Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2025 · Extraordinaria 2025

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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La empresa TikiTak ha realizado un estudio del comportamiento de sus usuarios y ha observado que las $\frac{3}{5}$ partes de sus publicaciones reciben un “Like”. Juana es una usuaria de TikiTak. Se pide:

a)¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba ningún “Like” si ha subido a la plataforma TikiTak cuatro publicaciones?
b)¿Cuál es la probabilidad de que Juana no reciba más de dos “Likes” en sus cuatro publicaciones?
c)Juana desea que la probabilidad de recibir al menos un “Like” sea mayor que 0.999. ¿Cuál es el menor número de publicaciones que ha de subir para conseguirlo?

Apartado a

1. Cada publicación recibe «Like» con probabilidad $\frac{3}{5}$ , de forma independiente. Ninguno en 4 publicaciones: cuatro fracasos seguidos (probabilidad $\frac{2}{5}$ cada uno).
$P (X = 0) = (\frac{2}{5})^{4} = \frac{16}{625}$
$\frac{16}{625} = 0, 0256$
Con $X \sim B (4; \frac{3}{5})$ : $(0 4) (\frac{3}{5})^{0} (\frac{2}{5})^{4}$ .

Apartado b

1. «No más de dos» es $X \leq 2$ . Sumamos $k = 0, 1, 2$ con $X \sim B (4; \frac{3}{5})$ .
$P (X \leq 2) = \frac{16}{625} + 4 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{125} + 6 \cdot \frac{9}{25} \cdot \frac{4}{25} = \frac{16}{625} + \frac{96}{625} + \frac{216}{625}$
$P (X \leq 2) = \frac{328}{625} = 0, 5248$
Alternativa: $1 - P (3) - P (4) = 1 - \frac{216}{625} - \frac{81}{625}$ .

Apartado c

1. Con $n$ publicaciones, «al menos un Like» es el contrario de «ninguno».
$1 - (\frac{2}{5})^{n} > 0, 999 ⟺ (\frac{2}{5})^{n} < 0, 001$
2. Tomamos logaritmos (cambia el sentido porque $ln \frac{2}{5} < 0$ ).
$n > \frac{ln 0 , 001}{ln 0 , 4} = \frac{- 6 , 908}{- 0 , 916} \approx 7, 54$
$n = 8$ publicaciones
Comprobación: $n = 7$ da $0, 99836 < 0, 999$ ; $n = 8$ da $0, 99934 > 0, 999$ .

2AOpción A2.5 puntos

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Se dan las matrices $A = (- 2 3 1 - 2)$ , $B = (10 2 - 1)$ y $C = (3 - 3 - 1 3)$ . Obtener:

a)La matriz $X$ solución de la ecuación $(A^{- 1} X)^{- 1} = A (B^{2} A)^{- 1}$ .
b)El determinante de la matriz $(3 A^{5} B)^{2}$ .
c)Los valores de $a$ y $b$ , si existen, tales que $a B^{100} + b B^{99} = A + C$ .

Apartado a

1. Simplificamos el segundo miembro con $(B^{2} A)^{- 1} = A^{- 1} (B^{2})^{- 1}$ (se invierte el orden).
$A (B^{2} A)^{- 1} = A A^{- 1} B^{- 2} = B^{- 2}$
2. Calculamos $B^{2}$ .
$B^{2} = (10 2 - 1) (10 2 - 1) = (1001) = I$
$B^{- 2} = I$
B es su propia inversa (involutiva).
3. Entonces $(A^{- 1} X)^{- 1} = I$ , luego $A^{- 1} X = I$ .
$X = A \cdot I$
$X = A = (- 2 3 1 - 2)$

