Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2023 · Extraordinaria 2023

12.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 2 apartados
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Dado el sistema de ecuaciones lineales $211 a + 1 a 1 12 a + 2 x y z = - 1 12$ , donde $a$ es un parámetro real:

a)Discutir el sistema en función del parámetro $a$ .
b)Obtener las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.

Apartado a

1. Matriz de coeficientes $M$ y su determinante (desarrollo por la primera fila).
$det M = 2 (a (a + 2) - 2) - (a + 1) ((a + 2) - 2) + (1 - a) = a^{2} + 2 a - 3$
$det M = (a - 1) (a + 3)$
2. Si $a \neq = 1$ y $a \neq = - 3$ : $det M \neq = 0$ , luego $rg M = rg M^{*} = 3$ .
Rouché–Frobenius
$a \neq = 1, - 3$ : compatible determinado.
3. $a = - 3$ : $M = 211 - 2 - 3 1 12 - 1$ tiene rango 2 (menor $21 - 2 - 3 = - 4 \neq = 0$ ). Ampliada: buscamos un menor de orden 3 con la columna de términos independientes.
$211 - 2 - 3 1 - 1 12 = - 16 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
$a = - 3$ : $rg M = 2 < 3 = rg M^{*}$ , incompatible.
4. $a = 1$ : $M = 211211123$ (filas 2 y 3 son $(1, 1, 2)$ y $(1, 1, 3)$ ). Rango 2 (menor $2121 = 0$ , pero $2112 = 3 \neq = 0$ ). En la ampliada, las filas $F_{1} = (2, 2, 1 ∣ - 1)$ , $F_{2} = (1, 1, 2 ∣ 1)$ , $F_{3} = (1, 1, 3 ∣ 2)$ cumplen $F_{1} = 5 F_{2} - 3 F_{3}$ , así que el rango sigue siendo 2.
$rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
$a = 1$ : compatible indeterminado (un parámetro).

Apartado b

1. Con $a = 1$ el sistema es $2 x + 2 y + z = - 1, x + y + 2 z = 1, x + y + 3 z = 2$ . Restando las dos últimas: $z = 1$ .
$z = 1; x + y + 2 = 1 \Rightarrow x + y = - 1; 2 (x + y) + 1 = - 1 ✓$
La primera ecuación es combinación de las otras dos.
2. Tomamos $y = λ$ como parámetro.
$x = - 1 - λ, y = λ, z = 1$
$(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1), λ \in R$
Comprobación con $λ = 0$ : $(- 1, 0, 1)$ cumple las tres ecuaciones.

22.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dadas las matrices $A = 0 - 1 1 - 1 01 - 2 - 2 3$ e $I = 100010001$ , obtener:

a)La matriz $M = (A - α I)^{2}$ , donde $α$ es un parámetro real.
b)El valor de $α$ , si existe, para el cual la matriz $M$ es la matriz nula.

Apartado a

1. Restamos $α$ en la diagonal.
$A - α I = - α - 1 1 - 1 - α 1 - 2 - 2 3 - α$
2. Elevamos al cuadrado multiplicando fila por columna.
$M = (A - α I)^{2} = α^{2} - 1 2 α - 2 2 - 2 α 2 α - 2 α^{2} - 1 2 - 2 α 4 α - 4 4 α - 4 α^{2} - 6 α + 5$
$M = α^{2} - 1 2 α - 2 2 - 2 α 2 α - 2 α^{2} - 1 2 - 2 α 4 α - 4 4 α - 4 α^{2} - 6 α + 5$

Apartado b

1. $M = 0$ exige que se anulen todos los elementos. Factorizamos: $α^{2} - 1 = (α - 1) (α + 1)$ , $2 α - 2 = 2 (α - 1)$ , $4 α - 4 = 4 (α - 1)$ , $α^{2} - 6 α + 5 = (α - 1) (α - 5)$ .
$2 α - 2 = 0 \Rightarrow α = 1$
$α = 1$
Con $α = 1$ se anulan también $α^{2} - 1$ , $4 α - 4$ y $α^{2} - 6 α + 5$ , por lo que $M = 0$ (la matriz $A - I$ es nilpotente de índice 2).

