Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2017 · Extraordinaria 2017

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $A^{2} = - A - I$ y $2 B^{3} = B$ , siendo $I = 100010001$ la matriz identidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La justificación de que la matriz $A$ es invertible y el cálculo de la matriz $A^{3}$ en función de $A$ y de $I$ .
b)Los valores posibles del determinante de $B$ .
c)El valor del determinante de la matriz $B^{2}$ , sabiendo que la matriz $B$ tiene inversa.

Apartado a

1. Pasamos todo al mismo miembro y sacamos $A$ factor común: $A^{2} + A = - I$ , es decir $A (A + I) = - I$ .
$A \cdot (- (A + I)) = I$
2. Existe una matriz que multiplicada por $A$ da $I$ : $A$ es invertible y su inversa es $- (A + I)$ .
$A^{- 1} = - A - I$
3. $A^{3} = A \cdot A^{2}$ y sustituimos $A^{2} = - A - I$ ; después usamos otra vez $A^{2} = - A - I$ .
$A^{3} = A (- A - I) = - A^{2} - A = - (- A - I) - A = I$
$A$ es invertible ( $A^{- 1} = - A - I$ ) y $A^{3} = I$ (como combinación de $A$ e $I$ : $A^{3} = 0 \cdot A + 1 \cdot I$ ).

Apartado b

1. Tomamos determinantes en $2 B^{3} = B$ con matrices de orden 3: $∣2 B^{3} ∣ = 2^{3} ∣ B ∣^{3} = 8∣ B ∣^{3}$ .
$8∣ B ∣^{3} = ∣ B ∣ ⟺ ∣ B ∣ (8∣ B ∣^{2} - 1) = 0$
2. Las soluciones son $∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$ .
$∣ B ∣ \in {0, \frac{2}{4}, - \frac{2}{4}}$
$∣ B ∣ = 0$ o $∣ B ∣ = \pm \frac{1}{2 2} = \pm \frac{2}{4}$ .

Apartado c

1. Si $B$ tiene inversa, multiplicamos $2 B^{3} = B$ por $B^{- 1}$ : $2 B^{2} = I$ , es decir $B^{2} = \frac{1}{2} I$ .
$∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{2} I = (\frac{1}{2})^{3}$
2. Comprobación con el apartado b): $∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$ .
$∣ B^{2} ∣ = ∣ B ∣^{2} = \frac{1}{8}$
$∣ B^{2} ∣ = \frac{1}{8}$ .

A.2Opción A10 puntos

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Se dan la recta $r : {x - 2 y - 2 z = 1 x + 3 y - z = 1$ y el plano $π : 2 x + y + m z = n$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ y el plano $π$ se cortan en un punto.
b)Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ y el plano $π$ no se cortan.
c)Los valores de $m$ y $n$ para los que la recta $r$ está contenida en el plano $π$ .

Apartado a

1. Dirección de $r$ : producto vectorial de las normales. Un punto de $r$ : con $z = 0$ , $x - 2 y = 1$ y $x + 3 y = 1$ dan $y = 0$ , $x = 1$ .
$d_{r} = (1, - 2, - 2) \times (1, 3, - 1) = (8, - 1, 5), R = (1, 0, 0)$
2. La recta corta al plano en un punto si no es paralela, es decir, si $d_{r} \cdot n_{π} \neq = 0$ con $n_{π} = (2, 1, m)$ .
$d_{r} \cdot n_{π} = 16 - 1 + 5 m = 15 + 5 m \neq = 0 ⟺ m \neq = - 3$
Se cortan en un punto para $m \neq = - 3$ y cualquier $n$ .

Apartado b

1. Para $m = - 3$ la recta es paralela al plano ( $d_{r} \cdot n_{π} = 0$ ). No se cortan si además $R \in / π$ : $2 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot 0 = 2 \neq = n$ .
$m = - 3, n \neq = 2$
No se cortan para $m = - 3$ y $n \neq = 2$ .

Apartado c

1. Con $m = - 3$ la recta está contenida en el plano si $R \in π$ , es decir, $n = 2$ .
$m = - 3, n = 2$
$r \subset π$ para $m = - 3$ y $n = 2$ .

