Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2025 · Extraordinaria 2025

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · revisión humana pendiente

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 4 apartados
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Se desea diseñar un sistema para el riego de un pequeño invernadero. Se dispone de los siguientes sensores:

H: sensor de humedad; ofrece un valor de 1 cuando hay humedad suficiente en el terreno y 0 cuando esta es insuficiente.
T: sensor de temperatura ambiente; cuando la temperatura es elevada se tiene un valor de 1. El sistema de riego se alimenta del agua de un depósito con un sensor (D) que ofrece un valor de 0 cuando no hay agua suficiente y un valor de 1 cuando hay agua disponible. El sistema de riego se pondrá en funcionamiento (R=1) siempre que:
Haya agua en el depósito y el terreno tenga una baja humedad (D=1, H=0), o bien
Haya agua en el depósito y la temperatura ambiente sea elevada (D=1, T=1).

a)Representar la Tabla de Verdad para el sistema de riego (R) en función de las entradas DHT.
b)Obtener la función de R simplificada mediante un diagrama de Karnaugh.
c)Representar con puertas lógicas la función obtenida previamente.
d)Si se decidiera emplear un depósito de hierro para almacenar el agua de riego, ¿cuál sería el principal problema en el empleo de este material para dicha funcionalidad? Indicar alguna solución/tratamiento y alternativa a este material.

Karnaugh de R(D,H,T): agrupaciones D·H̄ y D·T

R = D·H̄ + D·T con puertas lógicas

Apartado a

1. Tabla de verdad
$R = 1$ si $D = 1$ y ( $H = 0$ o $T = 1$ ): $R = D \cdot \overset{ˉ}{H} + D \cdot T$ . Filas $D H T$ : 000→0; 001→0; 010→0; 011→0; 100→1; 101→1; 110→0; 111→1
$R = 1$ en las filas 100, 101 y 111 (minterms 4, 5 y 7)
Con $D = 0$ nunca se riega, aunque la tierra esté seca o haga calor: no hay agua. Con $D = 1$ y $H = 1$ , $T = 0$ (110) tampoco: hay humedad y no hace calor.

Apartado b

1. Mapa de Karnaugh
Fila $D = 1$ : casillas $H T = 00, 01, 11$ con 1; fila $D = 0$ : todo 0. Pareja ${100, 101}$ ( $D \overset{ˉ}{H}$ ) y pareja ${101, 111}$ ( $D T$ )
$R = D \overset{ˉ}{H} + D T = D (\overset{ˉ}{H} + T)$
La casilla 101 se usa en las dos parejas (se permite solapar). Cada pareja elimina la variable que cambia ( $T$ en la primera, $H$ en la segunda).

Apartado c

1. Circuito con puertas
Forma $R = D \overset{ˉ}{H} + D T$ : 1 inversor (para $H$ ), 2 puertas AND y 1 puerta OR. Forma factorizada $R = D \cdot (\overset{ˉ}{H} + T)$ : 1 inversor, 1 OR y 1 AND
Ambos circuitos dan la misma tabla de verdad
Se dibuja el circuito con la salida de las dos AND entrando en la OR (ver figura).

Apartado d

1. Problema de un depósito de hierro
El hierro en contacto con agua y oxígeno se oxida (corrosión): $Fe \to Fe^{2 +} + 2 e^{-}$ , con formación de óxido/herrumbre
Corrosión: el depósito pierde espesor, puede perforarse y el óxido ensucia el agua de riego
El agua, el aire y las sales disueltas aceleran el proceso.
2. Soluciones y alternativas
Tratamiento: galvanizado (recubrimiento de cinc), pintura epoxi o revestimiento interior, protección catódica con ánodo de sacrificio (Zn o Mg), pasivado. Alternativas: acero inoxidable, polietileno (PE) o PVC, fibra de vidrio, hormigón revestido
—
Con un plástico (PE) el depósito no se corroe y es más barato y ligero, aunque menos resistente a golpes y a la radiación UV.