32.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados los puntos $A = (2, - 1, 0)$ , $B = (1, 2, 3)$ y $C = (- 1, 0, 0)$ :

a)Hallar la ecuación implícita de la recta $r$ que contiene a los puntos $A$ y $B$ .
b)Hallar la ecuación del plano $π$ que es perpendicular a la recta anterior $r$ y que contiene al punto $C$ .
c)Calcular la distancia del punto $A$ al plano $π$ .

Apartado a

1. Dirección de la recta: $A B = B - A = (- 1, 3, 3)$ . Paramétricas desde $A$ .
$r : x = 2 - t, y = - 1 + 3 t, z = 3 t$
2. Eliminamos $t$ : de la primera, $t = 2 - x$ ; en la segunda y la tercera.
$y = - 1 + 3 (2 - x) \Rightarrow 3 x + y - 5 = 0; z = 3 (2 - x) \Rightarrow 3 x + z - 6 = 0$
$r : {3 x + y - 5 = 0 3 x + z - 6 = 0$
Comprobación: $A$ cumple $6 - 1 - 5 = 0$ y $6 + 0 - 6 = 0$ ; $B$ cumple $3 + 2 - 5 = 0$ y $3 + 3 - 6 = 0$ .

Apartado b

1. El plano perpendicular a $r$ tiene por normal la dirección de $r$ y pasa por $C = (- 1, 0, 0)$ .
$- 1 (x + 1) + 3 (y - 0) + 3 (z - 0) = 0 ⟺ - x + 3 y + 3 z - 1 = 0$
$π : x - 3 y - 3 z + 1 = 0$
Comprobación: $C$ cumple $- 1 + 0 + 0 + 1 = 0$ .

Apartado c

1. Distancia de $A = (2, - 1, 0)$ al plano $x - 3 y - 3 z + 1 = 0$ .
$d (A, π) = \frac{∣2 - 3 ( - 1 ) - 3 \cdot 0 + 1∣}{1 + 9 + 9} = \frac{6}{19}$
$d = \frac{6}{19} = \frac{6 19}{19} \approx 1, 376$

42.5 puntos

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Dada la recta $r : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (- 1, - 1, 2)$ y el plano $π : 5 x + m y + z = 2$ :

a)Obtener la posición relativa de $r$ y $π$ en función de $m$ .
b)Para $m = 1$ , calcular el plano $π^{'}$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $π$ .

Apartado a

1. Recta: punto $P_{0} = (1, 1, 0)$ y dirección $d = (- 1, - 1, 2)$ . Plano: normal $n = (5, m, 1)$ . Estudiamos $d \cdot n$ .
$d \cdot n = - 5 - m + 2 = - 3 - m$
Si $m \neq = - 3$ : $d \cdot n \neq = 0$ , la recta y el plano son secantes (se cortan en un punto).
2. Si $m = - 3$ : $d ⊥ n$ , la recta es paralela al plano o está contenida. Comprobamos si $P_{0} \in π$ .
$5 \cdot 1 + (- 3) \cdot 1 + 0 = 2$ (coincide con el término independiente $2$ )
Si $m = - 3$ : la recta está contenida en el plano.
Para ningún valor de $m$ la recta es paralela y exterior al plano.

Apartado b

1. Con $m = 1$ : $π : 5 x + y + z = 2$ , normal $n = (5, 1, 1)$ . El plano buscado $π_{1}$ contiene a $r$ (su normal es perpendicular a $d$ ) y es perpendicular a $π$ (su normal es perpendicular a $n$ ).
$n_{1} = d \times n = i - 1 5 j - 1 1 k 21 = (- 3, 11, 4)$
2. Plano por $P_{0} = (1, 1, 0)$ con normal $(- 3, 11, 4)$ .
$- 3 (x - 1) + 11 (y - 1) + 4 z = 0 ⟺ - 3 x + 11 y + 4 z - 8 = 0$
$π_{1} : 3 x - 11 y - 4 z + 8 = 0$
Comprobación: $(- 3, 11, 4) \cdot (- 1, - 1, 2) = 3 - 11 + 8 = 0$ y $(- 3, 11, 4) \cdot (5, 1, 1) = - 15 + 11 + 4 = 0$ .

