Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Septiembre 2020 (calendario especial COVID-19) · Extraordinaria 2020 (Septiembre)

110 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + a y + 2 z = 3 x - 3 y + a z = - 2 x + y + 2 z = a$ , donde $a$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible.
b)La solución del sistema cuando $a = 0$ .
c)Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes (restamos $F_{3}$ a $F_{1}$ y $F_{2}$ y desarrollamos).
$det M = 111 a - 3 1 2 a 2 = (a - 1) (a - 2) = a^{2} - 3 a + 2$
2. Si $a \neq = 1, 2$ : $rg M = rg M^{*} = 3$ , compatible determinado.
3. Caso $a = 1$ : $rg M = 2$ (menor $11 1 - 3 = - 4 \neq = 0$ ). Ampliada: el menor de columnas 1, 2 y 4 es no nulo.
$111 1 - 3 1 3 - 2 1 = 8 \neq = 0$
$rg M^{*} = 3$ : sistema incompatible.
4. Caso $a = 2$ : $rg M = rg M^{*} = 2 < 3$ .
Sistema compatible indeterminado.
5. Conclusión.
El sistema es compatible si y solo si $a \neq = 1$ .

Apartado b

1. Con $a = 0$ el sistema es $x + 2 z = 3$ , $x - 3 y = - 2$ , $x + y + 2 z = 0$ . Restando la primera a la tercera: $y = - 3$ .
$y = - 3 \Rightarrow x = - 2 + 3 y = - 11 \Rightarrow z = \frac{3 - x}{2} = 7$
$(x, y, z) = (- 11, - 3, 7)$

Apartado c

1. Compatible indeterminado: $a = 2$ . Sistema $x + 2 y + 2 z = 3$ , $x - 3 y + 2 z = - 2$ , $x + y + 2 z = 2$ . Restando $F_{3} - F_{1}$ : $- y = - 1 \Rightarrow y = 1$ .
$y = 1, x + 2 z = 1$
2. Parámetro $z = λ$ .
$(x, y, z) = (1 - 2 λ, 1, λ)$
$(1 - 2 λ, 1, λ)$ , $λ \in R$
Se comprueba en la 2.ª ecuación: $1 - 2 λ - 3 + 2 λ = - 2$ .

210 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Se dan los planos $π : x + y = 1$ y $π^{'} : x - y + z = 1$ y el punto $P (1, - 1, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela a los planos $π$ y $π^{'}$ .
b)La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $π$ y $π^{'}$ .
c)Las ecuaciones de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $π$ y $π^{'}$ .

Apartado a

1. La recta es paralela a ambos planos si su dirección es perpendicular a las dos normales: $d = n \times n^{'}$ .
$d = (1, 1, 0) \times (1, - 1, 1) = (1, - 1, - 2)$
$r : x = 1 + t, y = - 1 - t, z = - 2 t$

Apartado b

1. $r$ es paralela a ambos planos; la distancia de $r$ al plano es la de cualquiera de sus puntos, p. ej. $P$ . Comprobamos que $P$ no está en ellos: $1 - 1 = 0 \neq = 1$ y $1 + 1 + 0 = 2 \neq = 1$ .
$d (r, π) = \frac{∣1 - 1 - 1∣}{2} = \frac{2}{2}, d (r, π^{'}) = \frac{∣1 + 1 + 0 - 1∣}{3} = \frac{3}{3}$
$d (r, π) = \frac{2}{2}$ , $d (r, π^{'}) = \frac{3}{3}$

Apartado c

1. La recta $L = π \cap π^{'}$ pasa por $(1, 0, 0)$ con dirección $d = (1, - 1, - 2)$ : $(1 + s, - s, - 2 s)$ . El pie $Q$ de la perpendicular desde $P$ cumple $P Q \cdot d = 0$ .
$P Q = (s, 1 - s, - 2 s) \Rightarrow s - (1 - s) + 4 s = 0 \Rightarrow 6 s = 1 \Rightarrow s = \frac{1}{6}$
2. Punto $Q$ y dirección.
$Q = (\frac{7}{6}, - \frac{1}{6}, - \frac{1}{3}), P Q = (\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, - \frac{1}{3}) ∥ (1, 5, - 2)$
$(x, y, z) = (1, - 1, 0) + λ (1, 5, - 2)$
Comprobación: $(1, 5, - 2) \cdot (1, - 1, - 2) = 1 - 5 + 4 = 0$ .

