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Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2025 (Reserva) · Reserva 2025 (Junio)
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Dados los puntos A, B e I, siendo AB el lado de un triángulo e I el incentro del mismo, construya el triángulo ABC (0,7 p.). Si además consideramos I como el centro de una homología de eje E, obtenga el triángulo homólogo, sabiendo que B′ el homólogo del punto B está contenido en la recta m dada (0,8 p.). Datos (mm, origen en A): A sobre E; B = (−58,9 ; −0,1); I = (−26,6 ; 20,3); E y m medidas del dibujo.
- a)Construya el triángulo ABC (0,7 p.).
- b)Obtenga el triángulo homólogo con centro I, eje E y B′ en m (0,8 p.).
Apartado a
1. Lados AC y BC. I es el incentro: AI y BI son bisectrices de los ángulos A y B. Por tanto, el lado AC es el simétrico del lado AB respecto de la bisectriz AI, y el lado BC es el simétrico de BA respecto de BI. Se halla el simétrico de B respecto de AI (con el compás: arcos desde A y desde I) y se traza la recta A–B* ; análogamente para B.
AC = s_{AI}(AB) ; BC = s_{BI}(BA)
AC con dirección (−0,265 ; 0,964) ; BC con dirección (0,433 ; 0,901)
Una bisectriz es eje de simetría del ángulo: los dos lados del ángulo son simétricos respecto de ella.
2. Vértice C. Es el corte de las rectas AC y BC (en el semiplano de I).
C = AC ∩ BC
C = (−21,4 ; 78,0) mm. Lados: AB = 58,9, BC = 86,7, CA = 80,9 mm
Comprobado: la distancia de I a los tres lados es 20,3 mm (circunferencia inscrita de radio r = 20,3 mm).
Apartado b
1. Homología. I es el centro y E el eje. Cada punto, su homólogo y el centro están alineados: B′ está en la recta IB. Como B′ ∈ m, se obtiene como corte de IB con m. A está en el eje E: es doble (A′ = A).
B′ = IB ∩ m ; A′ = A
B′ = (62,6 ; 76,5) mm (al otro lado de I respecto de B: razón de homología −2,761)
Los puntos del eje son dobles; los lados homólogos se cortan en el eje.
2. Vértice C′. El lado BC corta al eje en Q (punto doble): BC y B′C′ se cortan en Q. C′ está en la recta IC y en la recta QB′.
Q = BC ∩ E ; C′ = IC ∩ QB′
Q = (−68,1 ; −19,1) ; C′ = (−27,5 ; 10,6) mm
El lado AC también cumple: A es doble, así que A′C′ = AC′ pasa por A.
3. Triángulo homólogo. Se unen A′ (= A), B′ y C′.
A′B′C′
A′ = (0,0 ; 0,0) ; B′ = (62,6 ; 76,5) ; C′ = (−27,5 ; 10,6) mm
Comprobado: los lados AB–A′B′, BC–B′C′ y CA–C′A′ se cortan sobre el eje E, y I, X, X′ están alineados para los tres vértices.
Respuesta final
Triángulo ABC con C = (−21,4 ; 78,0) mm (A = (0 ; 0), B = (−58,9 ; −0,1), incentro I = (−26,6 ; 20,3), r = 20,3 mm). Triángulo homólogo: A′ = A = (0 ; 0), B′ = (62,6 ; 76,5) mm y C′ = (−27,5 ; 10,6) mm (coordenadas respecto de A).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dada una elipse definida por sus focos, y conocida una recta t tangente a la misma, determine el punto P de tangencia de la recta (0,6 p.) y los ejes mayor AA′ (0,4 p.) y menor BB′ (0,5 p.). Datos (mm, origen en F): F′ = (79,8 ; 0,0); t inclinada 34,9° por (0,3 ; 41,9).
1. Simétrico de un foco. Por la propiedad de reflexión, el simétrico F* de F respecto de la tangente t cumple |F*F′| = PF + PF′ = 2a. Se baja la perpendicular de F a t y se lleva la misma distancia al otro lado.