52.5 puntos

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Consideramos la función $f (x) = \frac{- 2 x ^{2} + x + 1}{2 x ^{2} + 5 x + 2}$ .

a)Comprobar que $x = - \frac{1}{2}$ es una discontinuidad evitable.
b)Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)Obtener $\int f (x) d x$ .

Apartado a

1. Factorizamos numerador y denominador: $- 2 x^{2} + x + 1 = - (2 x + 1) (x - 1)$ y $2 x^{2} + 5 x + 2 = (2 x + 1) (x + 2)$ .
$f (x) = \frac{- ( 2 x + 1 ) ( x - 1 )}{( 2 x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1 - x}{x + 2} (x \neq = - \frac{1}{2}, x \neq = - 2)$
2. En $x = - \frac{1}{2}$ la función no está definida (anula numerador y denominador) pero el límite es finito.
$x \to - 1/2 lim f (x) = \frac{1 - ( - 1/2 )}{- 1/2 + 2} = \frac{3/2}{3/2} = 1$
Discontinuidad evitable en $x = - \frac{1}{2}$ (se evita definiendo $f (- \frac{1}{2}) = 1$ )
En $x = - 2$ hay una asíntota vertical (denominador $0$ , numerador $e 0$ ).

Apartado b

1. Derivamos la forma simplificada (válida salvo en $x = - 2$ y $x = - \frac{1}{2}$ ).
$f^{'} (x) = \frac{- ( x + 2 ) - ( 1 - x )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{- 3}{( x + 2 ) ^{2}} < 0$
$f$ es decreciente en $(- \infty, - 2)$ , en $(- 2, - \frac{1}{2})$ y en $(- \frac{1}{2}, \infty)$ ; no tiene extremos relativos
La derivada no se anula nunca.

Apartado c

1. Dividimos: $\frac{1 - x}{x + 2} = - 1 + \frac{3}{x + 2}$ .
$\int f (x) d x = \int (- 1 + \frac{3}{x + 2}) d x$
$\int f (x) d x = - x + 3 ln ∣ x + 2∣ + C$
Comprobación: derivada $= - 1 + \frac{3}{x + 2} = \frac{1 - x}{x + 2}$ .

62.5 puntos

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Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 20 metros:

a)Calcular el área de la ventana en función de su anchura $x$ .
b)Calcular las dimensiones que ha de tener la ventana para que permita la máxima entrada de luz.
c)Calcular el valor de dicha área máxima.

Perímetro de la ventana: 20 m

Apartado a

1. Sea $x$ la anchura (diámetro del semicírculo, radio $x /2$ ) y $h$ la altura del rectángulo. El perímetro incluye la base, los dos lados y el arco: $x + 2 h + \frac{1}{2} π x$ .
$x + 2 h + \frac{π x}{2} = 20 \Rightarrow h = \frac{20 - x - \frac{π x}{2}}{2} = 10 - \frac{x}{2} - \frac{π x}{4}$
2. Área = rectángulo + semicírculo ( $\frac{1}{2} π (x /2)^{2} = \frac{π x ^{2}}{8}$ ).
$A (x) = x h + \frac{π x ^{2}}{8} = 10 x - \frac{x ^{2}}{2} - \frac{π x ^{2}}{4} + \frac{π x ^{2}}{8} = 10 x - \frac{4 + π}{8} x^{2}$
$A (x) = 10 x - \frac{( 4 + π )}{8} x^{2}, 0 < x < \frac{40}{2 + π}$
El dominio sale de exigir $h > 0$ .

