Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2021 · Ordinaria 2021

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dado el sistema de ecuaciones: $⎩ ⎨ ⎧ x + y + (a + 1) z = 2 x + (a - 1) y + 2 z = 1 2 x + a y + z = - 1$

a)Estudiadlo en función de los valores del parámetro real $a$ .
b)Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$det M = 112 1 a - 1 a a + 1 21 = - a^{2} + 4 = - (a - 2) (a + 2)$
2. Si $a \neq = \pm 2$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ .
Sistema compatible determinado (SCD).
3. Caso $a = 2$ : el menor $1111 = 0$ , pero $1132 = - 1 \neq = 0$ , luego $rg M = 2$ ; los menores de orden 3 de la ampliada también se anulan.
$M^{*} = 112112321 21 - 1$ (la tercera fila es combinación de las otras: $F_{3} = - 3 F_{1} + 5 F_{2}$ )
$rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ : compatible indeterminado (SCI).
4. Caso $a = - 2$ : $rg M = 2$ , pero la ampliada tiene un menor de orden 3 no nulo.
$112 1 - 3 - 2 21 - 1 = 16 \neq = 0 \Rightarrow rg M^{*} = 3$
Sistema incompatible (SI).

Apartado b

1. Para $a \neq = \pm 2$ (SCD) resolvemos con Cramer o por Gauss.
$x = \frac{- 2 a - 3}{a + 2}, y = \frac{3}{a + 2}, z = \frac{4}{a + 2}$
2. Para $a = 2$ el sistema es $x + y + 3 z = 2$ , $x + y + 2 z = 1$ (la tercera sobra). Restando: $z = 1$ y $x + y = - 1$ . Parámetro $y = λ$ .
$(x, y, z) = (- 1 - λ, λ, 1)$
Si $a \neq = \pm 2$ : $(\frac{- 2 a - 3}{a + 2}, \frac{3}{a + 2}, \frac{4}{a + 2})$ . Si $a = 2$ : $(- 1 - λ, λ, 1)$ . Si $a = - 2$ : no hay solución.

210 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Se dan los planos $π_{1} : x + y + z = a - 1$ , $π_{2} : 2 x + y + a z = a$ y $π_{3} : x + a y + z = 1$ .

a)Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro $a$ .
b)Para $a = 1$ , calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $π_{1}$ y $π_{3}$ .
c)Para $a = 2$ , calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .

Apartado a

1. Matriz de coeficientes y ampliada. Determinante.
$det N = 121 11 a 1 a 1 = - (a - 1) (a - 2)$
2. Si $a \neq = 1, 2$ : $rg = 3$ y los tres planos se cortan en un único punto.
3. Caso $a = 1$ : $π_{1} : x + y + z = 0$ y $π_{3} : x + y + z = 1$ son paralelos no coincidentes ( $rg N = 2$ , $rg N^{*} = 3$ ).
$N = 121111111, 121111011 = - 1 \neq = 0$
Dos planos paralelos y el tercero los corta: no hay puntos comunes.
4. Caso $a = 2$ : $rg N = rg N^{*} = 2$ y los planos son distintos de dos en dos (normales no proporcionales).
$π_{1} : x + y + z = 1, π_{2} : 2 x + y + 2 z = 2, π_{3} : x + 2 y + z = 1$
Los tres planos pertenecen a un haz: se cortan en una recta común.

Apartado b

1. Con $a = 1$ : $π_{1} : x + y + z = 0$ y $π_{3} : x + y + z = 1$ .
Sistema ${x + y + z = 0 x + y + z = 1$ incompatible
No existe recta de corte: $π_{1}$ y $π_{3}$ son paralelos.

Apartado c

1. Con $a = 2$ : $π_{1} : x + y + z = 1$ y $π_{2} : 2 x + y + 2 z = 2$ . Restamos: $x + z = 1$ , así $y = 0$ .
${x + y + z = 1 2 x + y + 2 z = 2 \Rightarrow y = 0, x + z = 1$
2. Parámetro $z = λ$ .
$r : (x, y, z) = (1 - λ, 0, λ)$
$r : x = 1 - λ, y = 0, z = λ$

310 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Consideramos la función $f (x) = \frac{x - 1}{x ( x + 2 )}$ . Obtened:

a)El dominio y las asíntotas de la función.
b)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f (x)$ .
c)La integral $\int f (x) d x$ .

