Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2021 · Extraordinaria 2021

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ 2 x - y + z = m x + y + 3 z = 0 5 x - 4 y + m z = m$ , donde $m$ es un parámetro real. Se pide:

a)La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$ .
b)La solución del sistema cuando $m = 1$ .
c)Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes (desarrollo por la primera fila).
$det M = 2 (m + 12) + (m - 15) + (- 4 - 5) = 3 m$
2. Si $m \neq = 0$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ .
Sistema compatible determinado (SCD).
3. Si $m = 0$ : el sistema es homogéneo (siempre compatible). $rg M = 2$ porque $21 - 1 1 = 3 \neq = 0$ y $det M = 0$ .
$rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
Sistema compatible indeterminado (SCI).

Apartado b

1. Con $m = 1$ , $det M = 3 \neq = 0$ : resolvemos por Gauss/Cramer. De la segunda, $x = - y - 3 z$ ; en la primera: $- 2 y - 6 z - y + z = 1 \Rightarrow - 3 y - 5 z = 1$ ; en la tercera: $- 5 y - 15 z - 4 y + z = 1 \Rightarrow - 9 y - 14 z = 1$ .
${- 3 y - 5 z = 1 - 9 y - 14 z = 1 \Rightarrow z = - 2, y = 3, x = - 3 + 6 = 3$
$(x, y, z) = (3, 3, - 2)$

Apartado c

1. Para $m = 0$ (SCI) usamos las dos primeras ecuaciones (rango 2) y $z = λ$ : $2 x - y = - λ$ , $x + y = - 3 λ$ .
$3 x = - 4 λ \Rightarrow x = - \frac{4}{3} λ, y = - 3 λ + \frac{4}{3} λ = - \frac{5}{3} λ$
$(x, y, z) = (- \frac{4}{3} λ, - \frac{5}{3} λ, λ)$ , $λ \in R$
Equivalente con $λ = 3 μ$ : $(- 4 μ, - 5 μ, 3 μ)$ . La tercera ecuación $5 x - 4 y = 0$ se cumple: $- \frac{20}{3} λ + \frac{20}{3} λ = 0$ .

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan las rectas $r : {x + y - 1 = 0 2 x - z - 1 = 0$ , $s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}$ y el plano $π : x + m y + z = 2$ que depende del parámetro real $m$ . Obtened:

a)La posición relativa de las rectas $r$ y $s$ .
b)El valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $π$ .
c)Los puntos $A, B, C$ intersección del plano $π$ con los ejes de coordenadas cuando $m = 2$ , así como el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P (2, 2, 2)$ .

Apartado a

1. Dirección de $r$ como producto vectorial de las normales de los planos que la definen: $(1, 1, 0) \times (2, 0, - 1)$ . Punto de $r$ : $x = 0 \Rightarrow y = 1, z = - 1$ .
$d_{r} = (- 1, 1, - 2), A_{r} = (0, 1, - 1)$ ; $d_{s} = (1, - 1, 2), A_{s} = (1, 0, 0)$
2. Los vectores directores son proporcionales: $d_{r} = - d_{s}$ . Comprobamos si $A_{r}$ está en $s$ : $\frac{0 - 1}{1} = - 1$ , $\frac{1}{- 1} = - 1$ , $\frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2} \neq = - 1$ .
$A_{r} \in / s$
Las rectas $r$ y $s$ son paralelas y distintas.

Apartado b

1. $r \subset π$ exige que un punto de $r$ esté en $π$ y que $d_{r} ⊥ n_{π} = (1, m, 1)$ . Con $A_{r} = (0, 1, - 1)$ : $0 + m - 1 = 2$ .
$m - 1 = 2 \Rightarrow m = 3$
2. Comprobación de la dirección: $d_{r} \cdot n_{π} = - 1 + m - 2 = 0 ⟺ m = 3$ .
$m = 3$

Apartado c

1. Con $m = 2$ , $π : x + 2 y + z = 2$ . Cortes con los ejes.
$A = (2, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 2)$
2. Volumen del tetraedro $= \frac{1}{6} det (A B, A C, A P)$ con $A B = (- 2, 1, 0)$ , $A C = (- 2, 0, 2)$ , $A P = (0, 2, 2)$ .
$- 2 - 2 0 102022 = 12 \Rightarrow V = \frac{12}{6} = 2 u^{3}$
$V = 2 u^{3}$
Comprobación: base $\frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣ = 6$ ; altura $d (P, π) = 6/ 6$ ; $V = \frac{1}{3} 6 \cdot \frac{6}{6} = 2$ .

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Dada la función $f (x) = x e^{1 - x^{2}}$ , calculad:

a)El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
b)Las asíntotas y la gráfica de $f$ .
c)La integral $\int f (x) d x$ .

