Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2017 · Ordinaria 2017

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ - x + a y + 2 z = a 2 x + a y - z = 2 a x - y + 2 z = a$ , dependiente del parámetro real $a$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La solución del sistema cuando $a = 2$ .
b)Los valores del parámetro $a$ para los que el sistema es compatible y determinado.
c)El valor del parámetro $a$ para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de $a$ .

Apartado a

1. Para $a = 2$ el sistema es $- x + 2 y + 2 z = 2$ , $2 x + 2 y - z = 2$ , $2 x - y + 2 z = 2$ . Probamos $x = y = z = t$ : cada ecuación queda $3 t = 2$ .
$t = \frac{2}{3}$
2. Su determinante es $- 27 \neq = 0$ (apartado b), luego la solución es única y es la que hemos encontrado.
$- 1 22 22 - 1 2 - 1 2 = - 27$
Para $a = 2$ : $(x, y, z) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ .

Apartado b

1. Determinante de la matriz de coeficientes en función de $a$ .
$∣ A ∣ = - 1 2 a a a - 1 2 - 1 2 = - 3 (a + 1)^{2}$
2. El sistema es compatible determinado si y solo si $∣ A ∣ \neq = 0$ .
$- 3 (a + 1)^{2} \neq = 0 ⟺ a \neq = - 1$
Compatible determinado para $a \neq = - 1$ .

Apartado c

1. El único valor que anula $∣ A ∣$ es $a = - 1$ . Entonces el sistema es $- x - y + 2 z = - 1$ , $2 x - y - z = 2$ , $- x - y + 2 z = - 1$ : la 1ª y la 3ª coinciden, así que $rg A = rg (A ∣ b) = 2 < 3$ : compatible indeterminado.
$a = - 1 : rg A = rg (A ∣ b) = 2$
2. Restamos la 2ª de la 1ª: $- 3 x + 3 z = - 3$ , es decir $x = z + 1$ . En la 2ª: $2 (z + 1) - y - z = 2 \Rightarrow y = z$ .
$x = z + 1, y = z$
3. Tomamos $z = λ$ como parámetro.
$(x, y, z) = (1 + λ, λ, λ), λ \in R$
Para $a = - 1$ : $(1 + λ, λ, λ)$ , $λ \in R$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan el punto $P = (1, 1, 1)$ , la recta $r : {x + y - z + 1 = 0 x + 2 y - z - 1 = 0$ y el plano $π : x + y + z = 1$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las ecuaciones de:

a)El plano que contiene al punto $P$ y a la recta $r$ .
b)La recta $s$ que pasa por el punto $P$ y es perpendicular al plano $π$ , la distancia del punto $P$ al plano $π$ y el punto de intersección de la recta $s$ con el plano $π$ .
c)El plano $σ$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $π$ .

Apartado a

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales de sus planos. Un punto de $r$ : con $z = 0$ sale $y = 2$ , $x = - 3$ (comprobación: $- 3 + 2 + 1 = 0$ y $- 3 + 4 - 1 = 0$ ).
$d_{r} = (1, 1, - 1) \times (1, 2, - 1) = (1, 0, 1), R = (- 3, 2, 0)$
2. El plano contiene a $r$ y a $P$ : su normal es perpendicular a $d_{r}$ y a $R P = (4, - 1, 1)$ .
$n = (1, 0, 1) \times (4, - 1, 1) = (1, 3, - 1)$
3. Imponemos que pase por $P = (1, 1, 1)$ : $1 + 3 - 1 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
$x + 3 y - z - 3 = 0$
Plano: $x + 3 y - z - 3 = 0$ (contiene también a $R$ : $- 3 + 6 - 0 - 3 = 0$ ).

Apartado b

1. La recta $s$ perpendicular a $π$ por $P$ tiene como dirección la normal del plano, $(1, 1, 1)$ .
$s : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t (1, 1, 1)$
2. Distancia de $P$ a $π$ .
$d (P, π) = \frac{∣1 + 1 + 1 - 1∣}{3} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}$
3. Intersección de $s$ con $π$ : sustituimos $(1 + t, 1 + t, 1 + t)$ en $x + y + z = 1$ .
$3 + 3 t = 1 \Rightarrow t = - \frac{2}{3} \Rightarrow (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$
$s : (1, 1, 1) + t (1, 1, 1)$ ; $d (P, π) = \frac{2 3}{3}$ ; punto de corte $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ .

Apartado c

1. $σ$ contiene a $r$ y es perpendicular a $π$ : su normal es perpendicular a $d_{r}$ y a $n_{π} = (1, 1, 1)$ .
$n_{σ} = (1, 0, 1) \times (1, 1, 1) = (- 1, 0, 1)$
2. Pasa por $R = (- 3, 2, 0)$ : $- x + z + D = 0 \Rightarrow 3 + D = 0 \Rightarrow D = - 3$ .
$- x + z - 3 = 0 ⟺ x - z + 3 = 0$
$σ : x - z + 3 = 0$ .