A.3Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se consideran las curvas $y = x^{3}$ , $y = a x$ y la función $f (x) = x^{3} - a x$ , siendo $a$ un parámetro real y $a > 0$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los puntos de corte de la curva $y = f (x)$ con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ .
b)La gráfica de la función $f$ cuando $a = 9$ .
c)Calcular, en función del parámetro $a$ , el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas $y = x^{3}$ e $y = a x$ , cuando $a > 1$ .
d)El valor del parámetro $a$ para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la curva $y = x^{3}$ , el eje OX y las rectas $x = 0$ y $x = 2$ .

y = x³ − 9x: cortes −3, 0 y 3; extremos en x = ±√3

Para a = 4: área entre y = 4x e y = x³ en el primer cuadrante (= 4)

Apartado a

1. Cortes con $O X$ : $x^{3} - a x = x (x^{2} - a) = 0$ . Con $O Y$ : $f (0) = 0$ .
$(0, 0), (a, 0), (- a, 0)$
2. Derivada: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - a = 0 \Rightarrow x = \pm a /3$ . Es una parábola hacia arriba: positiva fuera de las raíces.
$f^{'} > 0$ si $∣ x ∣ > a /3$ ; $f^{'} < 0$ si $∣ x ∣ < a /3$
Crece en $(- \infty, - a /3)$ y $(a /3, + \infty)$ ; decrece en $(- a /3, a /3)$ .

Apartado b

1. Con $a = 9$ : $f (x) = x^{3} - 9 x$ . Cortes: $0, \pm 3$ . Extremos en $x = \pm 3$ .
$f (- 3) = 63 \approx 10, 4 (m \overset{a}{ˊ} x.), f (3) = - 63 (m \overset{ı}{ˊ} n.)$
2. La función es impar (simétrica respecto al origen). Dibujo: baja desde $- \infty$ , pasa por $(- 3, 0)$ , sube al máximo, cruza el origen, baja al mínimo, pasa por $(3, 0)$ y sube.
Ver la gráfica adjunta.

Apartado c

1. Las curvas $y = x^{3}$ e $y = a x$ se cortan en $x = 0$ y $x = a$ en el primer cuadrante; entre ambas la recta está por encima de la cúbica (si $a > 1$ es el tramo $0 < x < a$ ).
$A = \int_{0}^{a} (a x - x^{3}) d x = [\frac{a x ^{2}}{2} - \frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{a} = \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}$
$A (a) = \frac{a ^{2}}{4}$

Apartado d

1. El área bajo $y = x^{3}$ entre $x = 0$ y $x = 2$ .
$\int_{0}^{2} x^{3} d x = [\frac{x ^{4}}{4}]_{0}^{2} = 4$
2. Igualamos con el apartado c.
$\frac{a ^{2}}{4} = 4 \Rightarrow a^{2} = 16 \Rightarrow a = 4$ (con $a > 0$ ; cumple $a > 1$ )
$a = 4$

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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4 resultados comprobados en 3 apartados
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Se consideran las matrices $A = 001010 - 1 00$ e $I = 100010001$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La justificación de que $A$ tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa $A^{- 1}$ .
b)La justificación de que $A^{4} = I$ .
c)El cálculo de las matrices $A^{7}$ , $A^{30}$ y $A^{100}$ .

Apartado a

1. Determinante (desarrollo por la primera fila).
$∣ A ∣ = 0 - 0 + (- 1) 0110 = (- 1) (- 1) = 1 \neq = 0$
$A$ tiene inversa.
2. Inversa por adjuntos: $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Adj A)^{t}$ . Calculados los adjuntos resulta (es la traspuesta, porque $A$ es una rotación):
$A^{- 1} = 00 - 1 010100$
$A^{- 1} = 00 - 1 010100$
Comprobación: $A A^{- 1} = I$ .

Apartado b

1. Calculamos $A^{2}$ .
$A^{2} = 001010 - 1 00^{2} = - 1 00 010 00 - 1$
2. Elevamos al cuadrado.
$A^{4} = (A^{2})^{2} = 100010001 = I$
$A^{4} = I$

Apartado c

1. Como $A^{4} = I$ , las potencias se repiten con período 4: $A^{n} = A^{r}$ donde $r$ es el resto de dividir $n$ entre 4.
$7 = 4 \cdot 1 + 3, 30 = 4 \cdot 7 + 2, 100 = 4 \cdot 25 + 0$
2. Aplicamos el período.
$A^{7} = A^{3} = A^{- 1} = 00 - 1 010100, A^{30} = A^{2} = - 1 00 010 00 - 1, A^{100} = I$
Ver arriba.
$A^{3} = A^{- 1}$ porque $A^{4} = I$ .

