Cónicas: pack de clase de Dibujo Técnico II

Cuatro piezas para dar o repasar este tema con ejercicios reales de la PAU de la Comunitat Valenciana. Se leen y se imprimen sin registro.

Procedencia de las resoluciones. Construcción revisada · revisión humana pendiente. Los enunciados son de las pruebas oficiales; las resoluciones son de Tu Selectividad. Si ves un fallo, usa «Reportar error» en la resolución.

Chuleta de una página

Ideas clave y fórmulas del apunte del tema, en una hoja A4. Leer el apunte completo.

Cónicas

Dibujo Técnico II · PAU Comunitat Valenciana

Ideas clave

Aplicar las dos reglas de oro de la tangencia (radio perpendicular a la tangente en el punto de contacto; centros alineados con el punto de contacto) para hallar centros y puntos de tangencia.
Resolver enlaces entre circunferencias con un radio dado y circunferencias por dos puntos tangentes a una recta o a otra circunferencia.
Usar la potencia de un punto (centro radical) para resolver tangencias que de otro modo exigen tanteo.
Plantear una tangencia por inversión: transformar el problema en uno de rectas y deshacer la transformación.
Calcular los elementos de una elipse, una parábola y una hipérbola (focos, vértices, directrices, asíntotas, excentricidad) y trazarlas por puntos.
Hallar la tangente a una cónica en un punto, el otro foco a partir de una tangente, y la intersección con una recta.

Fórmulas

Tangencia circ.–circ.: exterior: $d = R_{1} + R_{2}$ ; interior: $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$
Potencia y tangente: $P T^{2} = P A \cdot P B$
Inversión: $O P \cdot O P_{1} = k$
Elipse: $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ ; $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ; $e = c / a < 1$
Hipérbola: $∣ P F_{1} - P F_{2} ∣ = 2 a$ ; $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; $e = c / a > 1$
Parábola: $P F = d (P, d)$ ; $y^{2} = 2 p x$ ; foco $(p /2, 0)$
Directrices (elipse e hipérbola): $x = \pm a^{2} / c$
Asíntotas de la hipérbola: $y = \pm \frac{b}{a} x$
Tangente a la elipse: bisectriz exterior de $F_{1} P F_{2}$
Tangente a la hipérbola: bisectriz interior de $F_{1} P F_{2}$
Tangente a la parábola: mediatriz de $F$ y su proyección $Q$ en la directriz
Recta y cónica: sustituir: $Δ > 0$ dos puntos, $Δ = 0$ tangente, $Δ < 0$ ninguno

Errores típicos

Los errores que declaran las resoluciones publicadas de este tema, agrupados por frecuencia y con el ejercicio donde ocurren.

Las resoluciones de este tema todavía no declaran errores típicos, así que no mostramos ninguno. Los iremos añadiendo cuando las resoluciones los incluyan.

Ejercicios tipo

5 ejercicios oficiales del tema, del más reciente al más antiguo.

Hoja para el alumnado, sin soluciones Hoja para el profesor, con soluciones

Extraordinaria 2025 2025

Ejercicio 1B, opción B. Obtenga los ejes de una elipse conociendo el foco F₁, una recta tangente t, el valor del eje mayor 2a y la distancia entre los dos focos 2c… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2025 (Especial DANA) 2025

Ejercicio 1B, opción B. La recta d es la directriz de una parábola y t₁ y t₂ dos tangentes a la misma. Determine el eje (0,2 p.), el foco (0,5 p.) y el vértice de l… Ver resolución paso a paso

Reserva 2025 (Junio) 2025

Ejercicio 1B, opción B. Dada una elipse definida por sus focos, y conocida una recta t tangente a la misma, determine el punto P de tangencia de la recta (0,6 p.) y… Ver resolución paso a paso

Extraordinaria 2024 2024

Ejercicio 4. Dados el foco F y los puntos A y B de una parábola: obtenga la directriz, el eje y el vértice V de la parábola. Seleccione la directriz que… Ver resolución paso a paso

Ordinaria 2024 2024

Ejercicio 4. De una hipérbola se conoce el foco F1, el eje, un punto P de la curva y la tangente en dicho punto tP. Obtenga: el otro foco F2 (0,5 p.), lo… Ver resolución paso a paso

Mini-examen de 20 minutos

Tres ejercicios oficiales de convocatorias distintas, los más recientes del tema, con el baremo de cada apartado. Una hoja para el alumnado, sin soluciones, y otra para ti.

