se pide:

a)Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función $\frac{f ( x )}{g ( x )}$ (1,6 puntos).
b)Calcular la función $H (x) = \int \frac{f ( x )}{g ( x )} d x$ que cumple $H (1) = 1$ (1,7 puntos).

Asíntotas de f(x)/g(x)

Apartado a

1. Verticales: el denominador $g (x) = 6 x^{2} - 7 x + 2 = (2 x - 1) (3 x - 2)$ se anula en $x = \frac{1}{2}$ y $x = \frac{2}{3}$ , y el numerador no: $f (\frac{1}{2}) = - 1$ y $f (\frac{2}{3}) = 1$ .
$x \to 1/2 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \pm \infty, x \to 2/3 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \pm \infty$
Asíntotas verticales: $x = \frac{1}{2}$ y $x = \frac{2}{3}$ .
2. Como el grado del numerador (3) supera en uno al del denominador (2), no hay asíntota horizontal pero sí oblicua $y = m x + n$ . Dividimos los polinomios.
$12 x^{3} - 8 x^{2} + 9 x - 5 = (6 x^{2} - 7 x + 2) (2 x + 1) + (12 x - 7) \Rightarrow \frac{f ( x )}{g ( x )} = 2 x + 1 + \frac{12 x - 7}{6 x ^{2} - 7 x + 2}$
Asíntota oblicua: $y = 2 x + 1$
El resto tiende a $0$ cuando $x \to \pm \infty$ , así que la recta es asíntota en ambos extremos.

Apartado b

1. Descomponemos en fracciones simples el resto, con $g (x) = (2 x - 1) (3 x - 2)$ : $\frac{12 x - 7}{( 2 x - 1 ) ( 3 x - 2 )} = \frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{3 x - 2}$ y $12 x - 7 = A (3 x - 2) + B (2 x - 1)$ . Con $x = \frac{1}{2}$ : $- 1 = A (- \frac{1}{2}) \Rightarrow A = 2$ ; con $x = \frac{2}{3}$ : $1 = B \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow B = 3$ .
$\frac{f ( x )}{g ( x )} = 2 x + 1 + \frac{2}{2 x - 1} + \frac{3}{3 x - 2}$
2. Integramos término a término: $\int \frac{2}{2 x - 1} d x = ln ∣2 x - 1∣$ y $\int \frac{3}{3 x - 2} d x = ln ∣3 x - 2∣$ .
$H (x) = x^{2} + x + ln ∣2 x - 1∣ + ln ∣3 x - 2∣ + C = x^{2} + x + ln ∣6 x^{2} - 7 x + 2∣ + C$
3. Condición $H (1) = 1$ : $1 + 1 + ln ∣6 - 7 + 2∣ + C = 2 + ln 1 + C = 1$ .
$2 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = - 1$
$H (x) = x^{2} + x + ln ∣6 x^{2} - 7 x + 2∣ - 1$

3.23.3 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se considera la función real $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ , donde $a$ , $b$ y $c$ son parámetros reales.

a)Averiguar los valores de $a$ y $b$ para los que las rectas tangentes a la gráfica de $f (x)$ en los puntos de abscisas $x = 2$ y $x = 4$ son paralelas al eje $O X$ (2 puntos).
b)Con los valores de $a$ y $b$ hallados anteriormente, obtener el valor de $c$ para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de $f (x)$ está en el eje $O X$ (1,3 puntos).

Apartado a

1. Tangente horizontal significa $f^{'} (x) = 0$ . Derivamos: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ e imponemos $f^{'} (2) = 0$ y $f^{'} (4) = 0$ .
${12 + 4 a + b = 0 48 + 8 a + b = 0$
2. Restando la primera ecuación a la segunda: $36 + 4 a = 0$ .
$a = - 9, b = - 12 - 4 a = - 12 + 36 = 24$
$a = - 9$ y $b = 24$
Comprobación: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24 = 3 (x - 2) (x - 4)$ .

