Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2019 · Ordinaria 2019

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se dan la matriz $A = 1 - 2 - 3 0 a + 1 a - 1 a 2 a$ , que depende del parámetro real $a$ , y una matriz cuadrada $B$ de orden 3 tal que $B^{2} = \frac{1}{3} I - 2 B$ , siendo $I$ la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$ y el determinante de la matriz $2 A^{- 1}$ cuando $a = 1$ .
b)Todas las soluciones del sistema de ecuaciones $A x y z = - 1 20$ cuando $a = - 1$ .
c)La comprobación de que $B$ es invertible, encontrando $m$ y $n$ tales que $B^{- 1} = m B + n I$ .

Apartado a

1. Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la primera fila.
$∣ A ∣ = 1 \cdot [(a + 1) a - 2 (a - 1)] + a [(- 2) (a - 1) - (a + 1) (- 3)] = 2 (a + 1)^{2}$
$∣ A ∣ = 2 (a + 1)^{2}$
2. El determinante solo se anula si $a = - 1$ . Para $a \neq = - 1$ el rango es 3.
$a \neq = - 1 \Rightarrow rg A = 3$
3. Para $a = - 1$ la matriz es $1 - 2 - 3 00 - 2 - 1 2 - 1$ : la fila 2 es $- 2$ por la fila 1, pero hay un menor de orden 2 no nulo.
$1 - 3 0 - 2 = - 2 \neq = 0 \Rightarrow rg A = 2$
Rango 3 si $a \neq = - 1$ ; rango 2 si $a = - 1$ .
4. Para $a = 1$ : $∣ A ∣ = 2 \cdot 4 = 8$ . En una matriz $3 \times 3$ , $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ y $∣ M^{- 1} ∣ = 1/∣ M ∣$ .
$∣2 A^{- 1} ∣ = 2^{3} \cdot \frac{1}{∣ A ∣} = \frac{8}{1} = 1$
$∣2 A^{- 1} ∣ = 1$

Apartado b

1. Con $a = - 1$ el sistema es $x - z = - 1$ , $- 2 x + 2 z = 2$ , $- 3 x - 2 y - z = 0$ . La segunda ecuación es la primera multiplicada por $- 2$ , así que sobra: rango de la matriz de coeficientes y de la ampliada es 2 (menor $- 2 \neq = 0$ ) y el sistema es compatible indeterminado con 1 parámetro.
$rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$
2. Tomamos $z = λ$ . De la primera ecuación $x = λ - 1$ ; de la tercera $2 y = - 3 x - z = - 3 λ + 3 - λ$ .
$x = λ - 1, y = \frac{3 - 4 λ}{2} = \frac{3}{2} - 2 λ, z = λ$
$(x, y, z) = (λ - 1, \frac{3}{2} - 2 λ, λ), λ \in R$

Apartado c

1. Partimos de $B^{2} = \frac{1}{3} I - 2 B$ y pasamos todo al mismo miembro para sacar $B$ como factor común.
$B^{2} + 2 B = \frac{1}{3} I \Rightarrow B (B + 2 I) = \frac{1}{3} I$
2. Multiplicamos por 3: $B (3 B + 6 I) = I$ . Existe una matriz que multiplicada por $B$ da $I$ , luego $B$ es invertible y esa matriz es su inversa.
$B^{- 1} = 3 B + 6 I$
$m = 3, n = 6$

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Consideramos en el espacio las rectas $r : {x - y + 3 = 0 2 x - z + 3 = 0$ y $s : x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación del plano que contiene las rectas $r$ y $s$ .
b)La recta que pasa por $P (0, - 1, 2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$ .
c)El valor que deben tener los parámetros reales $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $π : x - 2 y + a z = b$ .

Esquema: r y s paralelas; la perpendicular por P corta a r en H(−1, 2, 1)