F* = s_t(F)
F* = (−39,1 ; 56,0) mm
Para todo punto X de t, XF = XF*.
2. Punto de tangencia P. Es el único punto de t cuya suma de distancias a los focos es mínima: el corte de F*F′ con t.
P = F*F′ ∩ t
P = (−3,5 ; 39,2) mm; PF + PF′ = 131,5 mm
Cualquier otro punto de t tiene suma mayor que F*F′, luego queda fuera de la elipse.
3. Eje mayor. Está sobre la recta FF′ y mide 2a = |F*F′| = 131,5 mm; su punto medio O es el centro. Se llevan a = 65,7 mm a cada lado de O con el compás.
AA′ = 2a
O = (39,9 ; 0,0) ; A = (105,6 ; 0,0) ; A′ = (−25,8 ; 0,0) mm
4. Eje menor. Perpendicular al mayor por O, con b = √(a² − c²), c = OF = 39,9 mm. Con el compás, centro F y radio a corta la mediatriz de FF′ en B y B′ (BF = BF′ = a).
BB′ = 2b
b = 52,2 mm ; B = (39,9 ; 52,2) ; B′ = (39,9 ; −52,2) mm
Respuesta final
P = (−3,5 ; 39,2) mm; eje mayor AA′ de longitud 131,5 mm sobre FF′ (A = (105,6 ; 0,0), A′ = (−25,8 ; 0,0)); eje menor BB′ de longitud 104,5 mm (B = (39,9 ; 52,2), B′ = (39,9 ; −52,2)); centro O = (39,9 ; 0,0) (respecto de F).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Complete la representación de tangencias de la figura, determinando las construcciones geométricas, los centros y los puntos de tangencia. Datos (mm, origen en O₁): r₁ = 25,0, A = (−37,6 ; −60,0), T a 45° de la vertical descendente.
1. Punto T. Desde la vertical descendente por O₁ se mide 45° hacia la derecha: la recta O₁T corta a C₁ en T.
T = O₁ + r·(sen 45°, −cos 45°)
T = (17,7 ; −17,7) mm
2. Segundo arco, tangente a C₁ en T y a la horizontal. Su centro O₂ está en la recta O₁T (más allá de T, tangente exterior) y a una distancia ρ de la recta horizontal: O₂ = (r+ρ)·u con O₂ a ρ sobre la horizontal. Gráficamente: se traza la paralela a la horizontal a distancia ρ y se prueba ρ con una homotecia desde T, o se resuelve con O₂y − ρ = y_recta.
ρ = (y_recta − r·u_y)/(u_y − 1)
ρ = 24,8 mm ; O₂ = (35,2 ; −35,2) mm ; tangencia con la horizontal T₂ = (35,2 ; −60,0) mm
Comprobado: |O₁O₂| = r + ρ = 49,8 mm y la distancia de O₂ a la horizontal es ρ.
3. Tangente desde A a C₁. Se traza la circunferencia de diámetro AO₁, que corta a C₁ en los puntos de tangencia (arco capaz de 90°). Se toma el de la izquierda, T_L.
T_L ∈ c(AO₁) ∩ C₁
T_L = (−24,5 ; 4,9) mm; |AT_L| = 66,2 mm
El radio O₁T_L es perpendicular a la tangente AT_L.
4. Contorno. Recta A–T_L; arco de C₁ desde T_L, por arriba, hasta T; arco de C₂ (O₂, ρ) desde T hasta T₂ por la derecha y abajo; y recta horizontal T₂–A.
—
Centros O₁ = (0 ; 0) y O₂ = (35,2 ; −35,2); puntos de tangencia T_L, T y T₂
Interpretación: el croquis no está acotado más que con 45°; se adopta que el radio de C₁ y la posición de A son los del dibujo.
Respuesta final
T = (17,7 ; −17,7); C₂: centro O₂ = (35,2 ; −35,2) mm, radio 24,8 mm, tangente a C₁ en T y a la horizontal en T₂ = (35,2 ; −60,0); tangente desde A: A–T_L con T_L = (−24,5 ; 4,9) mm (respecto de O₁).