Apartado a

1. El denominador se anula en $x = 0$ y $x = - 2$ .
$Dom f = R ∖ {- 2, 0}$
2. Límites en los puntos excluidos y en el infinito.
$lim_{x \to 0^{\pm}} f = \mp \infty$ (numerador $\to - 1$ , denominador $\to 0^{\pm}$ ), $lim_{x \to - 2^{\pm}} f = \pm \infty$ , $lim_{x \to \pm \infty} f = 0$
Asíntotas verticales $x = 0$ y $x = - 2$ ; horizontal $y = 0$ .

Apartado b

1. Derivada del cociente.
$f^{'} (x) = \frac{x ( x + 2 ) - ( x - 1 ) ( 2 x + 2 )}{x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}} = \frac{- x ^{2} + 2 x + 2}{x ^{2} ( x + 2 ) ^{2}}$
2. El denominador es positivo: el signo es el de $- x^{2} + 2 x + 2$ , con raíces $x = 1 \pm 3$ ( $\approx - 0, 73$ y $2, 73$ ), positivo entre ellas.
$f^{'} > 0$ en $(1 - 3, 1 + 3)$ salvo $x = 0$ ; $f^{'} < 0$ fuera
Crece en $(1 - 3, 0) \cup (0, 1 + 3)$ . Decrece en $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1 - 3) \cup (1 + 3, \infty)$ .
Mínimo relativo en $x = 1 - 3$ y máximo relativo en $x = 1 + 3$ .

Apartado c

1. Fracciones simples: $\frac{x - 1}{x ( x + 2 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 2}$ ; $A = \frac{- 1}{2}$ (en $x = 0$ ), $B = \frac{- 3}{- 2} = \frac{3}{2}$ (en $x = - 2$ ).
$f (x) = - \frac{1}{2 x} + \frac{3}{2 ( x + 2 )}$
2. Integramos.
$\int f (x) d x = - \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{2} ln ∣ x + 2∣ + C$
$- \frac{1}{2} ln ∣ x ∣ + \frac{3}{2} ln ∣ x + 2∣ + C$

410 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dada la matriz $A = - 1 02 2 m 1 m 0 m^{2} + 1$ , se pide:

a)Obtened el rango de la matriz en función del parámetro $m$ .
b)Explicad cuándo la matriz $A$ es invertible.
c)Resolved la ecuación $X A = I$ donde $I$ es la matriz identidad en el caso $m = 1$ .

Apartado a

1. Determinante: desarrollamos por la segunda fila.
$det A = m - 1 2 m m^{2} + 1 = m (- m^{2} - 1 - 2 m) = - m (m + 1)^{2}$
2. Si $m \neq = 0, - 1$ : $rg A = 3$ .
3. Caso $m = 0$ : $A = - 1 02 201001$ , tiene una fila de ceros y el menor $- 1 2 21 = - 5 \neq = 0$ .
$rg A = 2$ .
4. Caso $m = - 1$ : $A = - 1 02 2 - 1 1 - 1 02$ ; como $det A = 0$ y el menor $- 1 0 2 - 1 = 1 \neq = 0$ , el rango es 2.
$rg A = 2$ .

Apartado b

1. $A$ cuadrada es invertible si y solo si $det A \neq = 0$ .
$det A = - m (m + 1)^{2} \neq = 0 ⟺ m \neq = 0 y m \neq = - 1$
$A$ es invertible si y solo si $m \neq = 0$ y $m \neq = - 1$ .

