Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2016 · Extraordinaria 2016

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se da el sistema $⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = 2 - 3 x + 2 y + 3 z = - 2 2 x + α y - 5 z = - 4$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La solución del sistema cuando $α = 0$ .
b)El valor del parámetro $α$ para el que el sistema es incompatible.
c)Los valores del parámetro $α$ para los que el sistema es compatible y determinado (2 puntos) y obtener la solución del sistema en función del parámetro $α$ (2 puntos).

Apartado a

1. Con $α = 0$ el sistema es $x + y + 2 z = 2$ , $- 3 x + 2 y + 3 z = - 2$ , $2 x - 5 z = - 4$ . De la 3ª: $x = \frac{5 z - 4}{2}$ .
$x = \frac{5 z - 4}{2}$
2. Sustituimos en las otras dos y despejamos $y$ en la 1ª: $y = 2 - 2 z - x$ .
$- 3 \cdot \frac{5 z - 4}{2} + 2 (2 - 2 z - x) + 3 z = - 2 \Rightarrow \dots z = \frac{32}{27}$
3. Con $z = \frac{32}{27}$ obtenemos $x$ e $y$ .
$x = \frac{5 \cdot 32/27 - 4}{2} = \frac{26}{27}, y = 2 - \frac{64}{27} - \frac{26}{27} = - \frac{4}{3}$
Para $α = 0$ : $(x, y, z) = (\frac{26}{27}, - \frac{4}{3}, \frac{32}{27})$ .

Apartado b

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$∣ A ∣ = 1 - 3 2 12 α 23 - 5 = - 9 (α + 3)$
2. Se anula solo para $α = - 3$ . Entonces $rg A = 2$ (hay un menor $1 - 3 12 = 5 \neq = 0$ ) y el menor de la ampliada $1 - 3 2 12 - 3 2 - 2 - 4 \neq = 0$ da $rg (A ∣ b) = 3$ .
$α = - 3 : rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ b)$
Incompatible para $α = - 3$ .

Apartado c

1. Si $α \neq = - 3$ , $∣ A ∣ \neq = 0$ : compatible determinado. Aplicamos Cramer.
$x = \frac{2 - 2 - 4 1 2 α 2 3 - 5}{- 9 ( α + 3 )}, y = \frac{1 - 3 2 2 - 2 - 4 2 3 - 5}{- 9 ( α + 3 )}, z = \frac{1 - 3 2 1 2 α 2 - 2 - 4}{- 9 ( α + 3 )}$
2. Calculamos los tres numeradores: $- 2 (5 α + 13)$ , $36$ y $- 4 (α + 8)$ .
$x = \frac{2 ( 5 α + 13 )}{9 ( α + 3 )}, y = \frac{- 4}{α + 3}, z = \frac{4 ( α + 8 )}{9 ( α + 3 )}$
Para $α \neq = - 3$ : $x = \frac{2 ( 5 α + 13 )}{9 ( α + 3 )}$ , $y = - \frac{4}{α + 3}$ , $z = \frac{4 ( α + 8 )}{9 ( α + 3 )}$ .

A.2Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se dan los puntos $A = (0, 0, 1)$ , $B = (1, 0, - 1)$ , $C = (0, 1, - 2)$ y $D = (1, 2, 0)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación del plano $π$ que contiene a los puntos $A$ , $B$ y $C$ .
b)La justificación de que los cuatro puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ no son coplanarios.
c)La distancia del punto $D$ al plano $π$ (2 puntos) y el volumen del tetraedro cuyos vértices son $A$ , $B$ , $C$ y $D$ (3 puntos).

Apartado a

1. $A B = (1, 0, - 2)$ y $A C = (0, 1, - 3)$ . Normal:
$n = A B \times A C = (2, 3, 1)$
2. Plano $2 x + 3 y + z + D = 0$ por $A (0, 0, 1)$ : $D = - 1$ . Comprobación con $B$ : $2 + 0 - 1 - 1 = 0$ , y con $C$ : $0 + 3 - 2 - 1 = 0$ .
$π : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$
$π : 2 x + 3 y + z - 1 = 0$

Apartado b

1. Sustituimos $D (1, 2, 0)$ en la ecuación del plano.
$2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 0 - 1 = 7 \neq = 0$
2. $D$ no cumple la ecuación, luego no pertenece a $π$ : los cuatro puntos no son coplanarios (equivalentemente $det (A B, A C, A D) \neq = 0$ ).
$A, B, C, D$ no son coplanarios.

