Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Julio 2020 (calendario especial COVID-19) · Ordinaria 2020 (Julio, calendario COVID)

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
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Dado el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z = 1 x + a y + z = 1 a x + y + z = - 2$ , siendo $a$ un parámetro real, obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El estudio del sistema en función del parámetro $a$ .
b)Las soluciones del sistema cuando $a = - 2$ .
c)La solución del sistema cuando $a = 0$ .

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$det M = 11 a 1 a 1 a 11 = a + a + a - a^{3} - 1 - 1 = - a^{3} + 3 a - 2 = - (a - 1)^{2} (a + 2)$
2. Si $a \neq = 1, - 2$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ .
Sistema compatible determinado (SCD).
3. Caso $a = 1$ : $M$ tiene las tres filas iguales ( $rg M = 1$ ) pero los términos independientes son $1, 1, - 2$ .
$x + y + z = 1$ y $x + y + z = - 2$
$rg M = 1 < rg M^{*} = 2$ : sistema incompatible.
4. Caso $a = - 2$ : $rg M = 2$ (el menor $11 1 - 2 = - 3 \neq = 0$ ). La suma de las tres ecuaciones da $0 = 0$ , así que la ampliada también tiene rango 2.
$rg M = rg M^{*} = 2 < 3$
Sistema compatible indeterminado (SCI).

Apartado b

1. Para $a = - 2$ : $x + y - 2 z = 1$ , $x - 2 y + z = 1$ . Restando: $3 y - 3 z = 0 \Rightarrow y = z$ ; entonces $x = 1 + z$ .
$(x, y, z) = (1 + λ, λ, λ)$
$(1 + λ, λ, λ)$ , $λ \in R$
La tercera ecuación $- 2 x + y + z = - 2$ se cumple: $- 2 - 2 λ + 2 λ = - 2$ .

Apartado c

1. Para $a = 0$ (SCD): $x + y = 1$ , $x + z = 1$ , $y + z = - 2$ . Sumando las tres: $x + y + z = 0$ . Restando cada ecuación: $z = - 1$ , $y = - 1$ , $x = 2$ .
$(x, y, z) = (2, - 1, - 1)$
$(x, y, z) = (2, - 1, - 1)$

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Sea la recta $r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{- 1}$ y los puntos $P = (1, 0, 0)$ y $Q = (2, 1, α)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El valor de $α$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$ .
b)La ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$ , cuando $α = 1$ .
c)La distancia del punto $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ , cuando $α = 1$ .

Apartado a

1. $P Q = (1, 1, α)$ debe ser proporcional a $d_{r} = (1, 1, - 1)$ .
$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{α}{- 1} \Rightarrow α = - 1$
$α = - 1$

Apartado b

1. Con $α = 1$ : $P Q = (1, 1, 1)$ . El plano por $P$ con direcciones $P Q$ y $d_{r}$ tiene normal igual al producto vectorial.
$n = (1, 1, 1) \times (1, 1, - 1) = (- 2, 2, 0) ∥ (1, - 1, 0)$
2. Ecuación por $P (1, 0, 0)$ .
$(x - 1) - y = 0 ⟺ x - y - 1 = 0$
$π : x - y - 1 = 0$
Comprobación: $Q (2, 1, 1)$ cumple $2 - 1 - 1 = 0$ ; y $r$ es paralela pero no está contenida ( $(1, - 1, 0) \in r$ da $1 + 1 - 1 = 1 \neq = 0$ ).

Apartado c

1. Plano por $P$ perpendicular a $r$ : su normal es $d_{r} = (1, 1, - 1)$ .
$(x - 1) + y - z = 0 ⟺ x + y - z - 1 = 0$
2. Distancia de $Q (2, 1, 1)$ al plano.
$d = \frac{∣2 + 1 - 1 - 1∣}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 577$
$d (Q, π^{'}) = \frac{3}{3}$

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Se da la función real $f$ definida por $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} ( x - 1 )}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El dominio y las asíntotas de la función $f$ .
b)La integral $\int f (x) d x$ , así como la primitiva de $f (x)$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 0)$ .
c)El área de la región limitada por la curva $y = f (x)$ y las rectas $y = 0$ , $x = 2$ , $x = 4$ .