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Represente las proyecciones de una pirámide recta de base triangular regular y de altura 80 mm, contenida en el primer diedro, analizando su visibilidad. Base en α, inscrita en circunferencia de centro O y radio 40 mm, un vértice con cota 65 mm. Datos: α₂ inclinada 54,9°, α₁ ⟂ LT; O = (−27,8 ; 34,8 ; 39,3) mm.
1. Plano α. α₁ es perpendicular a LT y α₂ está inclinada 54,9° con LT: α es proyectante vertical (perpendicular al plano vertical). Todos sus puntos se proyectan verticalmente sobre α₂. O está en α: O₂ ∈ α₂ y O₁ en la perpendicular a LT, a 34,8 mm de LT.
α ⟂ PV
O = (−27,8 ; 34,8 ; 39,3) mm (x ; alejamiento ; cota)
Un plano con α₁ ⟂ LT es perpendicular al plano vertical.
2. Verdadera magnitud de la base. Se abate α sobre el plano horizontal alrededor de α₁ (charnela): cada punto se desplaza sobre la perpendicular a α₁, y su distancia a α₁ pasa a ser cota/sen 54,9°. Se dibuja la circunferencia de radio 40 mm de centro O* y se busca el vértice de cota 65 mm: en el abatido, la paralela a α₁ a 65/sen 54,9° = 79,4 mm lo corta.
s = z / sen β
Vértice A en y = 10,1 mm (alejamiento), cota 65
Corta en dos puntos (simétricos respecto de la recta de O*); da dos triángulos posibles. Solo uno deja toda la pirámide en el primer diedro (el otro saca el vértice a alejamiento −4,8 mm).
3. Triángulo regular. Desde A se inscribe el triángulo equilátero en la circunferencia (compás a 120°). Se obtienen B y C. Se desabate: los vértices vuelven a α₂ con la cota s·sen β y el alejamiento conservado.
B, C a ±120° de A
A = (−45,8 ; 10,1 ; 65,0) ; B = (−31,0 ; 74,4 ; 43,9) ; C = (−6,4 ; 20,0 ; 8,9) mm (x ; alejamiento ; cota); lado 69,3 mm
Comprobado: lados 69,28 = 40·√3 y los tres vértices en α.
4. Altura. La pirámide es recta: el vértice V está en la perpendicular a α por O, a 80 mm. Como α es proyectante vertical, esa perpendicular es una recta frontal (paralela al plano vertical) perpendicular a α₂: V₂ está en la perpendicular a α₂ por O₂ a 80 mm, y V₁ en la horizontal por O₁ (mismo alejamiento). Se toma el sentido que lo deja en el primer diedro (hacia arriba y la derecha).
V = O + 80·n, n ⟂ α
V = (37,7 ; 34,8 ; 85,3) mm (x ; alejamiento ; cota)
5. Visibilidad. Con trazado de rayos sobre las 4 caras: proyección vertical 5 tramos vistos y 1 oculto; horizontal 5 vistos y 1 oculto. Se unen V con A, B y C.
Ray-tracing
Aristas ocultas: la que queda tapada por las otras caras en cada vista
Respuesta final
Base ABC con A = (−45,8 ; 10,1 ; 65,0), B = (−31,0 ; 74,4 ; 43,9), C = (−6,4 ; 20,0 ; 8,9) mm y vértice V = (37,7 ; 34,8 ; 85,3) mm (x ; alejamiento ; cota, respecto del punto de LT de las trazas). Visibilidad: vertical 5 vistas + 1 oculta; horizontal 5 + 1.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 5 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
Represente las trazas del plano α perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio (1 p.). Represente las proyecciones diédricas de un cono oblicuo, de base circular de radio 24 mm y centro A, apoyado en el plano horizontal, de vértice B (1 p.). Distinga la visibilidad. Datos (mm): A = (0 ; 30,8 ; 0), B = (64,7 ; 79,0 ; 60,9).
- a)Trazas de α ⟂ AB por su punto medio (1 p.).
- b)Proyecciones del cono oblicuo y visibilidad (1 p.).