Apartado a

1. Pasamos $r$ a paramétricas con $x = λ$ : de $x - y + 3 = 0$ sale $y = λ + 3$ y de $2 x - z + 3 = 0$ sale $z = 2 λ + 3$ . Punto $R (0, 3, 3)$ , dirección $d_{r} = (1, 1, 2)$ .
$r : (x, y, z) = (0, 3, 3) + λ (1, 1, 2)$
2. De $s$ : $x = μ$ , $y = μ - 1$ , $z = 2 μ + 2$ . Punto $S (0, - 1, 2)$ y misma dirección $(1, 1, 2)$ : las rectas son paralelas (y distintas, porque $S$ no cumple $x - y + 3 = 0$ : $0 + 1 + 3 \neq = 0$ ).
$s : (x, y, z) = (0, - 1, 2) + μ (1, 1, 2)$
3. El plano que contiene a dos rectas paralelas lo determinan la dirección común y el vector $R S = (0, - 4, - 1)$ . Su normal es el producto vectorial.
$n = (1, 1, 2) \times (0, - 4, - 1) = (7, 1, - 4)$
4. Imponemos que pase por $R (0, 3, 3)$ : $7 \cdot 0 + 3 - 12 + D = 0 \Rightarrow D = 9$ . Comprobamos con $S$ : $- 1 - 8 + 9 = 0$ .
$π : 7 x + y - 4 z + 9 = 0$
$π : 7 x + y - 4 z + 9 = 0$

Apartado b

1. Un punto genérico de $r$ es $R_{λ} = (λ, λ + 3, 2 λ + 3)$ . El vector desde $P (0, - 1, 2)$ hasta él es $P R_{λ} = (λ, λ + 4, 2 λ + 1)$ .
$P R_{λ} = (λ, λ + 4, 2 λ + 1)$
2. La recta buscada es perpendicular a $r$ : $P R_{λ} \cdot d_{r} = 0$ .
$λ + (λ + 4) + 2 (2 λ + 1) = 6 λ + 6 = 0 \Rightarrow λ = - 1$
3. El punto de corte es $H (- 1, 2, 1)$ y la dirección de la recta es $P H = (- 1, 3, - 1)$ . Comprobación: $(- 1, 3, - 1) \cdot (1, 1, 2) = - 1 + 3 - 2 = 0$ .
$t : \frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 1}$
Recta por $P (0, - 1, 2)$ con dirección $(- 1, 3, - 1)$ , que corta a $r$ en $H (- 1, 2, 1)$ .

Apartado c

1. $s$ está contenida en $π$ si su dirección es paralela al plano (perpendicular a la normal $(1, - 2, a)$ ) y un punto de $s$ pertenece al plano.
$(1, 1, 2) \cdot (1, - 2, a) = 1 - 2 + 2 a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
2. Imponemos que $S (0, - 1, 2)$ esté en el plano: $0 - 2 (- 1) + a \cdot 2 = b$ .
$b = 2 + 2 a = 2 + 1 = 3$
$a = \frac{1}{2}, b = 3$

A.3Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 4 apartados
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Se considera la función $f (x) = x e^{- x^{2}}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función $f (x)$ .
b)La representación gráfica de la curva $y = f (x)$ .
c)El valor del parámetro $a$ para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo $[0, 1]$ a la función $g (x) = f (x) + a x$ .
d)El valor de las integrales indefinidas $\int f (x) d x$ , $\int x e^{- x} d x$ .

f(x) = x·e^(−x²): impar, extremos en x = ±1/√2

Apartado a

1. $f (x) = x e^{- x^{2}}$ está definida en todo $R$ (no hay asíntotas verticales). En $\pm \infty$ la exponencial gana al factor $x$ .
$lim_{x \to \pm \infty} x e^{- x^{2}} = 0$
2. Asíntota horizontal $y = 0$ (a ambos lados); no hay oblicuas. Derivamos con la regla del producto.
$f^{'} (x) = e^{- x^{2}} - 2 x^{2} e^{- x^{2}} = (1 - 2 x^{2}) e^{- x^{2}}$
3. $e^{- x^{2}} > 0$ , luego el signo de $f^{'}$ es el de $1 - 2 x^{2}$ , que se anula en $x = \pm \frac{1}{2}$ .
$f^{'} > 0$ en $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ; $f^{'} < 0$ en $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$
4. Mínimo relativo en $x = - \frac{1}{2}$ y máximo relativo en $x = \frac{1}{2}$ .
$f (\pm \frac{1}{2}) = \pm \frac{1}{2 e} \approx \pm 0, 429$
Asíntota $y = 0$ ; decrece en $(- \infty, - \frac{1}{2})$ y $(\frac{1}{2}, + \infty)$ , crece entre ambos; mínimo $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2 e})$ y máximo $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$ .