Apartado a

1. El dominio es todo $R$ (producto de una función polinómica y una exponencial).
$Dom f = R$
2. Derivada.
$f^{'} (x) = e^{1 - x^{2}} + x (- 2 x) e^{1 - x^{2}} = (1 - 2 x^{2}) e^{1 - x^{2}}$
3. $e^{1 - x^{2}} > 0$ , así que el signo es el de $1 - 2 x^{2}$ : raíces $x = \pm \frac{2}{2}$ .
$f^{'} > 0$ en $(- \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ ; $f^{'} < 0$ en $(- \infty, - \frac{2}{2}) \cup (\frac{2}{2}, \infty)$
Crece en $(- \frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ , decrece fuera. Mínimo relativo en $(- \frac{2}{2}, - \frac{e}{2})$ ; máximo relativo en $(\frac{2}{2}, \frac{e}{2})$ .
$f (\pm \frac{2}{2}) = \pm \frac{2}{2} e^{1/2} = \pm e /2 \approx \pm 1, 17$ .

Apartado b

1. No hay asíntotas verticales (es continua en $R$ ). En el infinito, la exponencial domina: $x e^{1 - x^{2}} = \frac{e x}{e ^{x^{2}}} \to 0$ .
$lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$
Asíntota horizontal $y = 0$ (en ambos lados).
2. Para la gráfica: $f$ es impar ( $f (- x) = - f (x)$ ), pasa por el origen y por $(\pm 1, \pm 1)$ ; $f^{''} (x) = 2 x (2 x^{2} - 3) e^{1 - x^{2}}$ da puntos de inflexión en $x = 0$ y $x = \pm 3/2$ .
$f^{''} (x) = 2 x (2 x^{2} - 3) e^{1 - x^{2}}$
Por la izquierda parte de $y = 0^{-}$ , baja hasta el mínimo, sube pasando por el origen hasta el máximo y vuelve a $y = 0^{+}$ .

Apartado c

1. Cambio $u = 1 - x^{2}$ , $d u = - 2 x d x$ .
$\int x e^{1 - x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{1 - x^{2}} + C$
$- \frac{1}{2} e^{1 - x^{2}} + C$

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan las matrices $A = 1 - 1 1 2 a a^{2} - 2 313$ y $B = 1 - 1 2 [123]$ . Obtened:

a)El rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a$ .
b)Una matriz $C$ tal que $A C = 16 I$ , siendo $I$ la matriz identidad, cuando $a = 0$ .
c)El rango de la matriz $B$ y la discusión de si el sistema $B x y z = 1 - 1 2$ tiene solución.

Apartado a

1. Determinante: restamos la fila 1 a la fila 3, que queda $(0, a^{2} - 4, 0)$ , y desarrollamos por esa fila.
$det A = (a^{2} - 4) \cdot (- 1)^{3 + 2} 1 - 1 31 = - 4 (a^{2} - 4) = 16 - 4 a^{2}$
2. $det A = 0 ⟺ a = \pm 2$ . Si $a \neq = \pm 2$ el determinante no es nulo y el rango es 3.
$a \neq = \pm 2 \Rightarrow rg A = 3$
3. Si $a = 2$ o $a = - 2$ es $a^{2} - 2 = 2$ y la fila 3 coincide con la fila 1, $(1, 2, 3)$ . Hay un menor $2 \times 2$ no nulo: para $a = 2$ , $1 - 1 22 = 4$ ; para $a = - 2$ , tomando las columnas 1 y 3, $1 - 1 31 = 4$ .
$a = \pm 2 \Rightarrow rg A = 2$
$rg A = 3$ si $a \neq = \pm 2$ y $rg A = 2$ si $a = \pm 2$ .

Apartado b

1. Para $a = 0$ es $A = 1 - 1 1 20 - 2 313$ , con $det A = 16 \neq = 0$ . De $A C = 16 I$ se obtiene $C = 16 A^{- 1}$ .
$C = 16 A^{- 1} = 16 \cdot \frac{adj ( A ) ^{t}}{det A} = adj (A)^{t}$
2. Calculamos la matriz adjunta traspuesta (cofactores de $A$ , traspuestos).
$C = 242 - 12 04 2 - 4 2$
$C = 242 - 12 04 2 - 4 2$
Comprobación: $A C = 16 I$ (cada elemento de la diagonal es 16 y los demás 0).

Apartado c

1. $B$ es el producto de una columna por una fila, así que todas sus filas son proporcionales a $(1, 2, 3)$ : rango 1.
$B = 1 - 1 2 2 - 2 4 3 - 3 6, rg B = 1$
2. Multiplicamos $B$ por el vector de incógnitas: sale la columna $(1, - 1, 2)^{t}$ multiplicada por $x + 2 y + 3 z$ .
$B x y z = (x + 2 y + 3 z) 1 - 1 2$
3. El sistema pide que ese resultado sea $(1, - 1, 2)^{t}$ , es decir, $x + 2 y + 3 z = 1$ : una sola ecuación independiente. $rg B = rg (B ∣ b) = 1 < 3$ .
$x + 2 y + 3 z = 1$
Sistema compatible indeterminado con dos parámetros libres; por ejemplo $(1, 0, 0)$ es solución.

