Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria 2025 - Sesión especial afectados DANA · Extraordinaria 2025 (Especial DANA)

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Los vuelos que llegan a un aeropuerto se clasifican en tres grupos: vuelos puntuales, vuelos con retrasos de hasta tres horas y vuelos con retrasos de más de tres horas. La puntualidad de los vuelos se ve afectada por las condiciones meteorológicas del momento. Si las condiciones meteorológicas son buenas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 70% mientras que el 10% llegan con más de tres horas de retraso. Si las condiciones meteorológicas son malas, el porcentaje de los vuelos que llegan con puntualidad es del 40% mientras que el 30% llegan con más de tres horas de retraso. Se calcula que el 90% de los días las condiciones meteorológicas son buenas.

1.1)¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo llegue con más de 3 horas de retraso?
1.2)Sabiendo que un vuelo ha sido puntual, ¿cuál es la probabilidad de que las condiciones meteorológicas fueran malas?
1.3)Un pasajero realiza un vuelo a dicho aeropuerto, desde donde debe tomar otro vuelo a su destino final. Este segundo vuelo enlaza si el primero llega con 3 horas o menos de retraso. Si realiza este viaje una vez al mes durante un año y viaja siempre en condiciones meteorológicas buenas, ¿cuál es la probabilidad de que pueda enlazar con el vuelo a su destino final en todos sus viajes?

Apartado 1.1

1. Definimos los sucesos: $B$ = condiciones buenas, $M$ = malas, $L$ = retraso de más de 3 horas. Datos: $P (B) = 0, 9$ , $P (M) = 0, 1$ , $P (L ∣ B) = 0, 1$ , $P (L ∣ M) = 0, 3$ .
$P (L) = P (B) P (L ∣ B) + P (M) P (L ∣ M)$
Teorema de la probabilidad total: $B$ y $M$ forman un sistema completo de sucesos.
2. Sustituimos.
$P (L) = 0, 9 \cdot 0, 1 + 0, 1 \cdot 0, 3 = 0, 09 + 0, 03$
$P (L) = 0, 12 = \frac{3}{25}$

Apartado 1.2

1. Sea $P u$ = vuelo puntual: $P (P u ∣ B) = 0, 7$ y $P (P u ∣ M) = 0, 4$ . Primero la probabilidad total de ser puntual.
$P (P u) = 0, 9 \cdot 0, 7 + 0, 1 \cdot 0, 4 = 0, 63 + 0, 04 = 0, 67$
2. Aplicamos el teorema de Bayes para invertir el condicionamiento.
$P (M ∣ P u) = \frac{P ( M ) P ( P u ∣ M )}{P ( P u )} = \frac{0 , 1 \cdot 0 , 4}{0 , 67} = \frac{4}{67}$
$P (M ∣ P u) = \frac{4}{67} \approx 0, 0597$
Es pequeña porque las condiciones malas son poco frecuentes (10 %).

Apartado 1.3

1. Con buen tiempo, el vuelo enlaza si llega puntual o con retraso de hasta 3 horas, es decir, si NO llega con más de 3 horas de retraso.
$P (enlazar ∣ B) = 1 - P (L ∣ B) = 1 - 0, 1 = 0, 9$
2. Los 12 viajes (uno al mes durante un año) son independientes y todos con buen tiempo: $X \sim B (12; 0, 9)$ y se pide $P (X = 12)$ .
$P (X = 12) = 0, 9^{12}$
$P (X = 12) \approx 0, 2824$

2.1Opción A2.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se considera la matriz $D = 1 m 2 00 - 1 m - 1 1$ , que depende de un parámetro real $m$ , y las matrices $E = (143)$ y $F = 12 - 1$ . Se pide:

2.1.1)Indicar, si existen, los valores del parámetro $m$ para los que $D$ tiene inversa.
2.1.2)Calcular las matrices $E F$ y $(F E)^{t}$ , si existen.
2.1.3)Resolver, para $m = 0$ , la ecuación matricial con incógnita $X$ : $\frac{1}{2} X + D = D^{- 1}$ .