Apartado a

1. El denominador se anula en $x = 0$ y $x = 1$ .
$Dom f = R ∖ {0, 1}$
2. Límites laterales y en el infinito.
$lim_{x \to 0^{\pm}} f = - \infty, lim_{x \to 1^{+}} f = + \infty, lim_{x \to 1^{-}} f = - \infty, lim_{x \to \pm \infty} f = 0$
Asíntotas verticales $x = 0$ y $x = 1$ ; horizontal $y = 0$ (no hay oblicua).

Apartado b

1. Fracciones simples: $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} ( x - 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x - 1}$ . En $x = 1$ : $C = 2$ ; en $x = 0$ : $B = \frac{1}{- 1} = - 1$ ; comparando el coeficiente de $x^{2}$ : $A + C = 1 \Rightarrow A = - 1$ .
$f (x) = - \frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}} + \frac{2}{x - 1}$
2. Integramos.
$\int f (x) d x = - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
$\int f = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + C$
3. Primitiva por $(2, 0)$ : $F (2) = 2 ln 1 - ln 2 + \frac{1}{2} + C = 0$ .
$C = ln 2 - \frac{1}{2}$
$F (x) = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x ∣ + \frac{1}{x} + ln 2 - \frac{1}{2}$

Apartado c

1. En $[2, 4]$ la función es positiva (numerador $> 0$ , $x - 1 > 0$ , $x^{2} > 0$ ): el área es la integral definida.
$\overset{ˊ}{A} rea = F (4) - F (2) = (2 ln 3 - ln 4 + \frac{1}{4}) - (- ln 2 + \frac{1}{2})$
$\overset{ˊ}{A} rea = 2 ln 3 - ln 2 - \frac{1}{4} \approx 1, 254 u^{2}$

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Se dan las matrices $A = 1 b - 1 202$ y $B = (- 1 - 1 0 b 2 - 1)$ , que dependen del parámetro real $b$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $b$ para que cada una de las matrices $A B$ y $B A$ tenga inversa.
b)Los valores de $b$ para que la matriz $A^{T} A$ tenga inversa, siendo $A^{T}$ la matriz traspuesta de $A$ .
c)La inversa de $A^{T} A$ , cuando dicha inversa exista.

Apartado a

1. $A B$ es $3 \times 3$ y $B A$ es $2 \times 2$ . Calculamos $A B$ : su rango es como mucho 2 (producto por una matriz de 2 columnas), luego su determinante es 0.
$A B = - 3 - b - 1 2 b 0 2 b 0 2 b - 4, det (A B) = 0 para todo b$
$A B$ no tiene inversa para ningún $b$ .
2. $B A = (- 3 b^{2} 2 - 4)$ , $det (B A) = 12 - 2 b^{2}$ .
$12 - 2 b^{2} \neq = 0 ⟺ b \neq = \pm 6$
$B A$ es invertible si y solo si $b \neq = \pm 6$ .

Apartado b

1. $A^{T} A = (12 b 0 - 1 2) 1 b - 1 202 = (b^{2} + 2 0 08)$ .
$det (A^{T} A) = 8 (b^{2} + 2) > 0$
Tiene inversa para todo $b \in R$ .

Apartado c

1. La inversa de una matriz diagonal es la diagonal de los inversos.
$(A^{T} A)^{- 1} = \frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8}$
$(A^{T} A)^{- 1} = (\frac{1}{b ^{2} + 2} 0 0 \frac{1}{8})$

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Se dan el plano $π : 2 x + y - z - 5 = 0$ y los puntos $A (1, 2, - 1)$ , $B (2, 1, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $A$ , $B$ y es perpendicular a $π$ .
b)Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que es perpendicular a $π$ y pasa por $A$ . Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta $r$ .
c)La distancia entre el punto $B$ y la recta $r$ .