Apartado b

1. Con $a = - 9$ , $b = 24$ : $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + c$ . La inflexión está donde $f^{''} (x) = 6 x - 18 = 0$ y $f^{''}$ cambia de signo (pues $f^{'''} = 6 \neq = 0$ ).
$f^{''} (x) = 6 x - 18 = 0 \Rightarrow x = 3$
Punto de inflexión en $x = 3$ .
2. El punto de inflexión $(3, f (3))$ debe estar en el eje $O X$ : $f (3) = 0$ .
$f (3) = 27 - 81 + 72 + c = 18 + c = 0 \Rightarrow c = - 18$
$c = - 18$
Con ello $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ y la inflexión es $(3, 0)$ .

4.13.3 puntos

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1 resultado comprobado en 1 apartado
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Unos altos hornos producen al día $x$ toneladas de acero de baja calidad y $\frac{40 - 5 x}{10 - x}$ toneladas de acero de alta calidad, siendo $8$ toneladas la producción máxima diaria de acero de baja calidad. Si el precio de una tonelada de acero de baja calidad es $100$ euros y el precio de una tonelada de acero de alta calidad es $250$ euros,

)demostrar que se deben producir $5$ toneladas por día de acero de baja calidad para que el valor de venta de la producción diaria sea máximo (3,3 puntos).

1. Valor de venta diario, con $0 \leq x \leq 8$ (el dominio acaba en $8$ por la producción máxima; $x = 10$ queda fuera): baja calidad a $100$ €/t y alta calidad a $250$ €/t.
$V (x) = 100 x + 250 \cdot \frac{40 - 5 x}{10 - x}$
2. Derivamos: el segundo sumando es un cociente, con derivada $\frac{- 5 ( 10 - x ) + ( 40 - 5 x )}{( 10 - x ) ^{2}} = \frac{- 10}{( 10 - x ) ^{2}}$ .
$V^{'} (x) = 100 + 250 \cdot \frac{- 10}{( 10 - x ) ^{2}} = 100 - \frac{2500}{( 10 - x ) ^{2}}$
3. Igualamos a cero: $(10 - x)^{2} = 25$ , es decir $10 - x = \pm 5$ . En el dominio $[0, 8]$ solo vale $x = 5$ ( $x = 15$ queda fuera).
$V^{'} (x) = 0 \Rightarrow (10 - x)^{2} = 25 \Rightarrow x = 5$
4. Comprobamos que es máximo: $V^{''} (x) = - \frac{5000}{( 10 - x ) ^{3}} < 0$ para $x < 10$ . Además, en los extremos del dominio el valor es menor.
$V (0) = 1000, V (5) = 500 + 750 = 1250, V (8) = 800$
El valor de venta es máximo para $x = 5$ t de acero de baja calidad: $1250$ € al día.

4.23.3 puntos

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Hallar las dimensiones del cartel de área máxima con forma de rectángulo que tiene dos vértices sujetos a una estructura rígida parabólica de ecuación $y = 12 - x^{2}$ , y los otros dos vértices están situados sobre el eje $O X$ .

)Hallar las dimensiones del cartel de área máxima (3,3 puntos).

Cartel de área máxima: base 4, altura 8

1. Por simetría, los vértices del cartel son $(\pm x, 0)$ y $(\pm x, 12 - x^{2})$ con $0 < x < 12$ . Base $= 2 x$ y altura $= 12 - x^{2}$ .
$A (x) = 2 x (12 - x^{2}) = 24 x - 2 x^{3}$
2. Derivamos e igualamos a cero.
$A^{'} (x) = 24 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2$
3. Como $A^{''} (x) = - 12 x < 0$ en $x = 2$ , es un máximo. Dimensiones: base $2 x = 4$ y altura $12 - 4 = 8$ .
$A (2) = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 32$
Base $4$ y altura $8$ (área $32$ ).