Apartado 2.1.1

1. $D$ tiene inversa si y solo si $det D \neq = 0$ . Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo ( $- 1$ en la posición $(3, 2)$ ).
$det D = (- 1) \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 m m - 1 = (- 1) (- 1) (- 1 - m^{2}) = - (1 + m^{2})$
$det D = - (m^{2} + 1)$
2. Como $m^{2} + 1 \geq 1 > 0$ para todo real $m$ , el determinante nunca se anula.
$- (m^{2} + 1) \neq = 0 \forall m \in R$
$D$ es invertible para todo $m \in R$

Apartado 2.1.2

1. $E$ es $1 \times 3$ y $F$ es $3 \times 1$ : $E F$ existe y es $1 \times 1$ .
$E F = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot (- 1) = 1 + 8 - 3$
$E F = (6)$
2. $F E$ es $3 \times 1$ por $1 \times 3$ , luego existe y es $3 \times 3$ . Su traspuesta se obtiene intercambiando filas y columnas (o con $(F E)^{t} = E^{t} F^{t}$ ).
$F E = 12 - 1 48 - 4 36 - 3 \Rightarrow (F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$
$(F E)^{t} = 143286 - 1 - 4 - 3$

Apartado 2.1.3

1. Para $m = 0$ : $D = 102 00 - 1 0 - 1 1$ con $det D = - 1$ . Despejamos $X$ de $\frac{1}{2} X + D = D^{- 1}$ .
$X = 2 (D^{- 1} - D)$
2. Inversa por la adjunta: $D^{- 1} = \frac{1}{det D} (Adj D)^{t}$ , con $Adj D$ la matriz de cofactores.
$Adj D = - 1 00 - 2 11 010, D^{- 1} = \frac{1}{- 1} - 1 - 2 0 011010 = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0$
$D^{- 1} = 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0$
Comprobación: $D D^{- 1} = I$ .
3. Restamos y multiplicamos por 2.
$X = 2 120 0 - 1 - 1 0 - 1 0 - 102 00 - 1 0 - 1 1 = 2 02 - 2 0 - 1 0 00 - 1$
$X = 04 - 4 0 - 2 0 00 - 2$

2.2Opción B2.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dada la matriz $A = 10 m - 1 - 1 10 m + 1 m 5$ .

2.2.1)Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$ .
2.2.2)Para $m = 0$ , calcular la matriz inversa de $\frac{1}{6} A$ , si existe.

Apartado 2.2.1

1. El rango es 3 si $det A \neq = 0$ . Calculamos el determinante por la regla de Sarrus/primera fila.
$det A = 1 \cdot (5 - 0) + 1 \cdot (0 - m (m - 1)) + (m + 1) (0 - (m - 1)) = 5 - m^{2} + m - m^{2} + 1$
$det A = - 2 m^{2} + m + 6 = - (m - 2) (2 m + 3)$
2. Raíces: $m = 2$ y $m = - \frac{3}{2}$ . Si $m \neq = 2, - \frac{3}{2}$ entonces $det A \neq = 0$ .
$m \in / {2, - \frac{3}{2}} \Rightarrow rg A = 3$
3. Para $m = 2$ y para $m = - \frac{3}{2}$ el determinante vale 0 (rango $\leq 2$ ). Basta un menor $2 \times 2$ no nulo para asegurar rango 2: las dos primeras filas dan siempre el menor de las columnas 1 y 2.
$10 - 1 1 = 1 \neq = 0$
$m = 2$ o $m = - \frac{3}{2}$ : $rg A = 2$ .\quad Resto: $rg A = 3$

Apartado 2.2.2

1. Para $m = 0$ : $A = 10 - 1 - 1 10 105$ y $det A = 6 \neq = 0$ , luego $A$ es invertible y también $\frac{1}{6} A$ . Usamos $(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 6 A^{- 1}$ .
$6 A^{- 1} = 6 \cdot \frac{1}{6} (Adj A)^{t} = (Adj A)^{t}$
2. Matriz de cofactores de $A$ y su traspuesta.
$Adj A = 55 - 1 060111 \Rightarrow (Adj A)^{t} = 501561 - 1 01$
$(\frac{1}{6} A)^{- 1} = 501561 - 1 01$
Comprobación: $\frac{1}{6} A \cdot 501561 - 1 01 = I$ .

3.1Opción A2.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados los planos $π_{1} : 2 x - a^{2} y - a z = a - 1$ y $π_{2} : (a - 1) x - a y - z = a$ , se pide:

3.1.1)Estudiar en función de $a$ si los planos anteriores coinciden, son paralelos no coincidentes o se cortan.
3.1.2)Calcular, para $a = 0$ , el ángulo entre los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .
3.1.3)Calcular, para $a = 0$ , la distancia entre el punto $P = (1, 0, - 1)$ y el plano $π_{1}$ .

