Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2022 · Ordinaria 2022

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Dadas las matrices $A = (1 - 1 02 1 - 1)$ , $B = (101110)$ y $C = (10 1 - 1)$ . Se pide:

a)Demostrar que $C - A B^{T}$ tiene inversa y calcularla.
b)Calcular la matriz $X$ que verifica $C X = A B^{T} X + I$ , donde $I$ es la matriz identidad.
c)Justificar que $(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$ para todo número natural $n$ .

Apartado a

1. Calculamos $A B^{T}$ : $A$ es $2 \times 3$ y $B^{T}$ es $3 \times 2$ , luego el producto es $2 \times 2$ .
$A B^{T} = (1 - 1 02 1 - 1) 111010 = (2002) = 2 I$
2. Restamos a $C$ y calculamos el determinante: si es distinto de cero, la matriz tiene inversa.
$C - A B^{T} = (- 1 0 1 - 3), det = (- 1) (- 3) - 1 \cdot 0 = 3 \neq = 0$
Tiene inversa.
3. Inversa de una matriz $2 \times 2$ : $\frac{1}{d e t} (d - c - b a)$ .
$(C - A B^{T})^{- 1} = \frac{1}{3} (- 3 0 - 1 - 1) = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
$(C - A B^{T})^{- 1} = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
Comprobación: el producto con la matriz original da $I$ .

Apartado b

1. Pasamos $A B^{T} X$ al primer miembro y sacamos factor común $X$ por la derecha.
$C X = A B^{T} X + I \Rightarrow (C - A B^{T}) X = I$
2. Como $C - A B^{T}$ es invertible (apartado a), $X$ es su inversa.
$X = (C - A B^{T})^{- 1} = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$
$X = (- 1 0 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

Apartado c

1. Por el apartado a, $A B^{T} = 2 I$ . La identidad conmuta con todo, así que se pueden elevar a $n$ el escalar y la matriz por separado.
$(A B^{T})^{n} = (2 I)^{n} = 2^{n} I^{n} = 2^{n} I$
$(A B^{T})^{n} = 2^{n} I$
Se justifica también por inducción: $(A B^{T})^{n + 1} = (A B^{T})^{n} A B^{T} = 2^{n} I \cdot 2 I = 2^{n + 1} I$ .

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dada la matriz $A = m - 2 m 0 0 m^{2} 2 m m - 1 11$ . Determinar:

a)El rango de la matriz $A$ en función del parámetro real $m$ .
b)La matriz inversa de $A$ en el caso $m = 2$ .
c)El número real $m$ para el cual el determinante de la matriz $2 A$ es igual a $- 8$ .

Apartado a

1. Calculamos $det A$ desarrollando por la primera fila.
$det A = m (m^{2} - 2 m) + (m - 1) (- 4 m^{2}) = m^{3} - 2 m^{2} - 4 m^{3} + 4 m^{2} = - 3 m^{3} + 2 m^{2} = - m^{2} (3 m - 2)$
2. $det A = 0$ si $m = 0$ o $m = \frac{2}{3}$ . Para cualquier otro valor, el rango es 3.
$det A = 0 ⟺ m = 0 o m = \frac{2}{3}$
Si $m \neq = 0, \frac{2}{3}$ : $rg A = 3$ .
3. Caso $m = 0$ : la matriz tiene todas las columnas proporcionales a la tercera.
$A = 000000 - 1 11$
$rg A = 1$
4. Caso $m = \frac{2}{3}$ : hay un menor $2 \times 2$ no nulo.
$\frac{2}{3} - \frac{4}{3} 0 \frac{4}{9} = \frac{8}{27} \neq = 0$
$rg A = 2$

Apartado b

1. Para $m = 2$ : $A = 2 - 4 0 044111$ y $det A = - m^{2} (3 m - 2) = - 16 \neq = 0$ .
$det A = - 4 \cdot 4 = - 16$
2. Calculamos la matriz de adjuntos y trasponemos: $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} (Adj A)^{T}$ .
$Adj A = 04 - 4 42 - 6 - 16 - 8 8$
3. Dividimos entre $- 16$ .
$A^{- 1} = - \frac{1}{16} 04 - 16 42 - 8 - 4 - 6 8 = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$
$A^{- 1} = 0 - \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \frac{1}{2} \frac{1}{4} \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$
Comprobado con $A A^{- 1} = I$ .

Apartado c

1. Para una matriz $3 \times 3$ , $det (2 A) = 2^{3} det A = 8 det A$ .
$det (2 A) = - 8 m^{2} (3 m - 2) = - 8 \Rightarrow m^{2} (3 m - 2) = 1 \Rightarrow 3 m^{3} - 2 m^{2} - 1 = 0$
2. Probamos $m = 1$ (raíz) y dividimos por Ruffini: $3 m^{3} - 2 m^{2} - 1 = (m - 1) (3 m^{2} + m + 1)$ . El segundo factor tiene discriminante $1 - 12 < 0$ : no tiene raíces reales.
$(m - 1) (3 m^{2} + m + 1) = 0 \Rightarrow m = 1$
$m = 1$

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dadas las rectas $r : {x = z - 1 y = 2 - 3 z$ y $s : {x = 4 - 5 z y = 4 z - 3$ .

a)Indicar justificadamente la posición relativa de $r$ y $s$ .
b)Hallar la ecuación de la recta $l$ que pasa por el origen y corta a $r$ y $s$ .