Apartado b

1. En matrices $2 \times 2$ , $∣ k M ∣ = k^{2} ∣ M ∣$ y $∣ M N ∣ = ∣ M ∣∣ N ∣$ .
$∣ A ∣ = 4 - 3 = 1, ∣ B ∣ = - 1$
2. Aplicamos las propiedades: $∣3 A^{5} B ∣ = 3^{2} ∣ A ∣^{5} ∣ B ∣ = 9 \cdot 1 \cdot (- 1) = - 9$ y el cuadrado.
$∣ (3 A^{5} B)^{2} ∣ = ∣3 A^{5} B ∣^{2} = (- 9)^{2} = 81$
$81$

Apartado c

1. Como $B^{2} = I$ : las potencias pares valen $I$ y las impares $B$ . Luego $B^{100} = I$ y $B^{99} = B$ .
$a I + b B = A + C = (1001)$
2. Igualamos elemento a elemento: $(a + b 0 2 b a - b) = I$ .
$2 b = 0, a + b = 1 \Rightarrow b = 0, a = 1$
$a = 1, b = 0$
Comprobación: $a - b = 1$ ✓.

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Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que dependen del parámetro real $a$ : $⎩ ⎨ ⎧ x - a y - z = - a a x - y + z = a a x + y = a$ Se pide:

a)Discutir el sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$ .
b)Calcular el conjunto de soluciones del sistema para aquellos valores de $a$ para los que el sistema es compatible determinado.

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes (Sarrus).
$∣ A ∣ = 1 a a - a - 1 1 - 1 10 = - (a + 1)^{2}$
$∣ A ∣ = 0 ⟺ a = - 1$
2. Si $a \neq = - 1$ : $∣ A ∣ \neq = 0$ , rango 3 igual al de la ampliada.
$a \neq = - 1$
Compatible determinado
3. Si $a = - 1$ : el sistema es $x + y - z = 1$ , $- x - y + z = - 1$ , $- x + y = - 1$ . La 2.ª es la 1.ª cambiada de signo; la 1.ª y la 3.ª son independientes. Por tanto $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ .
$rg A = rg (A ∣ b) = 2$
$a = - 1$ : compatible indeterminado (1 parámetro)

Apartado b

1. Para $a \neq = - 1$ resolvemos por Cramer o por Gauss. Aplicamos la regla de Cramer (o Gauss): cada incógnita es el cociente de un determinante entre $∣ A ∣ = - (a + 1)^{2}$ .
$x = \frac{Δ _{x}}{∣ A ∣}, y = \frac{Δ _{y}}{∣ A ∣}, z = \frac{Δ _{z}}{∣ A ∣}$
2. Resultado (con $∣ A ∣ = - (a + 1)^{2}$ los factores se simplifican).
$x = \frac{a}{a + 1}, y = \frac{a}{a + 1}, z = \frac{2 a}{a + 1}$
$(x, y, z) = (\frac{a}{a + 1}, \frac{a}{a + 1}, \frac{2 a}{a + 1})$ , $a \neq = - 1$
Comprobación con $a = 1$ : $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)$ : $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1 = - 1$ ✓, $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 1$ ✓, $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ✓.

3AOpción A2.5 puntos

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Dados los planos $π_{1} : x + 2 y + m z = - 1$ , donde $m$ es un parámetro real, y $π_{2} : x + z = 6$ .

a)Encontrar el valor de $m$ , si existe, para el que $π_{1}$ y $π_{2}$ son perpendiculares.
b)Encontrar el valor de $m$ para el que $π_{1}$ y $π_{2}$ forman un ángulo de 45 grados.
c)Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de $π_{1}$ y $π_{2}$ .

El ángulo entre planos es el ángulo entre sus normales

Apartado a

1. Dos planos son perpendiculares si sus normales lo son: $n_{1} = (1, 2, m)$ , $n_{2} = (1, 0, 1)$ .
$n_{1} \cdot n_{2} = 1 + m = 0$
$m = - 1$

Apartado b

1. El ángulo entre planos es el de sus normales: $cos 4 5^{\circ} = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$ .
$\frac{2}{2} = \frac{∣1 + m ∣}{5 + m ^{2} 2}$
2. Simplificamos y elevamos al cuadrado.
$5 + m^{2} = ∣1 + m ∣ \Rightarrow 5 + m^{2} = 1 + 2 m + m^{2} \Rightarrow 2 m = 4$
$m = 2$
Comprobación: $∣1 + 2∣/ (92) = 1/ 2$ ✓.