Mini-examen: Cónicas

Dibujo Técnico II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 4,5 puntos

Nombre y grupo: ______________________________ Fecha: ____________

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 2025, ejercicio 1B, opción B · 1,5 puntos
Obtenga los ejes de una elipse conociendo el foco F₁, una recta tangente t, el valor del eje mayor 2a y la distancia entre los dos focos 2c (1,2 p.). Dibuje también el punto de tangencia T₁ de la elipse con la recta t (0,3 p.). Datos de la figura (mm, origen en F₁, x a la derecha, y hacia arriba): t inclinada 18,5° y a 20,9 mm de F₁; 2a = 79,6 mm y 2c = 59,7 mm.
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 (Especial DANA) 2025, ejercicio 1B, opción B · 1,5 puntos
La recta d es la directriz de una parábola y t₁ y t₂ dos tangentes a la misma. Determine el eje (0,2 p.), el foco (0,5 p.) y el vértice de la parábola (0,2 p.) y obtenga los puntos de tangencia de la parábola contenidos en t₁ y t₂ (0,6 p.). Datos (mm, origen en el punto medio de d): d es x = 0; t₁ pasa por (75,7 ; 43,6) con inclinación 19,5°; t₂ pasa por (80,3 ; −57,7) con inclinación −17,5°.
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Reserva 2025 (Junio) 2025, ejercicio 1B, opción B · 1,5 puntos
Dada una elipse definida por sus focos, y conocida una recta t tangente a la misma, determine el punto P de tangencia de la recta (0,6 p.) y los ejes mayor AA′ (0,4 p.) y menor BB′ (0,5 p.). Datos (mm, origen en F): F′ = (79,8 ; 0,0); t inclinada 34,9° por (0,3 ; 41,9).

Mini-examen: Cónicas (hoja del profesor)