B.2Opción B10 puntos

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se dan la recta $r : \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{- 1}$ y el plano $π : 2 x - y + b z = 0$ , siendo $a$ y $b$ dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El punto de intersección de la recta $r$ y el plano $π$ cuando $a = - b = 1$ .
b)La distancia entre la recta $r$ y el plano $π$ cuando $a = b = 4$ .
c)La posición relativa de la recta $r$ y del plano $π$ en función de los valores de los parámetros $a$ y $b$ .

Apartado a

1. Ecuaciones paramétricas de $r$ : $x = 1 + 4 t$ , $y = a t$ , $z = 1 - t$ . Con $a = 1$ , $b = - 1$ el plano es $2 x - y - z = 0$ .
$2 (1 + 4 t) - t - (1 - t) = 0 \Rightarrow 1 + 8 t = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{8}$
2. Sustituimos $t = - \frac{1}{8}$ en la recta.
$(1 - \frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, 1 + \frac{1}{8}) = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$
Punto de intersección: $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{8}, \frac{9}{8})$ .

Apartado b

1. Con $a = b = 4$ : $d_{r} = (4, 4, - 1)$ y $n_{π} = (2, - 1, 4)$ . Su producto escalar es $8 - 4 - 4 = 0$ : la recta es paralela al plano.
$d_{r} \cdot n_{π} = 0$
2. Como son paralelos, la distancia es la de un punto de $r$ , $(1, 0, 1)$ , al plano $2 x - y + 4 z = 0$ .
$d (r, π) = \frac{∣2 \cdot 1 - 0 + 4 \cdot 1∣}{4 + 1 + 16} = \frac{6}{21} = \frac{2 21}{7} \approx 1, 31$
$d (r, π) = \frac{2 21}{7} \approx 1, 31$ u.

Apartado c

1. Producto escalar de la dirección y la normal: $d_{r} \cdot n_{π} = (4, a, - 1) \cdot (2, - 1, b) = 8 - a - b$ .
$8 - a - b \neq = 0 ⟺ a + b \neq = 8$
2. Si $a + b \neq = 8$ , la recta corta al plano en un punto (secantes). Si $a + b = 8$ , es paralela: contenida en $π$ si $(1, 0, 1) \in π$ , es decir $2 + b = 0$ .
$a + b = 8$ y $b = - 2$ (entonces $a = 10$ ): $r \subset π$
Secantes si $a + b \neq = 8$ ; contenida si $a = 10$ y $b = - 2$ ; paralela sin cortar si $a + b = 8$ y $b \neq = - 2$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se considera el triángulo $T$ de vértices $O = (0, 0)$ , $A = (x, y)$ y $B = (0, y)$ , siendo $x > 0$ , $y > 0$ y tal que la suma de las longitudes de los lados $O A$ y $A B$ es 30 metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El área del triángulo $T$ en función de $x$ .
b)El valor de $x$ para el que dicha área es máxima.
c)El valor de dicha área máxima.

Triángulo OAB: catetos AB = x y OB = y; OA + AB = 30

Apartado a

1. El triángulo $O A B$ tiene el ángulo recto en $B$ (catetos $O B = y$ y $A B = x$ ) e hipotenusa $O A = x^{2} + y^{2}$ . La condición es $O A + A B = 30$ .
$x^{2} + y^{2} + x = 30 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = (30 - x)^{2} \Rightarrow y^{2} = 900 - 60 x$
2. Luego $y = 900 - 60 x$ (con $0 < x < 15$ ). Área $= \frac{1}{2} x y$ .
$S (x) = \frac{x 900 - 60 x}{2}, 0 < x < 15$
$S (x) = \frac{x 900 - 60 x}{2}$

Apartado b

1. $S$ y $S^{2}$ tienen el máximo en el mismo punto. Maximizamos $S^{2} = \frac{x ^{2} ( 900 - 60 x )}{4}$ , o derivamos $S$ directamente.
$S^{'} (x) = \frac{1}{2} [900 - 60 x - \frac{30 x}{900 - 60 x}] = \frac{900 - 60 x - 30 x}{2 900 - 60 x} = \frac{900 - 90 x}{2 900 - 60 x}$
2. $S^{'} (x) = 0 ⟺ 900 - 90 x = 0$ . El signo de $S^{'}$ es el de $900 - 90 x$ : positivo si $x < 10$ , negativo si $x > 10$ : máximo (y en los extremos $S (0) = S (15) = 0$ ).
$x = 10 m$
$x = 10$ m

Apartado c

1. Con $x = 10$ : $y = 900 - 600 = 300 = 103$ .
$S_{m a x} = \frac{10 \cdot 10 3}{2} = 503$
$S_{m a x} = 503 \approx 86, 6 m^{2}$