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Dados los puntos $P (1, 1, 0)$ , $Q (2, - 1, 1)$ y $R (α, 3, - 1)$ se pide:

a)La ecuación del plano que contiene a $P$ , $Q$ y $R$ cuando $α = 1$ y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.
b)La ecuación de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $α = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$ . Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$ .
c)Los valores de $α$ para los cuales $P$ , $Q$ y $R$ están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.

Apartado a

1. Con $α = 1$ : $R = (1, 3, - 1)$ . Vectores del plano: $P Q = (1, - 2, 1)$ , $P R = (0, 2, - 1)$ . Normal $= P Q \times P R$ .
$n = (1, - 2, 1) \times (0, 2, - 1) = (0, 1, 2)$
2. Ecuación por $P$ y distancia al origen.
$y - 1 + 2 z = 0 ⟺ y + 2 z = 1, d (O, π) = \frac{∣0 + 0 - 1∣}{0 + 1 + 4} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}$
$π : y + 2 z - 1 = 0$ ; $d (O, π) = \frac{5}{5} \approx 0, 447$

Apartado b

1. La recta $r$ pasa por $R = (1, 3, - 1)$ con la dirección de $s$ : $P Q = (1, - 2, 1)$ .
$r : (x, y, z) = (1, 3, - 1) + λ (1, - 2, 1)$
$r : (1 + λ, 3 - 2 λ, - 1 + λ)$
2. Distancia entre rectas paralelas = distancia de $R$ a $s$ : $\frac{∣ P R \times d _{s} ∣}{∣ d _{s} ∣}$ .
$P R \times d_{s} = (0, 2, - 1) \times (1, - 2, 1) = (0, - 1, - 2), d = \frac{5}{6} = \frac{30}{6} \approx 0, 913$
$d (r, s) = \frac{30}{6}$

Apartado c

1. $P$ , $Q$ y $R$ están alineados si $P R = (α - 1, 2, - 1)$ es proporcional a $P Q = (1, - 2, 1)$ .
$\frac{α - 1}{1} = \frac{2}{- 2} = \frac{- 1}{1} \Rightarrow α - 1 = - 1 \Rightarrow α = 0$
2. Recta que los contiene: por $P$ con dirección $(1, - 2, 1)$ .
$(x, y, z) = (1, 1, 0) + λ (1, - 2, 1)$
$α = 0$ ; recta $x = 1 + λ, y = 1 - 2 λ, z = λ$
Comprobación: con $λ = - 1$ se obtiene $R = (0, 3, - 1)$ .

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2 resultados comprobados en 2 apartados
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Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide $(4 + π)$ metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:

a)Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura $y$ del rectángulo.
b)Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima.

Apartado a

1. Sea $x$ el largo del rectángulo central e $y$ su altura. Las partes laterales son dos semicircunferencias de diámetro $y$ (juntas, un círculo de radio $y /2$ ). Superficie $= x y + π \frac{y ^{2}}{4} = 4 + π$ .
$x = \frac{4 + π}{y} - \frac{π y}{4}$
2. Rayas: los dos lados largos del rectángulo ( $2 x$ ), las dos semicircunferencias ( $2 \cdot π \frac{y}{2} = π y$ ) y los dos segmentos que separan el rectángulo de cada semicírculo ( $2 y$ ).
$L = 2 x + π y + 2 y$
3. Sustituimos $x$ .
$L (y) = \frac{2 ( 4 + π )}{y} - \frac{π y}{2} + π y + 2 y = \frac{2 ( 4 + π )}{y} + \frac{π + 4}{2} y$
$L (y) = \frac{2 ( 4 + π )}{y} + \frac{( π + 4 ) y}{2} = (π + 4) (\frac{2}{y} + \frac{y}{2}), 0 < y < 2 1 + \frac{4}{π}$
Se supone que en la figura (no incluida en el texto) se pintan el contorno y los dos segmentos de separación.

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$L^{'} (y) = (π + 4) (- \frac{2}{y ^{2}} + \frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow y^{2} = 4 \Rightarrow y = 2$
2. Mínimo: $L^{''} (y) = (π + 4) \frac{4}{y ^{3}} > 0$ . Con $y = 2$ : $x = \frac{4 + π}{2} - \frac{π}{2} = 2$ .
$L (2) = (π + 4) \cdot 2 = 2 π + 8 \approx 14, 28 m$
Rectángulo central $2 \times 2$ m (semicírculos de radio $1$ m); pintura mínima $2 π + 8 \approx 14, 28$ m.