Apartado a
1. Punto medio. M se obtiene dividiendo por la mitad A₁B₁ y A₂B₂ (mediatriz en cada proyección).
M = (A + B)/2
M = (32,3 ; 54,9 ; 30,5) mm (x ; alejamiento ; cota)
2. Trazas. Un plano perpendicular a una recta tiene sus trazas perpendiculares a las proyecciones homónimas de la recta: α₁ ⟂ A₁B₁ y α₂ ⟂ A₂B₂. Se traza por M₁ la perpendicular a A₁B₁ (horizontal: se prolonga hasta LT, punto N) y por N la perpendicular a A₂B₂, que es α₂ (se comprueba que pasa por la traza vertical de la horizontal por M).
α₁ ⟂ A₁B₁ por M₁ ; α₂ ⟂ A₂B₂ por N
Las trazas se cortan en LT en x = 101,9 mm (respecto de A); α₁ forma 126,7° y α₂ 133,3° con LT
Comprobado: n·(P − M) = 0 con n = AB, para puntos de ambas trazas.
Apartado b
1. Base. Como el cono se apoya en el plano horizontal con centro A (cota 0), la base se proyecta en verdadera forma en planta: circunferencia de centro A₁ y radio 24 mm; en el alzado es un segmento sobre LT de 48 mm centrado en A₂.
c(A₁; 24) ; segmento A₂±24 sobre LT
Base: (0,0 ; −30,8) mm
2. Generatrices extremas. En planta, desde B₁ se trazan las tangentes a la circunferencia (circunferencia de diámetro A₁B₁ y arco capaz de 90°); en el alzado, de B₂ a los extremos del segmento de la base.
Tangentes desde B₁ ; B₂ → A₂ ± 24
Puntos de tangencia en planta: (19,4 ; −16,7) y (−8,0 ; −53,5) mm; |A₁B₁| = 80,7 mm
3. Visibilidad. Planta (se mira desde arriba): la superficie lateral cubre el disco de la base; el arco de la circunferencia más alejado de B₁ (entre los puntos de tangencia, por el lado opuesto) es contorno y se ve; el arco cercano a B₁ queda bajo la superficie: trazo discontinuo. Alzado (se mira de frente): las generatrices extremas son contorno visible; la base está sobre LT.
Arco visto: 36,0° → 250,6° ; oculto: −109,4° → 36,0°
Planta: arco lejano continuo, cercano a trazos. Alzado: contorno continuo
Las generatrices extremas siempre se ven; los ejes A–B se dibujan en trazo y punto como línea auxiliar.
Respuesta final
α: trazas α₁ ⟂ A₁B₁ y α₂ ⟂ A₂B₂ por M = (32,3 ; 54,9 ; 30,5) mm, cortándose en LT a x = 101,9 mm. Cono: base c(A₁; 24) en planta (arco lejano de B₁ visto, cercano oculto) y segmento de 48 mm sobre LT en alzado, con generatrices extremas desde B₁ y B₂.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 4 resultados comprobados en 1 apartado
- Revisión humana pendiente
Dado el sólido definido por sus vistas en el sistema diédrico europeo, represente su dibujo isométrico a escala 1:1 sin coeficiente de reducción, con O en el origen y líneas ocultas. Datos: alzado 75 × 36 con rebaje de 20 × 7; perfil con cotas 40, 21, 8, 15, 9, 18.
1. Interpretar el sólido. El perfil es el contorno de la sección en el plano YZ; el alzado muestra que ese contorno se mantiene en los 75 mm de ancho (todas las líneas horizontales del alzado en z = 15 oculta, z = 23 y z = 36 cruzan todo el ancho). Solo el bloque superior (z de 23 a 36, y de 19 a 40) tiene un rebaje central de 20 mm de ancho (x de 18 a 38) y 7 mm de profundidad (hasta z = 29), que aparece oculto en el perfil.
Sólido = perfil (y,z) extruido 75 mm en X − rebaje 20 × 7 × 21
Perfil de 10 vértices: (13;0) (31;0) (31;23) (40;23) (40;36) (19;36) (19;23) (0;23) (0;15) (13;15)
Las líneas del alzado y del perfil se reproducen exactamente con este modelo (comprobado con trazado de rayos).