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se ha diseñado un circuito eléctrico como el de la figura. En este circuito en serie RLC se ha implementado una fuente de tensión alterna (Vs) de amplitud 100 V y 50 Hz de frecuencia, una resistencia de 12 Ω, una inductancia de 0.15 H y un condensador en serie de 100 μF (microfaradios). Calcula los siguientes parámetros característicos del mismo. [Figura: circuito serie con la fuente Vs = 100 V, 50 Hz, y R = 12 Ω, L = 0.15 H y C = 100 μF en serie; la corriente I se indica en el sentido de la fuente hacia R.]

a)Impedancia total del circuito.
b)¿Qué corriente se tiene en el circuito?
c)¿Qué tensión se mide en bornes del condensador? ¿Y qué factor de potencia tiene?

Circuito RLC serie (Vs de amplitud 100 V)

Apartado a

1. Pulsación
$ω = 2 π f = 2 π \cdot 50$
$ω = 314, 16$ rad/s
—
2. Reactancias
$X_{L} = ω L = 314, 16 \cdot 0, 15$ ; $X_{C} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{314 , 16 \cdot 100 \cdot 1 0 ^{- 6}}$
$X_{L} = 47, 12 Ω$ ; $X_{C} = 31, 83 Ω$
—
3. Impedancia
$\overset{ˉ}{Z} = R + j (X_{L} - X_{C}) = 12 + j (47, 12 - 31, 83)$
$\overset{ˉ}{Z} = 12 + j 15, 29 Ω$ ; $∣ Z ∣ = 1 2^{2} + 15, 2 9^{2} = 19, 44 Ω$ ; $φ = 51, 9^{\circ}$
$φ > 0$ porque $X_{L} > X_{C}$ : el circuito es inductivo (la corriente se retrasa respecto a la tensión).

Apartado b

1. Corriente
La fuente tiene amplitud $V_{ma x} = 100$ V: $I_{ma x} = \frac{V _{ma x}}{∣ Z ∣} = \frac{100}{19 , 44}$
$I_{ma x} = 5, 14$ A; valor eficaz $I = I_{ma x} / 2 = 3, 64$ A
Si se interpretara el 100 V como valor eficaz, $I = 100/19, 44 = 5, 14$ A eficaces; el planteamiento ( $I = V /∣ Z ∣$ ) es el mismo.

Apartado c

1. Tensión en el condensador
$V_{C, ma x} = I_{ma x} X_{C} = 5, 144 \cdot 31, 83$
$V_{C, ma x} = 163, 7$ V (eficaz: $115, 8$ V)
Puede superar la de la fuente: en un RLC serie las tensiones de $L$ ( $V_{L, ma x} = 242, 4$ V) y $C$ van en oposición de fase y se compensan en parte (resonancia parcial).
2. Factor de potencia
$cos φ = \frac{R}{∣ Z ∣} = \frac{12}{19 , 44}$
$cos φ = 0, 617$ (inductivo)
Comprobación: $cos (51, 9^{\circ}) = 0, 617$ .

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En un cargador ultrarrápido para patinetes eléctricos de la ciudad de Orihuela se ha dispuesto las siguientes características para su uso, una potencia activa (P) de 50 kW a un factor de potencia (FP) de 0.6 (inductivo). El gerente de la empresa de mantenimiento ha solicitado una mejora del factor de potencia a 0.85, para atender más solicitudes, mediante la instalación de un condensador en paralelo. El sistema opera a una frecuencia de 50 Hz y con un voltaje de 220 V.

a)Calcule la potencia reactiva (Q) actual consumida al usar el cargador.
b)Determine la capacidad del condensador (en faradios) que se debe instalar para corregir el factor de potencia a 0.85. En base a este nuevo factor de potencia, calcule las potencias activa (P), aparente (S) y reactiva (Q) y dibuje el nuevo triángulo de potencias.
c)Describa las ventajas de mejorar FP frente a aumentar su potencia activa sin mejorar su FP.

Triangulo de potencias (kW, kvar, kVA)

Apartado a

1. Ángulo y potencia reactiva actuales
$φ_{1} = arccos 0, 6 = 53, 1 3^{\circ}$ ; $Q_{1} = P tan φ_{1} = 50000 \cdot 1, 3333$
$Q_{1} = 66667$ var $\approx 66, 7$ kvar
$S_{1} = P / FP = 83, 3$ kVA.