Apartado 3.1.1

1. Dos planos se cortan en una recta si sus vectores normales no son proporcionales, es decir, si el rango de la matriz de coeficientes es 2. Calculamos los menores $2 \times 2$ de $M = (2 a - 1 - a^{2} - a - a - 1)$ .
$2 a - 1 - a^{2} - a = a (a - 2) (a + 1), 2 a - 1 - a - 1 = (a - 2) (a + 1), - a^{2} - a - a - 1 = 0$
2. El rango de $M$ es 1 solo si se anulan los tres menores a la vez, es decir, si $(a - 2) (a + 1) = 0$ : $a = 2$ o $a = - 1$ . Para cualquier otro $a$ el rango es 2.
$a \neq = 2, - 1 \Rightarrow rg M = 2$
Si $a \neq = 2$ y $a \neq = - 1$ : los planos se cortan en una recta.
3. $a = 2$ : $π_{1} : 2 x - 4 y - 2 z = 1$ y $π_{2} : x - 2 y - z = 2$ . Los coeficientes son proporcionales ( $2 : 1$ ) pero los términos independientes no ( $1 \neq = 2 \cdot 2$ ).
$(2, - 4, - 2 ∣ 1) vs 2 (1, - 2, - 1 ∣ 2) = (2, - 4, - 2 ∣ 4)$
$a = 2$ : planos paralelos no coincidentes.
4. $a = - 1$ : $π_{1} : 2 x - y + z = - 2$ y $π_{2} : - 2 x + y - z = - 1$ . Los coeficientes son proporcionales (razón $- 1$ ) pero los términos independientes no: $- 1 \cdot (- 1) = 1 \neq = - 2$ .
$(2, - 1, 1 ∣ - 2) vs - (- 2, 1, - 1 ∣ - 1) = (2, - 1, 1 ∣ 1)$
$a = - 1$ : planos paralelos no coincidentes.\quad Nunca coinciden.

Apartado 3.1.2

1. Para $a = 0$ : $π_{1} : 2 x = - 1$ (normal $n_{1} = (2, 0, 0)$ ) y $π_{2} : - x - z = 0$ (normal $n_{2} = (- 1, 0, - 1)$ ). El ángulo entre planos es el agudo entre normales.
$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣} = \frac{∣ - 2∣}{2 \cdot 2} = \frac{2}{2}$
$θ = 4 5^{\circ}$

Apartado 3.1.3

1. Para $a = 0$ , $π_{1} : 2 x + 1 = 0$ . Distancia de $P = (1, 0, - 1)$ con la fórmula $d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}$ .
$d (P, π_{1}) = \frac{∣2 \cdot 1 + 0 + 0 + 1∣}{4} = \frac{3}{2}$
$d = \frac{3}{2}$

3.2Opción B2.5 puntos

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Dado el plano $π : 2 x + y - 3 = 0$ y la recta $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + α y = - 1 - 2 α z = 1$ , se pide:

3.2.1)Obtener la ecuación del plano perpendicular a $π$ y que contiene a $r$ .
3.2.2)Calcular, si existe, un plano paralelo a $π$ y que contenga a $r$ .

Apartado 3.2.1

1. La recta $r$ pasa por $P_{0} = (1, - 1, 1)$ con dirección $d = (1, - 2, 0)$ . El plano pedido $π_{1}$ contiene a $r$ (su normal $n_{1}$ es perpendicular a $d$ ) y es perpendicular a $π$ (su normal es perpendicular a $n_{π} = (2, 1, 0)$ ).
$n_{1} = n_{π} \times d = i 21 j 1 - 2 k 00 = (0, 0, - 5)$
$n_{1} ∥ (0, 0, 1)$
Dos planos son perpendiculares si lo son sus normales.
2. Plano de normal $(0, 0, 1)$ que pasa por $P_{0} = (1, - 1, 1)$ .
$0 (x - 1) + 0 (y + 1) + 1 (z - 1) = 0$
$π_{1} : z = 1$
Comprobación: todos los puntos de $r$ tienen $z = 1$ y $(0, 0, 1) \cdot (2, 1, 0) = 0$ .

Apartado 3.2.2

1. Un plano paralelo a $π$ tiene la forma $2 x + y + k = 0$ . Contendrá a $r$ solo si $d$ es perpendicular a $n_{π}$ .
$d \cdot n_{π} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) + 0 = 0$
Se cumple: $r$ es paralela a $π$ , así que sí existe.
2. Imponemos que $P_{0} = (1, - 1, 1)$ esté en el plano.
$2 \cdot 1 + (- 1) + k = 0 \Rightarrow k = - 1$
$π_{2} : 2 x + y - 1 = 0$
Es distinto de $π$ ( $k = - 3$ ): $r$ no está contenida en $π$ , solo es paralela. Es el único.

4.1Opción A2.5 puntos

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Dadas las funciones $f (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 16$ y $g (x) = x^{2}$ , obtener:

4.1.1)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de la función $y = f (x)$ .
4.1.2)El área de la superficie finita encerrada entre las curvas dadas por $f (x)$ y $g (x)$ .