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$A^{'} (x) = 10 - \frac{4 + π}{4} x = 0 \Rightarrow x = \frac{40}{4 + π} \approx 5, 601$
2. Es máximo: $A^{''} (x) = - \frac{4 + π}{4} < 0$ . La altura correspondiente sale la mitad de la anchura.
$h = 10 - \frac{x}{2} (1 + \frac{π}{2}) = \frac{20}{4 + π} = \frac{x}{2} \approx 2, 800$
Anchura $\frac{40}{4 + π} \approx 5, 60$ m y altura del rectángulo $\frac{20}{4 + π} \approx 2, 80$ m

Apartado c

1. Con $x = \frac{40}{4 + π}$ : $A = 10 x - \frac{4 + π}{8} x^{2} = 10 x - 5 x = 5 x$ .
$A_{m a x} = 5 \cdot \frac{40}{4 + π} = \frac{200}{4 + π}$
$A_{m a x} = \frac{200}{4 + π} \approx 28, 00 m^{2}$

72.5 puntos

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Una urna tiene tres bolas verdes, cuatro rojas y cinco amarillas. Todas de igual tamaño.

a)Se extrae una bola de la urna, se mira su color y se devuelve a la urna. Se repite de nuevo, una vez más, esta operación. ¿Cuál es la probabilidad de que los colores de las dos bolas extraídas sean el mismo? ¿Y la probabilidad de que sean distintos?
b)Se extraen al mismo tiempo tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean de distinto color?

Con devolución las dos extracciones son independientes: P(mismo color) = (3² + 4² + 5²)/12²

Apartado a

1. Hay $12$ bolas: $3$ verdes, $4$ rojas, $5$ amarillas. Con devolución, las dos extracciones son independientes: $P (V) = \frac{3}{12}$ , $P (R) = \frac{4}{12}$ , $P (A) = \frac{5}{12}$ .
$P (mismo color) = (\frac{3}{12})^{2} + (\frac{4}{12})^{2} + (\frac{5}{12})^{2} = \frac{9 + 16 + 25}{144} = \frac{50}{144}$
$P (mismo color) = \frac{25}{72} \approx 0, 3472$
2. «Distintos» es el suceso contrario.
$P (distintos) = 1 - \frac{25}{72}$
$P (distintos) = \frac{47}{72} \approx 0, 6528$

Apartado b

1. Sin orden y sin devolución (a la vez): casos posibles $(3 12) = 220$ . Favorables: una de cada color, $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ .
$P = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{( 3 12 )} = \frac{60}{220}$
$P (tres colores distintos) = \frac{3}{11} \approx 0, 2727$
Comprobación con orden: $6 \cdot \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{3}{11}$ .

82.5 puntos

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Una empresa tiene dos plantas de producción de teléfonos móviles. La primera planta produce móviles defectuosos con probabilidad 0,02 y la segunda planta con probabilidad 0,06. Al comprar un móvil de esa empresa, la probabilidad de que sea de la primera planta es de 0,7. Compramos un móvil. Se pide determinar:

a)La probabilidad de que proceda de la segunda planta de producción y sea defectuoso.
b)Sabiendo que el móvil comprado es defectuoso, la probabilidad de que lo haya fabricado la primera planta de producción.

Apartado a

1. Sea $P_{1}$ = móvil de la primera planta ( $0, 7$ ), $P_{2}$ = de la segunda ( $0, 3$ ) y $D$ = defectuoso, con $P (D ∣ P_{1}) = 0, 02$ , $P (D ∣ P_{2}) = 0, 06$ .
$P (P_{2} \cap D) = P (P_{2}) P (D ∣ P_{2}) = 0, 3 \cdot 0, 06$
$P (P_{2} \cap D) = 0, 018$

Apartado b

1. Probabilidad total de defectuoso.
$P (D) = 0, 7 \cdot 0, 02 + 0, 3 \cdot 0, 06 = 0, 014 + 0, 018 = 0, 032$
2. Teorema de Bayes.
$P (P_{1} ∣ D) = \frac{P ( P _{1} ) P ( D ∣ P _{1} )}{P ( D )} = \frac{0 , 014}{0 , 032} = \frac{7}{16}$
$P (P_{1} ∣ D) = \frac{7}{16} = 0, 4375$
Aunque la primera planta produce el $70 %$ , solo aporta el $43, 75 %$ de los defectuosos.