Apartado c

1. Resolvemos el sistema de los dos planos con $z = λ$ como parámetro. De $π_{2}$ : $x = 6 - λ$ .
$x = 6 - λ$
2. En $π_{1}$ : $6 - λ + 2 y + mλ = - 1$ , luego $y = \frac{- 7 + ( 1 - m ) λ}{2}$ .
$y = - \frac{7}{2} + \frac{1 - m}{2} λ$
$r : (x, y, z) = (6, - \frac{7}{2}, 0) + λ (- 1, \frac{1 - m}{2}, 1)$
Para el valor $m = 2$ del apartado anterior: $(6, - \frac{7}{2}, 0) + λ (- 1, - \frac{1}{2}, 1)$ . Siempre hay recta: los planos nunca son paralelos.

3BOpción B2.5 puntos

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Dado el plano $π : 3 x + y - z = 2$ y los puntos $P = (0, 1, - 1)$ y $Q = (1, a, 1)$ , calcular:

a)Los valores del parámetro $a$ , si existen, para los que la recta que pasa por $P$ y $Q$ está contenida en el plano $π$ .
b)Para $a = 1$ , el punto simétrico de $Q$ respecto del plano $π$ .

Apartado a

1. $P \in π$ : $3 \cdot 0 + 1 - (- 1) = 2$ ✓. Una recta con un punto en el plano está contenida en él si otro de sus puntos también lo está (o su dirección es perpendicular a $n_{π}$ ).
$P \in π ✓$
2. Imponemos que $Q = (1, a, 1)$ cumpla la ecuación de $π$ .
$3 \cdot 1 + a - 1 = 2 \Rightarrow a = 0$
$a = 0$
Comprobación con la dirección: $P Q = (1, a - 1, 2)$ ; $P Q \cdot n = 3 + a - 1 - 2 = a$ , que se anula solo si $a = 0$ .

Apartado b

1. Recta perpendicular a $π$ por $Q = (1, 1, 1)$ : $(1 + 3 λ, 1 + λ, 1 - λ)$ . Corte con $π$ :
$3 (1 + 3 λ) + (1 + λ) - (1 - λ) = 2 \Rightarrow 11 λ = - 1 \Rightarrow λ = - \frac{1}{11}$
2. El pie $M = Q - \frac{1}{11} n = (\frac{8}{11}, \frac{10}{11}, \frac{12}{11})$ es el punto medio entre $Q$ y $Q^{'}$ , de modo que $Q^{'} = 2 M - Q$ .
$Q^{'} = (\frac{16}{11} - 1, \frac{20}{11} - 1, \frac{24}{11} - 1)$
$Q^{'} = (\frac{5}{11}, \frac{9}{11}, \frac{13}{11})$

4AOpción A2.5 puntos

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Dada la función real de variable real $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ , se pide:

a)Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$ .
b)Calcular, si existen, los valores máximos y mínimos relativos y absolutos de la función $f$ .
c)Representar la función $f$ .

Apartado a

1. El denominador $x^{2} + 1 \geq 1$ nunca se anula: $Dom f = R$ y no hay asíntotas verticales.
$Dom f = R$
2. Asíntota horizontal (grado del numerador menor que el del denominador). Sin oblicuas.
$lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x ^{2} + 1} = 0$
$y = 0$ (horizontal, en $\pm \infty$ )
3. Derivada: $f^{'} (x) = \frac{( x ^{2} + 1 ) - x \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ . Signo = signo de $1 - x^{2}$ .
$f^{'} > 0 ⟺ ∣ x ∣ < 1$
Crece en $(- 1, 1)$ ; decrece en $(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Apartado b