Apartado c

1. Distancia del punto $D$ al plano $π$ .
$d (D, π) = \frac{∣2 + 6 + 0 - 1∣}{4 + 9 + 1} = \frac{7}{14} = \frac{14}{2} \approx 1, 87$
2. Volumen con el producto mixto de $A B, A C, A D = (1, 2, - 1)$ .
$V = \frac{1}{6} 101012 - 2 - 3 - 1 = \frac{7}{6}$
$V = \frac{7}{6} u^{3}$
Comprobación con base y altura: área de $A B C$ $= \frac{14}{2}$ y $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{14}{2} \cdot \frac{14}{2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$ .

A.3Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 4 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se da la función $f$ definida por $f (x) = x^{2} + ∣ x ∣$ , donde $x$ es un número real cualquiera y $∣ x ∣$ representa al valor absoluto de $x$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El punto o puntos donde la gráfica de la función $f$ corta a los ejes de coordenadas.
b)La justificación de que la curva $y = f (x)$ es simétrica respecto al eje de ordenadas.
c)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ (2 puntos) y el extremo relativo de la función $f$ , justificando si es máximo o mínimo relativo (1 punto).
d)La representación gráfica de dicha curva $y = f (x)$ .
e)Las integrales definidas $\int_{- 1}^{0} f (x) d x$ y $\int_{0}^{2} f (x) d x$ (1.5 + 1.5 puntos).

y = x² + |x|: simétrica, mínimo en el origen

Apartado a

1. Con $O Y$ : $f (0) = 0$ . Con $O X$ : $x^{2} + ∣ x ∣ = 0$ es suma de dos términos no negativos, que solo es 0 si ambos son 0.
$x^{2} = 0 y ∣ x ∣ = 0 \Rightarrow x = 0$
El único punto de corte es el origen $(0, 0)$ .

Apartado b

1. Es simétrica respecto al eje $O Y$ si $f (- x) = f (x)$ (función par).
$f (- x) = (- x)^{2} + ∣ - x ∣ = x^{2} + ∣ x ∣ = f (x)$
$f$ es par: su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas.

Apartado c

1. Escribimos $f$ por trozos.
$f (x) = {x^{2} - x, x^{2} + x, x < 0 x \geq 0, f^{'} (x) = {2 x - 1 < 0, 2 x + 1 > 0, x < 0 x > 0$
2. Decrece hasta 0 y crece desde 0. En $x = 0$ hay un punto anguloso (derivadas laterales $- 1$ y $+ 1$ ), pero allí el valor $f (0) = 0$ es el menor de todos.
Decrece en $(- \infty, 0)$ y crece en $(0, + \infty)$ .
Mínimo relativo (y absoluto) en $(0, 0)$ .

Apartado d

1. Tabla de valores: $f (\pm 1) = 2$ , $f (\pm 2) = 6$ , $f (\pm \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ . Es una «V» redondeada con vértice en el origen, simétrica y con punta (no derivable) en $x = 0$ .
Ver la gráfica adjunta.

Apartado e

1. En $[- 1, 0]$ es $f (x) = x^{2} - x$ (porque $∣ x ∣ = - x$ ).
$\int_{- 1}^{0} (x^{2} - x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2}]_{- 1}^{0} = 0 - (- \frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{5}{6}$
2. En $[0, 2]$ es $f (x) = x^{2} + x$ .
$\int_{0}^{2} (x^{2} + x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2} = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$
$\int_{- 1}^{0} f = \frac{5}{6}, \int_{0}^{2} f = \frac{14}{3}$

B.1Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se dan las matrices $A = 110121 - 1 11$ , $B = 021110 - 1 2 - 1$ e $I = 100010001$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El determinante de las matrices $A \cdot (2 B^{2})$ (1.5 puntos) y $A \cdot (2 B^{2}) \cdot (3 A)^{- 1}$ (1.5 puntos).
b)Las matrices $A^{- 1}$ (2 puntos) y $((B \cdot A)^{- 1} \cdot B)^{- 1}$ (2 puntos).
c)La solución de la ecuación matricial $A \cdot X + B \cdot X = 3 I$ .

