Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria 2025 - Examen de Reserva · Extraordinaria 2025 (Reserva)

1. Total de miembros: $120$. Los que prefieren ensayos suman $1+3+6=10$. Aplicamos el suceso contrario.

1. Sea $\overline{Po}$ = no prefiere poesía y $E_{\ge 25}$ = tiene 25 años o más. Casos con preferencia distinta de poesía: $120-(6+17+12)=85$.

2. De esos 85, los de menos de 25 años son $17+7+1=25$; luego los de 25 o más son $85-25=60$. Probabilidad condicionada (casos favorables entre posibles).

1. Entre los de 25 – 60 años hay $22+17+10+3=52$ personas; teatro o ensayos: $10+3=13$. La probabilidad de que una de ellas prefiera teatro o ensayos es $p=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$.

2. «Como mucho 3» significa $X\le 3$: sumamos $k=0,1,2,3$.

1. Pasamos todos los términos con $X$ a un lado y sacamos factor común por la derecha.

2. Calculamos $2A-B$ y su determinante.

3. Invertimos (intercambiar diagonal, cambiar signo de la otra, dividir entre el determinante).

1. Calculamos $A^2$.

2. Sustituimos en la ecuación: $4A^2=I$.

3. Como $A\ne 0$ (tiene entradas no nulas), $\alpha A=0$ solo se cumple para $\alpha =0$.

1. Como $A^2=\frac{1}{4}I$, las potencias se obtienen agrupando de dos en dos: $A^{12}=(A^2{)}^6$.

1. Matriz de coeficientes $M$ y determinante.

2. Si $a\ne 1$: $\det M\ne 0\Rightarrow \mathrm{rg}M=\mathrm{rg}{M}^{\ast }=3=$ nº de incógnitas.

3. Si $a=1$: $M=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 2& 2& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$ tiene rango 2 (el menor $\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=4\ne 0$). Ampliamos con los términos independientes $(0,1,0{)}^t$ y buscamos un menor de orden 3.

1. Es compatible solo para $a\ne 1$ (única solución). Aplicamos Cramer: $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$, etc., con $\Delta =-6(a-1)$ y los determinantes que resultan de sustituir cada columna por el término independiente.

2. Dividimos entre $\Delta$.

1. Pasamos $r$ a paramétricas: con $x=t$, $y=2x=2t$, $z=y=2t$. Pasa por $O=(0,0,0)$ con dirección $\vec{d}=(1,2,2)$. La normal de $\pi$ es ${\vec{n}}_{\pi }=(2,0,-1)$.

2. El plano buscado contiene a $r$ (su normal es perpendicular a $\vec{d}$) y es perpendicular a $\pi$ (su normal es perpendicular a ${\vec{n}}_{\pi }$). Como $\vec{d}$ y ${\vec{n}}_{\pi }$ no son paralelos, el plano es único y su normal es el producto vectorial.

3. Plano por $O$ con normal $(2,-5,4)$ (proporcional a la anterior).

1. Los planos paralelos a $\pi$ son $2x-z=k$, es decir, $2x-z-k=0$. Imponemos la distancia a $P=(0,1,2)$.

2. Resolvemos el valor absoluto: $-2-k=\pm 2\sqrt{5}$.

1. Un punto pertenece a $\pi :2x+3y-z=0$ si sus coordenadas cumplen la ecuación. $A$ sí; probamos $B$ y $C$.

1. Fórmula de la distancia de un punto a un plano con $D=(1,2,-1)$.

1. Primero el plano que forman $A$, $B$ y $C$: normal por el producto vectorial de dos vectores del plano.

2. Pasa por $A=(0,0,0)$, luego el plano es ${\pi }_{ABC}:2x+2y+z=0$. Proyectamos $D$ restando su componente en la dirección de la normal $\vec{n}=(2,2,1)$.

3. $D^{\prime }=D-\frac{\vec{n}\cdot D}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}$.

1. El denominador se anula en $x=\pm 3$, que quedan fuera del dominio.

2. Asíntotas verticales: estudiamos los límites laterales en $x=3$ y $x=-3$ (el numerador vale $\pm 3$ y el denominador $9-x^2$ cambia de signo).

3. Asíntota horizontal: el denominador tiene mayor grado que el numerador.

4. Derivamos con la regla del cociente.

5. El numerador $9+x^2$ es siempre positivo y el denominador es un cuadrado no nulo en el dominio: $f^{\prime }>0$.

1. $f$ es impar ($f(-x)=-f(x)$): simétrica respecto al origen y con $f(0)=0$. En $(-3,3)$ pasa por el origen creciendo desde $-\infty$ (junto a $x=-3$) hasta $+\infty$ (junto a $x=3$). A la derecha de $x=3$ la rama baja de $-\infty$ hacia $y=0$ por debajo, y a la izquierda de $x=-3$ la rama simétrica viene de $y=0$ por encima hasta $+\infty$.

1. El numerador es, salvo el factor $-\frac{1}{2}$, la derivada del denominador $9-x^2$ (cuya derivada es $-2x$): es inmediata.

1. En $[-1,1]$ no hay asíntotas ($|x|<3$) y $f$ es impar: la integral con signo vale 0, pero el área es el doble del área entre $0$ y $1$, donde $f\ge 0$.

2. Evaluamos.

1. Área total del cilindro: dos tapas circulares más la superficie lateral.

1. Eliminamos $h$ con la restricción de volumen para tener una función de una variable.

2. Derivamos e igualamos a cero.

3. Es mínimo porque $A^{\prime \prime }(r)=4\pi +\frac{132}{r^3}>0$ para $r>0$ (y además $A\to \infty$ si $r\to 0$ o $r\to \infty$). Calculamos la altura: como $r^3=\frac{33}{2\pi }$, resulta $h=\frac{33}{\pi r^2}=\frac{2\pi r^3}{\pi r^2}=2r$.

1. Con $66=4\pi r^3$ la expresión del área se simplifica: $A=2\pi r^2+\frac{4\pi r^3}{r}=6\pi r^2$.