Apartado b

1. Reactiva final
$φ_{2} = arccos 0, 85 = 31, 7 9^{\circ}$ ; $Q_{2} = P tan φ_{2} = 50000 \cdot 0, 6197$
$Q_{2} = 30987$ var $\approx 31, 0$ kvar
Con el condensador en paralelo $P$ no cambia.
2. Reactiva del condensador
$Q_{C} = Q_{1} - Q_{2} = 66667 - 30987$
$Q_{C} = 35679$ var
—
3. Capacidad
$Q_{C} = V^{2} ω C \Rightarrow C = \frac{Q _{C}}{2 π f V ^{2}} = \frac{35 679}{2 π \cdot 50 \cdot 22 0 ^{2}}$
$C = 2, 35 \cdot 1 0^{- 3}$ F $= 2, 35$ mF
Es un valor grande (2350 μF): se montaría como batería de condensadores en varios escalones.
4. Nuevas potencias y triángulo
$P = 50$ kW; $S_{2} = \frac{P}{0 , 85} = 58, 82$ kVA; $Q_{2} = S_{2}^{2} - P^{2} = 30, 99$ kvar
$P = 50$ kW, $S = 58, 8$ kVA, $Q = 31, 0$ kvar
Triángulo rectángulo con cateto $P = 50$ kW, cateto $Q = 31, 0$ kvar e hipotenusa $S = 58, 8$ kVA; el ángulo baja de $53, 1^{\circ}$ a $31, 8^{\circ}$ .

Apartado c

1. Ventajas de mejorar el FP
Para la misma $P$ , $I = \frac{P}{V \cdot FP}$ baja de $378, 8$ A a $267, 4$ A. Menor $I$ : menos pérdidas por efecto Joule ( $\propto I^{2}$ , casi a la mitad), menor caída de tensión y cables y transformador menos cargados. Se evita el recargo por energía reactiva en la factura
—
Aumentar $P$ sin mejorar el FP sube $S$ y $I$ en la misma proporción y obliga a ampliar la instalación; mejorar el FP libera capacidad para atender más cargadores con la misma red.

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En un invernadero se está analizando la instalación de una bomba de calor para un sistema de calefacción. En el balance energético, realizado en una franja temporal, se recibe el calor procedente del sol Qsol = 1000 W. Las pérdidas de calor producidas son las debidas a la ventilación (Qven = 2000 W), la cubierta (Qcov = 1500 W) y el suelo (Qsuelo = 900 W). Con el calor aportado por la bomba de calor (Qt) se quiere mantener la temperatura a 25 ºC, siendo la temperatura del exterior Text = 10 ºC. Teniendo en cuenta: Qsol + Qt = Qven + Qcov + Qsuelo COP (eficiencia) = Tinterior / (Tinterior - Texterior) T(kelvin) = T (ºC) + 273.15

a)Calcula el coeficiente de rendimiento (COP) o eficiencia de la bomba de calor, considerando la bomba de calor ideal (siguiendo el ciclo de Carnot). Calcula la potencia eléctrica necesaria a partir del balance energético.
b)Si partimos de una máquina más realista con una eficiencia o COP = 3, ¿cuánta potencia eléctrica sería necesaria? Valora las diferencias entre la calculada en este apartado y la obtenida en el apartado anterior.
c)Calcula el calor extraído del ambiente exterior por la bomba de calor considerando la máquina del apartado b y las condiciones ambientales del enunciado.

Apartado a

1. Temperaturas en kelvin
$T_{in t} = 25 + 273, 15 = 298, 15$ K; $T_{e x t} = 10 + 273, 15 = 283, 15$ K
—
—
2. COP ideal (Carnot)
$C O P = \frac{T _{in t}}{T _{in t} - T _{e x t}} = \frac{298 , 15}{15}$
$C O P = 19, 88$
—
3. Calor que debe aportar la bomba
$Q_{so l} + Q_{t} = Q_{v e n} + Q_{co v} + Q_{s u e l o} \Rightarrow Q_{t} = 2000 + 1500 + 900 - 1000$
$Q_{t} = 3400$ W
—
4. Potencia eléctrica ideal
$W = \frac{Q _{t}}{C O P} = \frac{3400}{19 , 88}$
$W \approx 171$ W
$Q_{t}$ es el calor entregado al invernadero (foco caliente); el COP de calefacción relaciona ese calor con el trabajo eléctrico.