Apartado b

1. Es una función impar ( $f (- x) = - f (x)$ ): simétrica respecto al origen, con $f (0) = 0$ . Pasa por $(0, 0)$ , sube hasta el máximo $(\frac{1}{2}, 0, 429)$ y se acerca a $y = 0$ por arriba cuando $x \to + \infty$ ; la otra rama es su simétrica respecto al origen.
$f (- x) = - x e^{- x^{2}} = - f (x)$
Gráfica con los datos del apartado a): impar, máximo y mínimo en $x = \pm \frac{1}{2}$ y asíntota $y = 0$ .

Apartado c

1. $g (x) = f (x) + a x$ es continua en $[0, 1]$ y derivable en $(0, 1)$ para todo $a$ . Rolle exige además $g (0) = g (1)$ .
$g (0) = 0, g (1) = e^{- 1} + a$
2. Igualamos.
$e^{- 1} + a = 0 \Rightarrow a = - \frac{1}{e}$
$a = - \frac{1}{e}$ .

Apartado d

1. $\int x e^{- x^{2}} d x$ : el exponente tiene derivada $- 2 x$ , así que es casi inmediata (cambio $u = - x^{2}$ ).
$\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
2. $\int x e^{- x} d x$ se resuelve por partes: $u = x$ , $d v = e^{- x} d x$ , $v = - e^{- x}$ .
$\int x e^{- x} d x = - x e^{- x} + \int e^{- x} d x = - x e^{- x} - e^{- x} + C = - (x + 1) e^{- x} + C$
$\int f = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$ y $\int x e^{- x} d x = - (x + 1) e^{- x} + C$ .

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se da el sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 4 3 x + 4 y + 5 z = 5 7 x + 9 y + 11 z = α$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $α$ para los que el sistema es compatible y los valores de $α$ para los que el sistema es incompatible.
b)Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.
c)La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.

Apartado a

1. La matriz de coeficientes tiene $det A = 0$ : la 3ª fila es $(7, 9, 11) = (1, 1, 1) + 2 (3, 4, 5)$ . Como $1314 = 1 \neq = 0$ , $rg A = 2$ .
$F_{3} = F_{1} + 2 F_{2} \Rightarrow rg A = 2$
2. La ampliada tiene rango 2 si el término independiente cumple la misma combinación: $α = 4 + 2 \cdot 5 = 14$ . Si no, el menor $137149 45 α = α - 14 \neq = 0$ da $rg (A ∣ b) = 3$ .
$rg (A ∣ b) = 2 ⟺ α = 14$
Compatible (indeterminado) si $α = 14$ ; incompatible si $α \neq = 14$ .

Apartado b

1. Para $α = 14$ la 3ª ecuación sobra. Restamos a la 2ª tres veces la 1ª: $y + 2 z = - 7$ .
$x + y + z = 4, y + 2 z = - 7$
2. Tomamos $z = λ$ : $y = - 7 - 2 λ$ y $x = 4 - y - z = 11 + λ$ .
$(x, y, z) = (11 + λ, - 7 - 2 λ, λ), λ \in R$
Para $α = 14$ : $(11 + λ, - 7 - 2 λ, λ)$ , $λ \in R$ .

Apartado c

1. Con el coeficiente $k \neq = 11$ en lugar de 11, el determinante cambia.
$137149 15 k = k - 11 \neq = 0$
2. Con $∣ A ∣ \neq = 0$ el sistema es compatible determinado para cualquier término independiente $α$ (rangos 3 y 3).
$k \neq = 11 \Rightarrow rg A = rg (A ∣ b) = 3$
Compatible determinado para todo $α$ .

B.2Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Sea $π$ el plano de ecuación $9 x + 12 y + 20 z = 180$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $π$ que distan 4 unidades de $π$ .
b)Los puntos $A$ , $B$ y $C$ intersección del plano $π$ con los ejes $O X$ , $O Y$ y $O Z$ y el ángulo que forman los vectores $A B$ y $A C$ .
c)El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen $O$ de coordenadas y los puntos $A$ , $B$ y $C$ .

Tetraedro OABC: OA = 20, OB = 15, OC = 9

Apartado a

1. Los planos paralelos a $π$ tienen la misma normal: $9 x + 12 y + 20 z = k$ . La distancia entre $9 x + 12 y + 20 z = 180$ y $9 x + 12 y + 20 z = k$ es $\frac{∣ k - 180∣}{9 ^{2} + 1 2 ^{2} + 2 0 ^{2}}$ .
$81 + 144 + 400 = 625 = 25$
2. Imponemos distancia 4.
$\frac{∣ k - 180∣}{25} = 4 \Rightarrow k - 180 = \pm 100$
$k = 280 \overset{o}{ˊ} k = 80$
$9 x + 12 y + 20 z = 280$ y $9 x + 12 y + 20 z = 80$ .