Apartado a

1. Tomamos $z = λ$ como parámetro en cada recta y leemos un punto y un vector director.
$r : (x, y, z) = (- 1, 2, 0) + λ (1, - 3, 1), s : (x, y, z) = (4, - 3, 0) + μ (- 5, 4, 1)$
$d_{r} = (1, - 3, 1)$ , $d_{s} = (- 5, 4, 1)$
2. Los vectores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes.
$\frac{1}{- 5} \neq = \frac{- 3}{4}$
3. Vector que une los puntos: $P_{r} P_{s} = (5, - 5, 0)$ . Calculamos el determinante de los tres vectores.
$1 - 5 5 - 3 4 - 5 110 = - 5 \neq = 0$
Los tres vectores son linealmente independientes: no hay punto común ni son coplanarias.
4. Conclusión.
$r$ y $s$ se cruzan.

Apartado b

1. La recta $l$ buscada está en el plano $α$ que contiene a $O$ y a $r$ , y en el plano $β$ que contiene a $O$ y a $s$ : $l = α \cap β$ .
2. Plano $α$ : pasa por $O$ , con direcciones $d_{r}$ y $O P_{r} = (- 1, 2, 0)$ . Normal $= d_{r} \times (- 1, 2, 0)$ .
$n_{α} = (- 1, 2, 0) \times (1, - 3, 1) = (2, 1, 1) \Rightarrow α : 2 x + y + z = 0$
3. Plano $β$ : pasa por $O$ con direcciones $d_{s}$ y $O P_{s} = (4, - 3, 0)$ .
$n_{β} = (4, - 3, 0) \times (- 5, 4, 1) = (- 3, - 4, 1) \Rightarrow β : 3 x + 4 y - z = 0$
4. La recta $l$ es la intersección de ambos planos; su dirección es el producto vectorial de las normales y pasa por $O$ .
$(2, 1, 1) \times (3, 4, - 1) = (- 5, 5, 5) ∥ (- 1, 1, 1)$
$l : (x, y, z) = λ (- 1, 1, 1)$ , es decir, $x = - λ, y = λ, z = λ$
5. Comprobación: $l$ corta a $r$ en $λ = \frac{1}{2} \Rightarrow (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ (que es el punto de $r$ con $λ = \frac{1}{2}$ ) y a $s$ en $λ = 1 \Rightarrow (- 1, 1, 1)$ (que es el punto de $s$ con $μ = 1$ ).

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dados los planos $π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0$ y $π_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + α y = 1 + α + β z = α - β$ , y la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ .

a)Calcular la posición relativa de $π_{1}$ y $π_{2}$ .
b)Calcular el punto $P^{'}$ que es simétrico al punto $P = (1, 0, 0)$ respecto del plano $π_{1}$ .
c)Calcular, si existe, el punto de intersección de $π_{1}$ y $r$ .

Apartado a

1. Escribimos $π_{2}$ en forma implícita. Direcciones $u = (1, 1, 1)$ y $v = (0, 1, - 1)$ , punto $(- 1, 1, 0)$ . Normal $= u \times v$ .
$n_{2} = (1, 1, 1) \times (0, 1, - 1) = (- 2, 1, 1) \Rightarrow π_{2} : - 2 (x + 1) + (y - 1) + z = 0 ⟺ 2 x - y - z + 3 = 0$
2. Comparamos con $π_{1} : 2 x - y - z + 4 = 0$ : los coeficientes de $x, y, z$ coinciden y el término independiente es distinto.
$\frac{2}{2} = \frac{- 1}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} \neq = \frac{4}{3}$
Los planos son paralelos (no coincidentes).

Apartado b

1. Recta perpendicular a $π_{1}$ por $P$ : dirección $n_{1} = (2, - 1, - 1)$ .
$s : (1 + 2 λ, - λ, - λ)$
2. Sustituimos en $π_{1}$ para hallar el pie $M$ de la perpendicular.
$2 (1 + 2 λ) + λ + λ + 4 = 0 \Rightarrow 6 λ + 6 = 0 \Rightarrow λ = - 1$
$M = (- 1, 1, 1)$
3. $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{'}$ , luego $P^{'} = 2 M - P$ (equivale a $λ = - 2$ ).
$P^{'} = 2 (- 1, 1, 1) - (1, 0, 0) = (- 3, 2, 2)$
$P^{'} = (- 3, 2, 2)$

Apartado c

1. Escribimos $r$ en paramétricas y sustituimos en $π_{1}$ .
$r : (1 + λ, 2 λ, 2 - λ)$ ; $2 (1 + λ) - 2 λ - (2 - λ) + 4 = 0 \Rightarrow λ + 4 = 0 \Rightarrow λ = - 4$
2. Punto de corte.
$(1 - 4, - 8, 2 + 4) = (- 3, - 8, 6)$
$(- 3, - 8, 6)$
El producto escalar de $d_{r} = (1, 2, - 1)$ con la normal es $2 - 2 + 1 = 1 \neq = 0$ : la recta no es paralela al plano, el corte existe y es único.