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se desea unir un punto $M$ situado en un lado de una calle, de 6 m de anchura, con el punto $N$ situado en el otro lado de la calle, 18 m más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde $M$ hasta un punto $P$ , situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto $P$ hasta el punto $N$ . Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que $M = (0, 6)$ , $P = (x, 0)$ y $N = (18, 0)$ . El cable $M P$ tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable $P N$ es de 5 €/m. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El costo total $C$ de los dos cables en función de la abscisa $x$ del punto $P$ , cuando $0 \leq x \leq 18$ .
b)El valor de $x$ , con $0 \leq x \leq 18$ , para el que el costo total $C$ es mínimo.
c)El valor de dicho costo total mínimo.

Cable grueso MP (10 €/m) y cable PN (5 €/m)

Apartado a

1. $M = (0, 6)$ y $P = (x, 0)$ : el cable $M P$ cruza la calle en diagonal, con longitud $x^{2} + 6^{2}$ . El cable $P N$ va por la acera de $P = (x, 0)$ a $N = (18, 0)$ , longitud $18 - x$ .
$∣ M P ∣ = x^{2} + 36, ∣ P N ∣ = 18 - x$
2. Precio: 10 €/m el cable $M P$ y 5 €/m el $P N$ .
$C (x) = 10 x^{2} + 36 + 5 (18 - x), 0 \leq x \leq 18$
$C (x) = 10 x^{2} + 36 + 5 (18 - x)$

Apartado b

1. Derivamos.
$C^{'} (x) = \frac{10 x}{x ^{2} + 36} - 5$
2. Igualamos a cero: $2 x = x^{2} + 36$ . Elevamos al cuadrado (con $x \geq 0$ ): $4 x^{2} = x^{2} + 36 \Rightarrow x^{2} = 12$ .
$x = 23 \approx 3, 46 m$
3. Es un mínimo: $C^{'} < 0$ si $0 \leq x < 23$ y $C^{'} > 0$ si $x > 23$ (o $C^{''} (x) = \frac{360}{( x ^{2} + 36 ) ^{3/2}} > 0$ ). También es menor que en los extremos: $C (0) = 150$ y $C (18) \approx 189, 7$ .
$x = 23 \approx 3, 46$ m
$P = (23, 0)$

Apartado c

1. Sustituimos $x = 23$ : $x^{2} + 36 = 48 = 43$ .
$C (23) = 10 \cdot 43 + 5 (18 - 23) = 403 + 90 - 103 = 90 + 303$
$C_{m i n} = 90 + 303 \approx 141, 96 €$

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La comprobación de que $C^{2} = 2 C - I$ , siendo $C = 52 - 4 - 4 - 1 4 21 - 1$ e $I$ la matriz identidad de orden $3 \times 3$ , y el cálculo de la matriz $C^{4}$ .
b)El valor del determinante de la matriz $(3 A^{4}) (4 A^{2})^{- 1}$ , sabiendo que $A$ es una matriz cuadrada de cuatro columnas cuyo determinante vale $- 1$ .
c)La matriz $B$ que admite inversa y que verifica la igualdad $B B = B$ .

Apartado a

1. Calculamos $C^{2}$ y $2 C - I$ y comparamos.
$C^{2} = 94 - 8 - 8 - 3 8 42 - 3 = 2 C - I = 94 - 8 - 8 - 3 8 42 - 3$
Se cumple $C^{2} = 2 C - I$ .
2. Elevamos al cuadrado la relación para obtener $C^{4}$ (las matrices $C$ e $I$ conmutan).
$C^{4} = (2 C - I)^{2} = 4 C^{2} - 4 C + I$
3. Sustituimos otra vez $C^{2} = 2 C - I$ .
$C^{4} = 4 (2 C - I) - 4 C + I = 4 C - 3 I = 178 - 16 - 16 - 7 16 84 - 7$
$C^{4} = 4 C - 3 I$

Apartado b

1. $A$ tiene 4 columnas, es de orden 4: $∣ k M ∣ = k^{4} ∣ M ∣$ y $∣ M^{n} ∣ = ∣ M ∣^{n}$ . Con $∣ A ∣ = - 1$ : $∣3 A^{4} ∣ = 3^{4} ∣ A ∣^{4} = 81$ y $∣4 A^{2} ∣ = 4^{4} ∣ A ∣^{2} = 256$ .
$∣3 A^{4} ∣ = 81, ∣4 A^{2} ∣ = 256$
2. El determinante de la inversa es el inverso del determinante.
$(3 A^{4}) (4 A^{2})^{- 1} = \frac{∣3 A ^{4} ∣}{∣4 A ^{2} ∣} = \frac{81}{256}$
$det ((3 A^{4}) (4 A^{2})^{- 1}) = \frac{81}{256}$

Apartado c

1. Como $B$ tiene inversa, multiplicamos $B \cdot B = B$ por $B^{- 1}$ por la izquierda.
$B^{- 1} B B = B^{- 1} B \Rightarrow B = I$
$B = I$
La única matriz invertible que cumple $B^{2} = B$ es la identidad.