Dibujo Técnico II

20 minutos · 3 ejercicios de la PAU · Total: 4,5 puntos

Ejercicio 1
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 2025, ejercicio 1B, opción B · 1,5 puntos
1. Datos. Eje mayor 2a = 79,6 mm y distancia focal 2c = 59,7 mm, es decir a = 39,8 mm y c = 29,9 mm. De ahí el semieje menor: b = √(a² − c²) = 26,3 mm (el eje menor mide 2b = 52,7 mm).
  a = 39,8 ; c = 29,9 ; b = 26,3 mm
2. Simétrico del foco respecto de la tangente. La tangente a una elipse es bisectriz exterior de los radios vectores (propiedad de reflexión): el simétrico F₁* de F₁ respecto de t (en la figura, F_s) está en la prolongación del radio vector de F₂ y cumple |F₂F₁*| = 2a. Se baja la perpendicular desde F₁ a t, y se lleva la misma distancia al otro lado de t.
  Distancia de F₁ a t: 20,9 mm. F₁* = (13,3 ; −39,7) mm
3. Foco F₂. Debe cumplir dos condiciones: |F₁F₂| = 2c y |F₁F₂| = 2a. Se trazan la circunferencia de centro F₁ y radio 2c y la de centro F₁ y radio 2a; sus cortes son los posibles F₂.
  F₂ = (51,5 ; 30,1) mm (solución principal). Otro corte: F₂′ = (−59,3 ; −7,0) mm
4. Ejes. El eje mayor es la recta F₁F₂ y mide 2a; su punto medio O = (F₁+F₂)/2 es el centro. El eje menor es la perpendicular al mayor por O y mide 2b: se llevan b = 26,3 mm a cada lado de O (o, con el compás, desde F₁ se corta la perpendicular con radio a).
  O = (25,8 ; 15,1) ; el eje mayor forma 30,3° con la horizontal
5. Punto de tangencia. T₁ es el corte de la recta F₁F₂ con la tangente t: por reflexión, el rayo de F₂ a F₁ pasa por el punto de contacto.
  T₁ = (28,1 ; −12,6) mm. Comprobado: T₁F₁ + T₁F₂ = 79,6 mm = 2a
Respuesta final: Eje mayor: recta F₁F₂ con F₂ = (51,5 ; 30,1) mm (2a = 79,6 mm); centro O = (25,8 ; 15,1) mm; eje menor perpendicular por O de longitud 2b = 52,7 mm; punto de tangencia T₁ = (28,1 ; −12,6) mm (coordenadas respecto de F₁). Existe una segunda elipse con F₂′ = (−59,3 ; −7,0) mm.
Ejercicio 2
PAU Comunitat Valenciana, Extraordinaria 2025 (Especial DANA) 2025, ejercicio 1B, opción B · 1,5 puntos
1. Propiedad de la tangente. La tangente a una parábola es mediatriz del segmento que une el foco con su simétrico respecto de la tangente, y ese simétrico está en la directriz (reflexión: la tangente es bisectriz del ángulo entre el radio vector y la perpendicular a la directriz). Por tanto, F está en la simétrica de d respecto de t₁ y también en la simétrica de d respecto de t₂.
  Se trazan las simétricas de d (basta con dos de sus puntos) respecto de t₁ y t₂
2. Foco. Las dos rectas simétricas se cortan en F.
  F = (18,5 ; −6,0) mm
3. Eje y vértice. El eje es la perpendicular a d por F. El vértice V es el punto medio entre F y el pie de esa perpendicular sobre d (la parábola equidista de F y de d).
  Eje: recta horizontal y = −6,0 mm. V = (9,2 ; −6,0) mm; distancia vértice-foco p = 9,2 mm
4. Puntos de tangencia. Si F′ es el simétrico de F respecto de la tangente, el punto de tangencia T está en la perpendicular a d por F′ (porque TF = TF′ = distancia de T a d, y la perpendicular a d por F′ es el lugar de los puntos cuya distancia a la directriz sale del pie F′). Se corta esa perpendicular (paralela al eje) con la tangente correspondiente.
  T₁ = (82,6 ; 46,0) mm ; T₂ = (101,8 ; −64,5) mm
Respuesta final: Eje: la recta por F perpendicular a d (y = −6,0 mm). Foco F = (18,5 ; −6,0) mm; vértice V = (9,2 ; −6,0) mm (p = 9,2 mm). Puntos de tangencia: T₁ = (82,6 ; 46,0) mm en t₁ y T₂ = (101,8 ; −64,5) mm en t₂ (coordenadas respecto del punto medio de d).
Ejercicio 3
PAU Comunitat Valenciana, Reserva 2025 (Junio) 2025, ejercicio 1B, opción B · 1,5 puntos
1. Simétrico de un foco. Por la propiedad de reflexión, el simétrico F* de F respecto de la tangente t cumple |F*F′| = PF + PF′ = 2a. Se baja la perpendicular de F a t y se lleva la misma distancia al otro lado.
  F* = (−39,1 ; 56,0) mm
2. Punto de tangencia P. Es el único punto de t cuya suma de distancias a los focos es mínima: el corte de F*F′ con t.
  P = (−3,5 ; 39,2) mm; PF + PF′ = 131,5 mm
3. Eje mayor. Está sobre la recta FF′ y mide 2a = |F*F′| = 131,5 mm; su punto medio O es el centro. Se llevan a = 65,7 mm a cada lado de O con el compás.
  O = (39,9 ; 0,0) ; A = (105,6 ; 0,0) ; A′ = (−25,8 ; 0,0) mm
4. Eje menor. Perpendicular al mayor por O, con b = √(a² − c²), c = OF = 39,9 mm. Con el compás, centro F y radio a corta la mediatriz de FF′ en B y B′ (BF = BF′ = a).
  b = 52,2 mm ; B = (39,9 ; 52,2) ; B′ = (39,9 ; −52,2) mm
Respuesta final: P = (−3,5 ; 39,2) mm; eje mayor AA′ de longitud 131,5 mm sobre FF′ (A = (105,6 ; 0,0), A′ = (−25,8 ; 0,0)); eje menor BB′ de longitud 104,5 mm (B = (39,9 ; 52,2), B′ = (39,9 ; −52,2)); centro O = (39,9 ; 0,0) (respecto de F).

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