Apartado b

1. Máquina real con COP = 3
$W = \frac{Q _{t}}{C O P} = \frac{3400}{3}$
$W = 1133$ W
—
2. Comparación
$\frac{1133}{171} = 6, 6$ ; diferencia $1133 - 171 \approx 962$ W
La máquina real consume 6,6 veces más que la ideal
El ciclo de Carnot es un límite teórico (sin irreversibilidades, fricción, pérdidas en el compresor ni diferencias finitas de temperatura); un COP real de 3 es típico de equipos comerciales.

Apartado c

1. Calor extraído del exterior
$Q_{t} = Q_{e x t} + W \Rightarrow Q_{e x t} = 3400 - 1133$
$Q_{e x t} \approx 2267$ W
Es 2/3 del calor aportado; el resto lo pone el compresor. Con la máquina ideal serían 3229 W.

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Teniendo en cuenta un sistema de control, responder a las siguientes cuestiones:

a)Un sistema de control en lazo cerrado, en un invernadero, activa un sistema de calefacción cuando la temperatura en el interior Tin desciende por debajo de la temperatura de referencia Tref = 25 ºC. Si la temperatura en el exterior Text se mantiene constante y la tasa de calentamiento es de 0.5 ºC/min, calcula el tiempo necesario para alcanzar 25 ºC desde los 22 ºC.
b)En el sistema de control en lazo cerrado se utiliza un controlador de acción proporcional al error (Kp) para mantener la temperatura interna Tin cercana a Tref = 25 ºC. Si el sistema tiene un error inicial ϵ(0) = −2 ºC, calcula la acción de control en el instante inicial considerando el parámetro proporcional Kp = 1.5.
c)Describe al menos dos elementos que intervienen en un sistema de control en lazo cerrado como el utilizado en el control del invernadero. Indica una diferencia de este tipo de control con un sistema de control en lazo abierto.

Lazo cerrado del control de temperatura

Apartado a

1. Tiempo de calentamiento
$t = \frac{Δ T}{tasa} = \frac{25 - 22}{0 , 5 °C/min}$
$t = 6$ min
Se supone tasa de calentamiento constante.

Apartado b

1. Acción proporcional
$u (0) = K_{p} ϵ (0) = 1, 5 \cdot (- 2)$
$u (0) = - 3$ (unidades de la señal de control)
El error es negativo, con signo opuesto al de «hace falta calentar»: la acción es de signo contrario (en un sistema de solo calefacción equivale a no calentar, la señal se satura en 0).

Apartado c

1. Elementos del lazo cerrado
Sensor de temperatura (mide $T_{in}$ ); comparador/sumador (calcula el error $ϵ = T_{r e f} - T_{in}$ ); controlador (aquí proporcional, $K_{p}$ ); actuador (calefactor); planta o proceso (el invernadero); consigna $T_{r e f}$
—
Cualquiera dos de ellos vale.
2. Lazo cerrado frente a abierto
En lazo cerrado la salida se mide y se realimenta para corregir el error y las perturbaciones; en lazo abierto la acción de control no depende de la salida (no hay sensor ni realimentación)
—
Ejemplo de lazo abierto: calefactor con temporizador, que no mide la temperatura real.

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En una fábrica de maquinaria pesada se tiene que evaluar la dureza de una pieza de acero y para ello se va a realizar el ensayo de dureza Brinell, utilizando una bola de 10 mm de diámetro y una carga de 3000 kp. El valor obtenido al realizar el ensayo es de dureza 150 HB. Fórmulas: $H B = \frac{F}{S} = \frac{2 F}{π D ( D - D ^{2} - d ^{2} )}$

a)Si el resultado del ensayo se expresa como 150 HB 10/3000 15s, ¿cuánto tiempo ha durado el ensayo?
b)Cita otros dos ensayos de dureza que se podrían haber utilizado comentando las diferencias con el ensayo de dureza de Brinell.
c)Calcula el diámetro de la huella dejada por la bola en la superficie del acero.

Apartado a

1. Designación del ensayo
En «150 HB 10/3000 15s»: 150 = dureza Brinell, 10 = diámetro de la bola (mm), 3000 = carga (kp), 15 = tiempo de aplicación de la carga (s)
El ensayo dura 15 s (tiempo de aplicación de la carga)
Si se omite el tiempo, la norma supone de 10 a 15 s.