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Dada la función $f (x) = \frac{x}{x ^{2} - 1}$ , obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El dominio de definición y las asíntotas de la función $f$ .
b)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la representación gráfica de la función.
c)El valor de $\int_{2}^{3} f (x) d x$ .

f(x) = x/√(x²−1): asíntotas x = ±1 e y = ±1

Apartado a

1. La raíz exige $x^{2} - 1 \geq 0$ y, como además está en el denominador, no puede anularse: $x^{2} - 1 > 0$ .
$Dom f = (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
$Dom f = (- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
2. Asíntotas verticales: en los extremos del dominio el denominador tiende a $0^{+}$ y el numerador a $\pm 1$ .
$lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{x ^{2} - 1} = + \infty, lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x}{x ^{2} - 1} = - \infty$
Asíntotas verticales $x = 1$ y $x = - 1$ .
3. Asíntotas horizontales: dividimos numerador y denominador entre $∣ x ∣$ (para $x > 0$ es $x$ y para $x < 0$ es $- x$ ).
$lim_{x \to + \infty} \frac{x}{x ^{2} - 1} = 1, lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x ^{2} - 1} = - 1$
Asíntotas horizontales $y = 1$ (en $+ \infty$ ) e $y = - 1$ (en $- \infty$ ); al haber horizontales no hay oblicuas.

Apartado b

1. Derivamos con la regla del cociente.
$f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1 - \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1}}{x ^{2} - 1} = \frac{- 1}{( x ^{2} - 1 ) ^{3/2}}$
2. En el dominio $x^{2} - 1 > 0$ , así que $f^{'} (x) < 0$ siempre: no se anula y no hay máximos ni mínimos.
$f^{'} (x) < 0 en todo el dominio$
$f$ es decreciente en $(- \infty, - 1)$ y en $(1, \infty)$ ; sin extremos relativos.
3. Gráfica: $f$ es impar ( $f (- x) = - f (x)$ ), así que es simétrica respecto al origen. La rama derecha baja desde $+ \infty$ (junto a $x = 1$ ) hacia $y = 1$ ; por ejemplo $f (2) = \frac{2}{3} \approx 1, 15$ . La izquierda es su simétrica: baja desde $y = - 1$ hacia $- \infty$ junto a $x = - 1$ .
$f (2) = \frac{2}{3} \approx 1, 155, f (- 2) = - \frac{2}{3}$

Apartado c

1. La integral es inmediata con el cambio $u = x^{2} - 1$ , $d u = 2 x d x$ .
$\int \frac{x}{x ^{2} - 1} d x = x^{2} - 1 + C$
2. Regla de Barrow en $[2, 3]$ (dentro del dominio).
$\int_{2}^{3} f (x) d x = [x^{2} - 1]_{2}^{3} = 8 - 3 = 22 - 3$
$22 - 3 \approx 1, 096$ .

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Sea $A = 100212001$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa.
b)Dos constantes $a, b$ de modo que $A^{- 1} = A^{2} + a A + b I$ . Se puede usar (sin comprobarlo) que $A$ verifica la ecuación $A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - I = 0$ siendo $I$ la matriz identidad.
c)El valor de $λ$ para que el sistema de ecuaciones $(A - λ I) \cdot x y z = 000$ tenga infinitas soluciones. Para dicho valor de $λ$ hallar todas las soluciones del sistema.

Apartado a

1. $det A = 1$ (matriz triangular por bloques: desarrollo por la primera columna: $1 \cdot (1 \cdot 1 - 0)$ ).
$det A = 1 \neq = 0$
$A$ tiene inversa.
2. Inversa por adjuntos: $A^{- 1} = \frac{1}{det A} (Adj A)^{T}$ .
$A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$
$A^{- 1} = 100 - 2 1 - 2 001$

Apartado b

1. De $A^{3} - 3 A^{2} + 3 A - I = 0$ : sacamos $A$ factor común, $A (A^{2} - 3 A + 3 I) = I$ , luego $A^{- 1} = A^{2} - 3 A + 3 I$ . Se identifica $a = - 3$ , $b = 3$ .
$A^{- 1} = A^{2} - 3 A + 3 I$
$a = - 3, b = 3$
Comprobación numérica: $A^{2} = 100414001$ ; $A^{2} - 3 A + 3 I = 100 - 2 1 - 2 001$ .