Apartado c

1. Para $m = 1$ , $det A = - 4 \neq = 0$ : $X A = I \Rightarrow X = A^{- 1}$ . Cálculo por adjuntos.
$A = - 1 02 211102, Adj (A)^{T} = 20 - 2 - 3 - 4 5 - 1 0 - 1$
2. Dividimos entre $det A = - 4$ .
$X = A^{- 1} = - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{3}{4} 1 - \frac{5}{4} \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4}$
$X = - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{3}{4} 1 - \frac{5}{4} \frac{1}{4} 0 \frac{1}{4}$

510 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dados el punto $P (1, 2, 3)$ y el plano $π \equiv 3 x + 2 y + z + 4 = 0$ , se pide:

a)Calculad la distancia del punto $P$ al plano $π$ .
b)Calculad el punto $P^{'}$ que es simétrico del punto $P$ respecto del plano $π$ .
c)Calculad la ecuación del plano $π^{'}$ que pasa por $P^{'}$ y es paralelo a $π$ .

Apartado a

1. Distancia punto-plano: $d = \frac{∣3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 + 4∣}{9 + 4 + 1}$ .
$d (P, π) = \frac{14}{14} = 14 \approx 3, 74$
$d (P, π) = 14$

Apartado b

1. Recta perpendicular a $π$ por $P$ : $(1 + 3 λ, 2 + 2 λ, 3 + λ)$ . Corte con $π$ .
$3 (1 + 3 λ) + 2 (2 + 2 λ) + (3 + λ) + 4 = 0 \Rightarrow 14 λ + 14 = 0 \Rightarrow λ = - 1$
2. El pie es $M = (- 2, 0, 2)$ (punto medio); $P^{'}$ se obtiene con $λ = - 2$ .
$P^{'} = (1 - 6, 2 - 4, 3 - 2) = (- 5, - 2, 1)$
$P^{'} = (- 5, - 2, 1)$

Apartado c

1. Un plano paralelo a $π$ tiene la misma normal: $3 x + 2 y + z + D = 0$ . Imponemos que pase por $P^{'}$ .
$3 (- 5) + 2 (- 2) + 1 + D = 0 \Rightarrow D = 18$
$π^{'} : 3 x + 2 y + z + 18 = 0$
Comprobación: $d (P, π) = d (P^{'}, π)$ y la distancia entre $π$ y $π^{'}$ es $14/ 14 = 14$ .

610 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$ , uno de cuyos vértices es el punto $(x, y)$ (véase la figura).

a)Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de $x$ , cuando $0 \leq x \leq 32$ .
b)Calculad las dimensiones que tendrá $R$ para que su área sea máxima.
c)Calculad el valor de dicha área máxima.

Apartado a

1. Colocamos el origen en el vértice recortado del espejo, con ejes por los lados del cuadrado. Los catetos del trozo roto miden 32 (eje $O X$ ) y 40 (eje $O Y$ ); la rotura es la recta que une $(32, 0)$ con $(0, 40)$ . El rectángulo $R$ tiene un vértice $(x, y)$ en esa recta y el opuesto en la esquina $(80, 80)$ .
$\frac{x}{32} + \frac{y}{40} = 1 \Rightarrow y = 40 (1 - \frac{x}{32}) = 40 - \frac{5}{4} x$
2. Lados de $R$ : $80 - x$ y $80 - y = 40 + \frac{5}{4} x$ .
$A (x) = (80 - x) (40 + \frac{5}{4} x) = - \frac{5}{4} x^{2} + 60 x + 3200, 0 \leq x \leq 32$
$A (x) = - \frac{5}{4} x^{2} + 60 x + 3200$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$A^{'} (x) = - \frac{5}{2} x + 60 = 0 \Rightarrow x = 24 \in [0, 32]$
2. Es máximo: $A^{''} = - \frac{5}{2} < 0$ . Además $A (0) = 3200$ y $A (32) = 3840 < A (24)$ .
$y = 40 - \frac{5}{4} \cdot 24 = 10$ ; lados: $80 - 24 = 56$ cm y $80 - 10 = 70$ cm
Dimensiones de $R$ : $56 cm \times 70 cm$

Apartado c

1. Área máxima.
$A (24) = 56 \cdot 70 = 3920 cm^{2}$
$A_{m a x} = 3920 cm^{2}$