1. Puntos críticos: $f^{'} = 0 ⟺ x = \pm 1$ . Por el estudio del signo: en $x = - 1$ pasa de decrecer a crecer (mínimo relativo); en $x = 1$ de crecer a decrecer (máximo relativo).
$f (1) = \frac{1}{2}, f (- 1) = - \frac{1}{2}$
2. Absolutos: $f \to 0$ en $\pm \infty$ y $- \frac{1}{2} \leq f \leq \frac{1}{2}$ (pues $∣ x ∣ \leq \frac{x ^{2} + 1}{2}$ ). Los extremos relativos son además los absolutos.
$max = f (1) = \frac{1}{2}, min = f (- 1) = - \frac{1}{2}$
Máximo relativo y absoluto $(1, \frac{1}{2})$ ; mínimo relativo y absoluto $(- 1, - \frac{1}{2})$

Apartado c

1. $f$ es impar ( $f (- x) = - f (x)$ ): simétrica respecto al origen. Pasa por $(0, 0)$ (único corte). Trazamos: baja desde $0^{-}$ (en $- \infty$ ) hasta el mínimo en $x = - 1$ , sube pasando por el origen hasta el máximo $(1, \frac{1}{2})$ y baja acercándose a $y = 0$ por arriba.
$f (- x) = - f (x)$
Gráfica: curva impar con asíntota $y = 0$ , mínimo en $(- 1, - \frac{1}{2})$ y máximo en $(1, \frac{1}{2})$

4BOpción B2.5 puntos

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Dadas las funciones reales de variable real $f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ y $g (x) = 8 x$ , se pide:

a)Hallar el dominio, las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f$ .
b)Dibujar las gráficas de ambas funciones.
c)Calcular el área del recinto delimitado por el eje de abscisas, la recta $x = 1$ y las gráficas de las dos funciones $y = f (x)$ e $y = g (x)$ .

Recinto: área 1 bajo g más área 1 bajo f

Apartado a

1. $f$ no existe en $x = 0$ .
$Dom f = R ∖ {0}$
2. Límites: $lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ (AV $x = 0$ ) y $lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x ^{2}} = 0$ (AH $y = 0$ ). Derivada $f^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{3}}$ : positiva si $x < 0$ , negativa si $x > 0$ .
$f^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{3}}$
AV: $x = 0$ ; AH: $y = 0$ . Crece en $(- \infty, 0)$ y decrece en $(0, + \infty)$

Apartado b

1. $f$ : hipérbola tipo « $1/ x^{2}$ », positiva, simétrica respecto del eje OY, con ramas en los cuadrantes I y II que se pegan a los ejes. $g$ : recta por el origen de pendiente 8. Se cortan en $\frac{1}{x ^{2}} = 8 x \Rightarrow x^{3} = \frac{1}{8} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ , punto $(\frac{1}{2}, 4)$ .
$f (1) = 1, g (1) = 8, f (\frac{1}{2}) = g (\frac{1}{2}) = 4$
Gráficas dibujadas; se cortan solo en $(\frac{1}{2}, 4)$ para $x > 0$

Apartado c

1. El recinto (entre OX, $x = 1$ y las dos curvas) está limitado por arriba por la recta $g$ de $x = 0$ a $x = \frac{1}{2}$ y por $f$ de $x = \frac{1}{2}$ a $x = 1$ (ahora $f \leq g$ ).
$0 \leq x \leq \frac{1}{2} : y \leq 8 x; \frac{1}{2} \leq x \leq 1 : y \leq \frac{1}{x ^{2}}$
Regla: el recinto tiene por techo la curva más baja de las dos.
2. Dos integrales.
$A = \int_{0}^{1/2} 8 x d x + \int_{1/2}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = [4 x^{2}]_{0}^{1/2} + [- \frac{1}{x}]_{1/2}^{1} = 1 + (- 1 + 2)$
$A = 2 u^{2}$