Apartado b

1. Ensayo Vickers
Penetrador: pirámide de diamante de base cuadrada y 136° entre caras; se miden las diagonales de la huella, $H V \approx 1, 854 F / d^{2}$
Diferencia: sirve para cualquier dureza (también materiales muy duros) y huellas pequeñas (chapas finas, recubrimientos); más lento y con mejor acabado superficial
Brinell usa bola, huella grande (promedia estructuras heterogéneas) y no sirve para materiales muy duros ( $> 450$ HB) ni piezas delgadas.
2. Ensayo Rockwell
Penetrador de cono de diamante (HRC) o bola de acero (HRB); se mide la profundidad de penetración tras una precarga y una carga
Diferencia: lectura directa en la máquina (rápido, sin medir huella al microscopio) y huella muy pequeña
Rockwell C es habitual para aceros templados; Brinell se usa en piezas de fundición o acero blando.

Apartado c

1. Despejar la huella
$150 = \frac{2 \cdot 3000}{π \cdot 10 ( 10 - 100 - d ^{2} )} \Rightarrow 10 - 100 - d^{2} = \frac{6000}{150 π \cdot 10} = 1, 2732$
$100 - d^{2} = 8, 7268$
—
2. Diámetro
$100 - d^{2} = 8, 726 8^{2} = 76, 157 \Rightarrow d^{2} = 23, 84$
$d = 4, 88$ mm
Comprobación: $d / D = 0, 49$ , dentro del intervalo válido del ensayo ( $0, 25 D < d < 0, 6 D$ ). $H B$ en kp/mm².

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Dada la viga de la figura, donde se indica la distribución de cargas y apoyos, se pide: [Figura: viga horizontal de 10 m con apoyo fijo en A (x=0) y apoyo móvil en B (x=6 m). Carga repartida de 600 N/m sobre los primeros 3 m (de A a x=3); fuerza puntual de 450 N hacia abajo en x=5 m (a 2 m del final de la carga repartida); fuerza de 300 N hacia abajo en el extremo derecho (x=10 m). Cotas: 3 m, 2 m, 1 m y 4 m.]

a)Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga.
b)Calcular las reacciones en los apoyos.
c)Indicar dos tratamientos térmicos que podrías aplicar a esta viga de acero estructural para mejorar sus propiedades mecánicas, e indica qué se mejoraría con estos tratamientos.

DCL de la viga: R_A = 1225 N, R_B = 1325 N (R_Ax = 0)

Apartado a

1. Diagrama de cuerpo libre
Se quitan los apoyos y se sustituyen por sus reacciones: apoyo fijo en A ( $R_{A x}$ , $R_{A y}$ ), apoyo móvil en B ( $R_{B y}$ vertical). Carga repartida $600$ N/m sobre 3 m = fuerza equivalente $F_{q} = 600 \cdot 3 = 1800$ N en su centro ( $x = 1, 5$ m); 450 N en $x = 5$ m; 300 N en $x = 10$ m
—
Ver figura. Las cargas actúan hacia abajo; no hay fuerzas horizontales.

Apartado b

1. Equilibrio horizontal
$\sum F_{x} = 0 \Rightarrow R_{A x} = 0$
$R_{A x} = 0$
—
2. Momentos respecto de A
$\sum M_{A} = 0 : R_{B y} \cdot 6 = 1800 \cdot 1, 5 + 450 \cdot 5 + 300 \cdot 10 = 2700 + 2250 + 3000$
$R_{B y} = \frac{7950}{6} = 1325$ N
—
3. Equilibrio vertical
$\sum F_{y} = 0 : R_{A y} + R_{B y} = 1800 + 450 + 300 = 2550$
$R_{A y} = 2550 - 1325 = 1225$ N
Comprobación con momentos respecto de B: $1225 \cdot 6 - 1800 \cdot 4, 5 + 450 \cdot 1 - 300 \cdot 4 = 0$ .

Apartado c

1. Tratamientos térmicos
Temple (calentar por encima de la temperatura crítica y enfriar rápido) y revenido posterior
Temple: aumenta dureza y resistencia, pero fragiliza; revenido: reduce la fragilidad y las tensiones internas y devuelve tenacidad
Alternativas válidas: normalizado (afina el grano, mejora la homogeneidad y la resistencia) y recocido (ablanda, elimina tensiones y mejora la ductilidad y la mecanizabilidad).