B.2Opción B10 puntos

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Sea $T$ un tetraedro de vértices $O = (0, 0, 0)$ , $A = (1, 1, 1)$ , $B = (3, 0, 0)$ y $C = (0, 3, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación del plano $π$ que contiene a los puntos $A$ , $B$ y $C$ , y las ecuaciones de la recta $O h$ perpendicular a $π$ que pasa por $O$ .
b)El punto de intersección de la altura $O h$ y el plano $π$ .
c)El área de la cara cuyos vértices son los puntos $A$ , $B$ y $C$ , y el volumen del tetraedro $T$ .

Tetraedro OABC: la altura Oh llega al vértice A (1, 1, 1)

Apartado a

1. Vectores del plano $A B C$ : $A B = (2, - 1, - 1)$ y $A C = (- 1, 2, - 1)$ . Normal por el producto vectorial.
$A B \times A C = (3, 3, 3) ∥ (1, 1, 1)$
2. Plano $x + y + z + D = 0$ por $A (1, 1, 1)$ : $D = - 3$ . Comprobación con $B$ y $C$ : $3 + 0 + 0 - 3 = 0$ y $0 + 3 + 0 - 3 = 0$ .
$π : x + y + z = 3$
3. La altura $O h$ es perpendicular a $π$ y pasa por $O$ : dirección $(1, 1, 1)$ .
$O h : x = y = z$ (es decir $(x, y, z) = λ (1, 1, 1)$ )
$π : x + y + z = 3$ ; $O h : x = y = z$ .

Apartado b

1. Sustituimos $(λ, λ, λ)$ en $π$ .
$3 λ = 3 \Rightarrow λ = 1$
El punto de intersección es $H (1, 1, 1)$ .
Coincide con el vértice $A$ : la arista $O A$ es perpendicular a la cara $A B C$ (altura del tetraedro $= ∣ O A ∣ = 3$ ).

Apartado c

1. Área de la cara $A B C$ : mitad del módulo del producto vectorial.
$\overset{ˊ}{A} rea = \frac{1}{2} ∣ (3, 3, 3) ∣ = \frac{3 3}{2} \approx 2, 60$
2. Volumen con el producto mixto de $O A, O B, O C$ (o base por altura: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 3}{2} \cdot 3$ ).
$V = \frac{1}{6} 130103100 = \frac{1}{6} \cdot 9 = \frac{3}{2}$
Área $= \frac{3 3}{2} u^{2}$ y $V = \frac{3}{2} u^{3}$ .

B.3Opción B10 puntos

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Dada la función $f$ definida por $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ , para cualquier valor real $x \neq = 0$ , se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ , y los extremos relativos de la función $f$ .
b)Las asíntotas de la curva $y = f (x)$ .
c)El área de la región plana limitada por la curva $y = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ , $1 \leq x \leq e$ , el segmento que une los puntos $(1, 0)$ y $(e, 0)$ , y las rectas $x = 1$ y $x = e$ .

f(x) = (x² + 1)/x: asíntotas x = 0 e y = x, área entre 1 y e

Apartado a

1. Reescribimos $f (x) = x + \frac{1}{x}$ (dominio $R ∖ {0}$ ) y derivamos.
$f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$
2. $f^{'} = 0$ si $x = \pm 1$ . El denominador $x^{2}$ es siempre positivo, así que el signo es el de $x^{2} - 1$ .
$f^{'} > 0$ en $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ ; $f^{'} < 0$ en $(- 1, 0) \cup (0, 1)$
3. Máximo relativo en $x = - 1$ (pasa de crecer a decrecer) y mínimo relativo en $x = 1$ .
$f (- 1) = - 2, f (1) = 2$
Crece en $(- \infty, - 1)$ y $(1, + \infty)$ ; decrece en $(- 1, 0)$ y $(0, 1)$ . Máximo relativo $(- 1, - 2)$ y mínimo relativo $(1, 2)$ .

Apartado b

1. Asíntota vertical en $x = 0$ , donde se anula el denominador y el numerador vale 1.
$lim_{x \to 0^{+}} f = + \infty, lim_{x \to 0^{-}} f = - \infty$
2. No hay asíntota horizontal ( $f \to \pm \infty$ ), pero $f (x) - x = \frac{1}{x} \to 0$ : asíntota oblicua $y = x$ .
$m = lim \frac{f ( x )}{x} = 1, n = lim (f (x) - x) = 0$
Asíntotas: vertical $x = 0$ y oblicua $y = x$ .

Apartado c

1. En $[1, e]$ la función es positiva, así que el área es la integral.
$A = \int_{1}^{e} (x + \frac{1}{x}) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + ln x]_{1}^{e}$
2. Evaluamos en los extremos.
$A = (\frac{e ^{2}}{2} + 1) - \frac{1}{2} = \frac{e ^{2} + 1}{2} \approx 4, 19$
Área $= \frac{e ^{2} + 1}{2} \approx 4, 19 u^{2}$ .