2. Ejes. Isométrico sin reducción: ejes a 120°, medidas en verdadera magnitud. X a 30° hacia la derecha y abajo, Y a 30° hacia la izquierda y abajo, Z vertical, con O (esquina inferior derecha posterior del sólido) en el origen: el sólido queda hacia −X, +Y y +Z.
(x ; y ; z) → (cos 30°(x − y) ; −sen 30°(x + y) + z) con origen en O
Caja envolvente 75 × 40 × 36
O está en x = 75 mm, y = 0 (atrás), z = 0.
3. Construcción. Se dibuja el perfil en la cara posterior del sólido en el extremo derecho (plano x = 75) llevando y sobre el eje Y y z sobre Z; se copia a 75 mm hacia −X (extrusión) y se unen los vértices con paralelas al eje X; se recorta el rebaje (x de 18 a 38, z de 29 a 36) en el bloque superior.
Extrusión del perfil + rebaje
Vértices del perfil proyectados por la fórmula del paso 2
4. Aristas vistas y ocultas. Observador en la dirección (1, 1, 1): se ven la cara superior, la frontal (y mayor) y la derecha. Resultado del trazado de rayos: 29 tramos vistos y 16 ocultos (entre ellos la arista z = 15 posterior inferior y las aristas ocultas bajo el bloque superior).
Ray-tracing hacia (1,1,1)
29 continuos + 16 discontinuos
Respuesta final
Isométrico de la figura 3: perfil extruido 75 mm en X con O en el extremo derecho y rebaje superior de 20 × 7 mm; 29 tramos vistos y 16 ocultos.
Construcción revisada · revisión humana pendiente
Cómo se comprobó
- Método: se revisa la construcción de la lámina; no hay cálculo simbólico.
- 3 resultados comprobados en 2 apartados
- Revisión humana pendiente
PREGUNTA 5 (3 puntos). Dada la pieza representada a escala 4:5 en dibujo isométrico (sin coeficientes de reducción): - Dibuje en croquis (a mano alzada) en sistema diédrico europeo, el alzado (según A), la planta y la vista lateral derecha, con todas sus líneas ocultas (2 p.). - Acote las vistas según las normas (1 p.).
Apartado a
1. Lectura de la pieza. En el isométrico sin reducción las medidas sobre los ejes a 30° y vertical se toman en verdadera magnitud (4:5). Pieza con una placa base de contorno curvo (semicircular a la derecha) con un cilindro vertical hueco o saliente de eje vertical, y un bloque inclinado con una rampa a la izquierda.
Medir sobre las rectas paralelas a los tres ejes
Medidas tomadas del dibujo: placa base con extremo semicircular y cilindro de eje vertical; bloque inclinado a la izquierda; dibujo a escala 4:5 (las cotas reales son 5/4 de lo medido)
Las aristas que no son paralelas a un eje (rampas e inclinaciones) se miden por sus extremos, llevando cada coordenada sobre los ejes.
2. Vistas. Se elige como alzado la vista según la flecha A (la que mira la cara con más información), la planta debajo y la vista lateral derecha a la izquierda del alzado, todas con las aristas ocultas en trazo discontinuo y las coincidencias de visto y oculto resueltas a favor del visto.
Sistema europeo: planta bajo el alzado, lateral derecha a la izquierda
Tres vistas coordinadas por las líneas de referencia a 45°
Cada arista de una vista debe tener su proyección en las otras dos.
Apartado b
1. Acotación. Una sola vez cada medida, fuera de las vistas, en la vista que mejor define el elemento; cota total de ancho, alto y fondo; cotas de las rampas por sus dos catetos; sin cotar aristas ocultas.
Cotas según norma
Cotas de longitud, altura y profundidad de cada elemento (ver medidas del paso 1)
Respuesta final
Alzado según A, planta y vista lateral derecha del sólido leído en el isométrico (ver medidas del paso 1), con todas las aristas ocultas y acotación completa de cada elemento. Reconstrucción pendiente de revisión humana.