Apartado c

1. El sistema homogéneo $(A - λ I) x = 0$ tiene infinitas soluciones si y solo si $det (A - λ I) = 0$ .
$det (A - λ I) = (1 - λ)^{3} = 0 \Rightarrow λ = 1$
$λ = 1$
2. Con $λ = 1$ : $A - I = 000202000$ , que da $2 y = 0$ .
$(x, y, z) = (α, 0, β)$
$(x, y, z) = (α, 0, β)$ , $α, β \in R$
Plano $y = 0$ : rango 1, dos parámetros.

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Se dan las rectas $r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = 2 + λ z = 2 λ$ , $λ \in R$ , $s : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 2}{1}$ y el plano $π : 3 x + a y - z + 1 = 0$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Si hay algún valor del parámetro $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $π$ .
b)La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .
c)El coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta $t : {2 x - y = 0 y - z = 2$ .

Apartado a

1. La recta $r$ tiene punto $A_{r} = (1, 2, 0)$ y dirección $d_{r} = (0, 1, 2)$ . Para que $r \subset π$ : (i) $d_{r} \cdot n_{π} = 0$ y (ii) $A_{r} \in π$ .
(i) $0 \cdot 3 + a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ ; (ii) $3 + 2 a + 1 = 0 \Rightarrow a = - 2$
2. Las dos condiciones dan valores distintos de $a$ : incompatibles.
No existe ningún valor de $a$ para el que $r$ esté contenida en $π$ .
Para $a = 2$ la recta es paralela a $π$ (sin estar contenida).

Apartado b

1. Distancia entre rectas que se cruzan: $d = \frac{∣ A _{r} A _{s} \cdot ( d _{r} \times d _{s} ) ∣}{∣ d _{r} \times d _{s} ∣}$ . $d_{s} = (2, - 1, 1)$ , $A_{s} = (- 1, 0, - 2)$ .
$d_{r} \times d_{s} = (3, 4, - 2), A_{r} A_{s} = (- 2, - 2, - 2)$
2. Producto mixto y módulo.
$d = \frac{∣ - 6 - 8 + 4∣}{9 + 16 + 4} = \frac{10}{29} = \frac{10 29}{29} \approx 1, 857$
$d (r, s) = \frac{10 29}{29}$
Como el producto mixto es distinto de cero, las rectas se cruzan.

Apartado c

1. Dirección de $t$ : $2 x = y$ y $z = y - 2$ ; con $x = k$ queda $(k, 2 k, 2 k - 2)$ , de dirección $d_{t} = (1, 2, 2)$ .
$cos θ = \frac{∣ d _{r} \cdot d _{t} ∣}{∣ d _{r} ∣ ∣ d _{t} ∣} = \frac{∣0 + 2 + 4∣}{5 \cdot 3} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5} \approx 0, 894$
$cos θ = \frac{2 5}{5}$

610 puntos

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Los vértices de un triángulo son $A (0, 12)$ , $B (- 5, 0)$ y $C (5, 0)$ . Se desea construir un rectángulo inscrito en el triángulo anterior, de lados paralelos a los ejes coordenados y dos de cuyos vértices tienen coordenadas $(- x, 0)$ , $(x, 0)$ , siendo $0 \leq x \leq 5$ . Los otros dos vértices están situados en los segmentos $A B$ y $A C$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La expresión $f (x)$ del área del rectángulo anterior.
b)El valor de $x$ para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido.
c)La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo.

Apartado a

1. El lado $A C$ va de $(0, 12)$ a $(5, 0)$ : $y = 12 (1 - \frac{x}{5}) = 12 - \frac{12}{5} x$ . El vértice superior derecho del rectángulo es $(x, 12 - \frac{12}{5} x)$ .
$base = 2 x, altura = 12 - \frac{12}{5} x$
2. Área.
$f (x) = 2 x (12 - \frac{12}{5} x) = 24 x - \frac{24}{5} x^{2}, 0 \leq x \leq 5$
$f (x) = 24 x - \frac{24}{5} x^{2}$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$f^{'} (x) = 24 - \frac{48}{5} x = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$
2. Máximo: $f^{''} = - \frac{48}{5} < 0$ (y $f (0) = f (5) = 0$ ). Dimensiones: base $2 x = 5$ , altura $12 - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{2} = 6$ .
$f (\frac{5}{2}) = 5 \cdot 6 = 30$
$x = \frac{5}{2}$ ; rectángulo de $5 \times 6$ (área $30$ )

Apartado c

1. Área del triángulo: $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ .
$\frac{a ˊ rea rect a ˊ ngulo}{a ˊ rea tri a ˊ ngulo} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$
La proporción es $\frac{1}{2}$ (el rectángulo ocupa la mitad del triángulo).