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Consideramos la función $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x ^{2} - 4}$ . Obtener:

a)El dominio y los puntos de corte con los ejes.
b)Las asíntotas de la función.
c)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos.
d)La primitiva de la función $f (x)$ .

Apartado a

1. El denominador se anula en $x = \pm 2$ .
$x^{2} - 4 = 0 ⟺ x = \pm 2 \Rightarrow Dom f = R ∖ {- 2, 2}$
2. Cortes con el eje $O Y$ : $x = 0$ . Con el eje $O X$ : numerador $x^{2} + 3 = 0$ , sin solución real.
$f (0) = - \frac{3}{4}$
Corte con $O Y$ : $(0, - \frac{3}{4})$ ; no corta al eje $O X$

Apartado b

1. Verticales en los ceros del denominador (el numerador no se anula ahí): límites laterales.
$lim_{x \to 2^{+}} f = + \infty, lim_{x \to 2^{-}} f = - \infty, lim_{x \to - 2^{+}} f = - \infty, lim_{x \to - 2^{-}} f = + \infty$
2. Horizontal: límite en el infinito (mismo grado en numerador y denominador).
$lim_{x \to \pm \infty} \frac{x ^{2} + 3}{x ^{2} - 4} = 1$
Asíntotas: $x = 2$ , $x = - 2$ (verticales) e $y = 1$ (horizontal)
No hay oblicuas porque ya existe horizontal.

Apartado c

1. Derivada con el cociente.
$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} - 4 ) - ( x ^{2} + 3 ) 2 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = \frac{- 14 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$
2. El denominador es siempre positivo: el signo lo da $- 14 x$ . Solo se anula en $x = 0$ .
$f^{'} > 0$ si $x < 0$ ( $x \neq = - 2$ ); $f^{'} < 0$ si $x > 0$ ( $x \neq = 2$ )
Crece en $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0)$ ; decrece en $(0, 2) \cup (2, \infty)$ . Máximo relativo en $(0, - \frac{3}{4})$ ; no hay mínimos.

Apartado d

1. Dividimos: grados iguales, $x^{2} + 3 = (x^{2} - 4) + 7$ .
$f (x) = 1 + \frac{7}{x ^{2} - 4}$
2. Descomponemos en fracciones simples: $\frac{7}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$ con $A = \frac{7}{4}$ , $B = - \frac{7}{4}$ .
$f (x) = 1 + \frac{7/4}{x - 2} - \frac{7/4}{x + 2}$
3. Integramos término a término.
$\int f (x) d x = x + \frac{7}{4} ln ∣ x - 2∣ - \frac{7}{4} ln ∣ x + 2∣ + C$
$F (x) = x + \frac{7}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m de longitud.

a)Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor $x$ que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo.
b)Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima.

Apartado a

1. Si el triángulo equilátero tiene lado $x$ , usa $3 x$ m de cable; el resto, $240 - 3 x$ m, forma el cuadrado, de lado $\frac{240 - 3 x}{4}$ . Dominio: $0 < x < 80$ .
2. Área del triángulo equilátero de lado $x$ : $\frac{3}{4} x^{2}$ . Área del cuadrado: lado al cuadrado.
$S (x) = \frac{3}{4} x^{2} + (\frac{240 - 3 x}{4})^{2}$
$S (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{( 240 - 3 x ) ^{2}}{16}, 0 < x < 80$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$S^{'} (x) = \frac{3}{2} x - \frac{3 ( 240 - 3 x )}{8} = 0 \Rightarrow 43 x + 9 x = 720 \Rightarrow x = \frac{720}{9 + 4 3}$
2. Racionalizamos: $\frac{720}{9 + 4 3} \cdot \frac{9 - 4 3}{9 - 4 3}$ con $81 - 48 = 33$ .
$x_{0} = \frac{720 ( 9 - 4 3 )}{33} = \frac{240 ( 9 - 4 3 )}{11} \approx 45, 20 m$
3. Es un mínimo: $S^{''} (x) = \frac{3}{2} + \frac{9}{8} > 0$ .
$S^{''} (x) = \frac{3}{2} + \frac{9}{8} > 0$
4. Longitud de cable para el triángulo: $3 x_{0}$ .
$3 x_{0} = \frac{720 ( 9 - 4 3 )}{11} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} \Rightarrow \frac{6480 - 2880 3}{11} \approx 135, 61 m$
5. Área mínima: evaluamos $S (x_{0})$ (lado del cuadrado $\approx 26, 10$ m).
$S (x_{0}) = \frac{43200 3 - 57600}{11} \approx 1565, 87 m^{2}$
Cable para el triángulo $\approx 135, 61$ m; área mínima $\approx 1565, 87 m^{2}$
Comparación con los extremos: $S \to 3600$ si $x \to 0$ y $S \to 2771, 13$ si $x \to 80$ , ambos mayores.