Apartado a

1. Calculamos $∣ A ∣$ y $∣ B ∣$ (Sarrus).
$∣ A ∣ = - 1, ∣ B ∣ = 5$
2. Propiedades: $∣ M N ∣ = ∣ M ∣∣ N ∣$ y $∣ k M ∣ = k^{3} ∣ M ∣$ en orden 3. $∣ A \cdot (2 B^{2}) ∣ = ∣ A ∣ \cdot 2^{3} ∣ B ∣^{2}$ .
$∣ A \cdot (2 B^{2}) ∣ = (- 1) \cdot 8 \cdot 25 = - 200$
3. Para el segundo: $∣ (3 A)^{- 1} ∣ = \frac{1}{3 ^{3} ∣ A ∣} = \frac{1}{27 \cdot ( - 1 )}$ .
$∣ A \cdot (2 B^{2}) \cdot (3 A)^{- 1} ∣ = (- 200) \cdot \frac{1}{- 27} = \frac{200}{27}$
$- 200$ y $\frac{200}{27}$ .

Apartado b

1. Como $∣ A ∣ = - 1 \neq = 0$ , existe $A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} Adj (A)^{t}$ .
$A^{- 1} = - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 3 2 - 1$
2. Para el segundo no hace falta calcular: $((B A)^{- 1} B)^{- 1} = B^{- 1} ((B A)^{- 1})^{- 1} = B^{- 1} (B A) = A$ .
$((B \cdot A)^{- 1} \cdot B)^{- 1} = A = 110121 - 1 11$
$A^{- 1}$ como arriba y $((B A)^{- 1} B)^{- 1} = A$ .

Apartado c

1. Sacamos factor común $X$ por la derecha: $(A + B) X = 3 I$ . $A + B = 131231 - 2 30$ tiene $∣ A + B ∣ = 3 \neq = 0$ .
$X = 3 (A + B)^{- 1}$
2. Calculamos la inversa de $A + B$ y multiplicamos por 3.
$X = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3$
$X = - 3 30 - 2 21 12 - 9 - 3$ .

B.2Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se dan los planos $π : x + y + z = 1$ y $σ : a x + b y + z = 0$ , donde $a$ y $b$ son dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $a$ y $b$ para los que el plano $σ$ pasa por el punto $(1, 2, 3)$ y, además, dicho plano $σ$ es perpendicular al plano $π$ .
b)Los valores de $a$ y $b$ para los cuales sucede que el plano $σ$ pasa por el punto $(0, 1, 1)$ y la distancia del punto $(1, 0, 1)$ al plano $σ$ es $1$ .
c)Los valores de $a$ y $b$ para los que la intersección de los planos $π$ y $σ$ es la recta $r$ para la que el vector $(3, 2, - 5)$ es un vector director de dicha recta $r$ (3 puntos) y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta $r$ (1 punto).

Apartado a

1. $σ$ pasa por $(1, 2, 3)$ : $a + 2 b + 3 = 0$ . Es perpendicular a $π$ si sus normales $(a, b, 1)$ y $(1, 1, 1)$ son ortogonales: $a + b + 1 = 0$ .
$a + 2 b = - 3, a + b = - 1$
2. Restando: $b = - 2$ y $a = 1$ .
$a = 1, b = - 2$
$a = 1, b = - 2$
Comprobación: $σ : x - 2 y + z = 0$ pasa por $(1, 2, 3)$ ( $1 - 4 + 3 = 0$ ) y $(1, - 2, 1) \cdot (1, 1, 1) = 0$ .