Recinto finito entre f y g (se tocan en x = ±2)

Apartado 4.1.1

1. Derivada de $f (x) = x^{4} - 7 x^{2} + 16$ y puntos críticos.
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 14 x = 2 x (2 x^{2} - 7) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 7/2 = \pm \frac{14}{2}$
2. Signo de $f^{'}$ en los intervalos que determinan $- 7/2 \approx - 1, 87$ , $0$ y $7/2 \approx 1, 87$ .
$f^{'} (- 2) < 0, f^{'} (- 1) > 0, f^{'} (1) < 0, f^{'} (2) > 0$
Decrece en $(- \infty, - \frac{7}{2}) \cup (0, \frac{7}{2})$ ; crece en $(- \frac{7}{2}, 0) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$
3. Valores de $f$ en los puntos críticos.
$f (0) = 16, f (\pm \frac{7}{2}) = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = \frac{15}{4}$
Máximo relativo en $(0, 16)$ ; mínimos relativos en $(\pm \frac{7}{2}, \frac{15}{4})$

Apartado 4.1.2

1. Puntos de corte: $f (x) = g (x)$ .
$x^{4} - 8 x^{2} + 16 = (x^{2} - 4)^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ (raíces dobles)
Las curvas se tocan en $x = \pm 2$ sin cruzarse: $f - g = (x^{2} - 4)^{2} \geq 0$ , así que $f \geq g$ siempre y la región finita encerrada está entre $x = - 2$ y $x = 2$ .
2. Área como integral de la diferencia (par, doblamos la mitad).
$A = \int_{- 2}^{2} (x^{4} - 8 x^{2} + 16) d x = 2 [\frac{x ^{5}}{5} - \frac{8 x ^{3}}{3} + 16 x]_{0}^{2} = 2 (\frac{32}{5} - \frac{64}{3} + 32)$
$A = \frac{512}{15} u^{2} \approx 34, 13 u^{2}$

4.2Opción B2.5 puntos

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Una costa marítima se extiende en línea recta hacia la derecha desde un punto $P$ de la costa. A 8 km de $P$ hay una refinería situada en la costa. Además, hay una plataforma petrolífera en el mar que está situada a 6 km de distancia de $P$ en la recta perpendicular a la costa desde el punto $P$ . Se construirá un oleoducto desde la plataforma hasta la refinería. El coste de construir el oleoducto bajo el agua es de 1 millón de euros por kilómetro y el de construirlo sobre tierra, de 0,6 millones de euros por kilómetro.

4.2.1)Encontrar la función del coste de construcción del oleoducto dependiendo de la distancia, $x$ , entre el primer punto donde el oleoducto toca la costa y la refinería.
4.2.2)Encontrar el valor de $x$ para que el coste de construcción del oleoducto sea mínimo.
4.2.3)Calcular dicho coste.

Bajo el agua A–C (1 M€/km) y por tierra C–R (0,6 M€/km)

Apartado 4.2.1

1. Sea $P$ el punto de la costa más cercano a la plataforma, la refinería $Q$ a 8 km de $P$ y $x$ la distancia del punto de contacto $T$ con la costa hasta la refinería ( $0 \leq x \leq 8$ ). El tramo terrestre $T Q$ mide $x$ y $P T = 8 - x$ .
$tramo bajo el agua = 6^{2} + (8 - x)^{2}$ (Pitágoras entre plataforma y $T$ )
2. Coste = (km bajo el agua) $\cdot 1$ + (km en tierra) $\cdot 0, 6$ millones de euros.
$C (x) = 0, 6 x + 36 + (8 - x)^{2}, x \in [0, 8]$
$C (x) = 0, 6 x + 36 + (8 - x)^{2}$

Apartado 4.2.2

1. Derivamos e igualamos a 0.
$C^{'} (x) = 0, 6 - \frac{8 - x}{36 + ( 8 - x ) ^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{8 - x}{36 + ( 8 - x ) ^{2}} = 0, 6$
2. Elevamos al cuadrado con $u = 8 - x \geq 0$ (válido porque ambos lados son positivos).
$u^{2} = 0, 36 (36 + u^{2}) \Rightarrow 0, 64 u^{2} = 12, 96 \Rightarrow u^{2} = 20, 25 \Rightarrow u = 4, 5$
$x = 8 - 4, 5 = 3, 5 km$
3. Comprobamos que es mínimo: $C^{''} (x) = \frac{36}{( 36 + ( 8 - x ) ^{2} ) ^{3/2}} > 0$ (convexa). Además comparamos con los extremos del intervalo.
$C (0) = 10, C (8) = 4, 8 + 6 = 10, 8, C (3, 5) = 9, 6$
Mínimo en $x = 3, 5$ km

Apartado 4.2.3

1. Coste mínimo: $36 + 4, 5^{2} = 56, 25 = 7, 5$ .
$C (3, 5) = 0, 6 \cdot 3, 5 + 7, 5 = 2, 1 + 7, 5$
$C_{m i n} = 9, 6$ millones de euros