Apartado b

1. Cortes con los ejes: se anulan dos coordenadas y se despeja la tercera.
$A (20, 0, 0), B (0, 15, 0), C (0, 0, 9)$
2. Vectores $A B = (- 20, 15, 0)$ y $A C = (- 20, 0, 9)$ .
$A B \cdot A C = 400, ∣ A B ∣ = 25, ∣ A C ∣ = 481$
3. El coseno del ángulo es el producto escalar entre el producto de módulos.
$cos α = \frac{400}{25 481} = \frac{16}{481} \approx 0, 7295 \Rightarrow α \approx 43, 1^{\circ}$
$A (20, 0, 0), B (0, 15, 0), C (0, 0, 9)$ y $α \approx 43, 1^{\circ}$

Apartado c

1. Los vectores $O A, O B, O C$ están sobre los ejes, así que el producto mixto es el producto de las longitudes: $V = \frac{1}{6} det (O A, O B, O C)$ .
$V = \frac{1}{6} 20000150009 = \frac{20 \cdot 15 \cdot 9}{6} = 450$
$V = 450 u^{3}$

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
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Las coordenadas iniciales de los móviles $A$ y $B$ son $(0, 0)$ y $(250, 0)$ , respectivamente, siendo 1 km la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos $(1, 0)$ y $(0, 1)$ . El móvil $A$ se desplaza sobre el eje $O Y$ desde su posición inicial hasta el punto $(0, \frac{375}{2})$ con velocidad de 30 km/h y, simultáneamente, el móvil $B$ se desplaza sobre el eje $O X$ desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La distancia $f (t)$ entre los móviles $A$ y $B$ durante el desplazamiento, en función del tiempo $t$ en horas desde que comenzaron a desplazarse.
b)El tiempo $T$ que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ a lo largo del trayecto.
c)Los valores de $t$ para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima.

Distancia entre los móviles: mínimo 150 km en t = 4 h

Apartado a

1. Tras $t$ horas, $A$ ha recorrido $30 t$ km por el eje $O Y$ y $B$ ha recorrido $40 t$ km hacia el origen por el eje $O X$ .
$A (t) = (0, 30 t), B (t) = (250 - 40 t, 0)$
2. La distancia es la del vector entre ambos (Pitágoras).
$f (t) = (250 - 40 t)^{2} + (30 t)^{2} = 2500 t^{2} - 20000 t + 62500 = 50 t^{2} - 8 t + 25$
$f (t) = 50 t^{2} - 8 t + 25 = 50 (t - 4)^{2} + 9$

Apartado b

1. El móvil $B$ llega al origen cuando $250 - 40 t = 0$ . En ese instante $A$ está en $(0, 30 \cdot 6, 25) = (0, 187, 5)$ .
$T = \frac{250}{40} = \frac{25}{4} = 6, 25 h$
$T = 6, 25$ h
El PDF tiene el punto final de $A$ ilegible; con $v_{A} = 30$ km/h durante $T = 6, 25$ h resulta $(0, \frac{375}{2})$ , coherente con el resto del problema.
2. Derivamos $f (t) = 50 t^{2} - 8 t + 25$ .
$f^{'} (t) = \frac{50 ( t - 4 )}{t ^{2} - 8 t + 25}$
3. El denominador es siempre positivo; el signo es el de $t - 4$ .
$f^{'} < 0$ si $0 < t < 4$ ; $f^{'} > 0$ si $4 < t < 6, 25$
Decreciente en $(0, 4)$ ; creciente en $(4, \frac{25}{4})$ .

Apartado c

1. Mínimo: la función baja hasta $t = 4$ y luego sube, así que $t = 4$ es el mínimo absoluto.
$f (4) = 509 = 150 km$
2. Máximo: en un intervalo cerrado se compara con los extremos.
$f (0) = 250 km, f (6, 25) = 50 14, 0625 = 187, 5 km$
Máximo $250$ km en $t = 0$ ; mínimo $150$ km en $t = 4$ h.
El máximo es la distancia inicial: los móviles se acercan hasta $t = 4$ y después se separan sin llegar a estar tan lejos como al principio.