Apartado a

1. El plano pedido contiene a $A B = (1, - 1, 1)$ y a la normal de $π$ , $n_{π} = (2, 1, - 1)$ (por ser perpendicular a $π$ ). Su normal es el producto vectorial.
$n = (1, - 1, 1) \times (2, 1, - 1) = (0, 3, 3) ∥ (0, 1, 1)$
2. Ecuación por $A (1, 2, - 1)$ .
$(y - 2) + (z + 1) = 0 ⟺ y + z - 1 = 0$
$y + z - 1 = 0$
Comprobación: $B = (2, 1, 0)$ cumple $1 + 0 - 1 = 0$ .

Apartado b

1. La recta $r$ tiene por dirección la normal del plano y pasa por $A$ .
$r : x = 1 + 2 t, y = 2 + t, z = - 1 - t$
$r : (1 + 2 t, 2 + t, - 1 - t)$
2. Dos planos que contengan a $r$ : sus normales deben ser perpendiculares a $(2, 1, - 1)$ . Tomamos $(1, - 2, 0)$ y $(0, 1, 1)$ .
${(x - 1) - 2 (y - 2) = 0 (y - 2) + (z + 1) = 0 ⟺ {x - 2 y + 3 = 0 y + z - 1 = 0$
$r : {x - 2 y + 3 = 0 y + z - 1 = 0$

Apartado c

1. Distancia de $B$ a $r$ : $\frac{∣ A B \times d _{r} ∣}{∣ d _{r} ∣}$ , con $d_{r} = (2, 1, - 1)$ .
$A B \times d_{r} = (0, 3, 3), d = \frac{3 2}{6} = 3$
$d (B, r) = 3 \approx 1, 73$

610 puntos

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En un triángulo isósceles, los dos lados iguales miden 10 centímetros cada uno. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La expresión del área $A (x)$ del triángulo, en función de la longitud $x$ del tercer lado.
b)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $A (x)$ , $0 \leq x \leq 20$ .
c)La longitud $x$ del tercer lado para que el área del triángulo sea máxima y el valor de esta área.

Apartado a

1. Base $x$ (lado desigual) y lados iguales de 10 cm. La altura sobre la base cumple $h^{2} + (x /2)^{2} = 1 0^{2}$ .
$h = 100 - \frac{x ^{2}}{4}$
2. Área $= \frac{1}{2} \cdot$ base $\cdot$ altura.
$A (x) = \frac{x}{2} 100 - \frac{x ^{2}}{4} = \frac{x}{4} 400 - x^{2}, 0 \leq x \leq 20$
$A (x) = \frac{x}{4} 400 - x^{2}$

Apartado b

1. Derivada: producto de $x$ y $400 - x^{2}$ .
$A^{'} (x) = \frac{1}{4} (400 - x^{2} - \frac{x ^{2}}{400 - x ^{2}}) = \frac{200 - x ^{2}}{2 400 - x ^{2}}$
2. El denominador es positivo en $(0, 20)$ ; el signo lo da $200 - x^{2}$ , que se anula en $x = 102 \approx 14, 14$ .
$A^{'} > 0$ en $(0, 102)$ ; $A^{'} < 0$ en $(102, 20)$
$A$ crece en $(0, 102)$ y decrece en $(102, 20)$ .

Apartado c

1. Por el apartado anterior hay un máximo en $x = 102$ . Altura: $100 - 50 = 52$ , así que el triángulo es rectángulo isósceles.
$A (102) = \frac{10 2}{4} 400 - 200 = \frac{10 2 \cdot 10 2}{4} = 50$
$x = 102 \approx 14, 14$ cm; $A_{m a x} = 50 cm^{2}$
Los valores en los extremos son $A (0) = A (20) = 0$ .