Apartado b

1. $σ$ pasa por $(0, 1, 1)$ : $b + 1 = 0$ .
$b = - 1$
2. Distancia de $(1, 0, 1)$ a $σ : a x - y + z = 0$ igual a 1.
$\frac{∣ a + 1∣}{a ^{2} + 2} = 1 \Rightarrow (a + 1)^{2} = a^{2} + 2 \Rightarrow 2 a = 1$
$a = \frac{1}{2}, b = - 1$

Apartado c

1. La recta $r = π \cap σ$ tiene por dirección $n_{π} \times n_{σ}$ , con $n_{π} = (1, 1, 1)$ y $n_{σ} = (a, b, 1)$ . Que $(3, 2, - 5)$ sea vector director significa que es perpendicular a ambas normales.
$(3, 2, - 5) \cdot (1, 1, 1) = 0 ✓, (3, 2, - 5) \cdot (a, b, 1) = 3 a + 2 b - 5 = 0$
2. Además $π$ y $σ$ no pueden ser paralelos (si no, no hay recta). El caso paralelo es $(a, b) = (1, 1)$ , que también cumple $3 a + 2 b = 5$ y hay que excluir.
$3 a + 2 b = 5, (a, b) \neq = (1, 1)$
Valores: todos los $(a, b)$ con $3 a + 2 b = 5$ salvo $(1, 1)$ .
3. Un punto de $r$ para un caso concreto, por ejemplo $a = 3$ , $b = - 2$ ( $3 \cdot 3 + 2 \cdot (- 2) = 5$ ): resolvemos $x + y + z = 1$ , $3 x - 2 y + z = 0$ con $z = 0$ .
$x + y = 1, 3 x - 2 y = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}, y = \frac{3}{5}$
4. Comprobación de la dirección: $(1, 1, 1) \times (3, - 2, 1) = (3, 2, - 5)$ .
$(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, 0) \in r$
Un punto de $r$ (para $a = 3$ , $b = - 2$ ): $(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}, 0)$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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3 resultados comprobados en 3 apartados
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La diferencia de potencial $x$ entre dos puntos de un circuito eléctrico provoca el paso de una corriente eléctrica de intensidad $y$ , que está relacionada con la diferencia de potencial $x$ por la ecuación $y = - x^{2} - x + 6$ , siendo $0 \leq x \leq 2$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La gráfica de la función $f (x) = - x^{2} - x + 6$ (3 puntos) y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la intensidad $y$ cuando la diferencia de potencial $x$ es $0$ y el valor de la diferencia de potencial $x$ al que corresponde una intensidad $y$ igual a $0$ , siendo $0 \leq x \leq 2$ (1 punto).
b)El valor de la diferencia de potencial $x$ para el que es máximo el producto $x \cdot y$ de la intensidad $y$ por la diferencia de potencial $x$ , cuando $0 \leq x \leq 2$ (2 puntos) y obtener el valor máximo de dicho producto $x \cdot y$ , cuando $0 \leq x \leq 2$ (1 punto).
c)El área de la superficie situada en el primer cuadrante limitada por la curva $y = f (x)$ , el eje de abscisas y el eje de ordenadas.

y = −x² − x + 6 en [0, 2]: área en el primer cuadrante = 22/3

Apartado a

1. Es una parábola hacia abajo. Cortes: $f (0) = 6$ ; $- x^{2} - x + 6 = 0 ⟺ x^{2} + x - 6 = 0 ⟺ x = 2$ ó $x = - 3$ (solo $x = 2$ en $[0, 2]$ ). Vértice en $x = - \frac{1}{2}$ , fuera del intervalo, así que en $[0, 2]$ la función es decreciente.
$f (x) = - (x - 2) (x + 3), f^{'} (x) = - 2 x - 1 < 0$ en $[0, 2]$
2. Tabla: $f (0) = 6$ , $f (1) = 4$ , $f (2) = 0$ . Trazo de $(0, 6)$ a $(2, 0)$ decreciente y cóncavo (hacia abajo).
Ver la gráfica adjunta.
Para $x = 0$ : $y = 6$ . Para $y = 0$ : $x = 2$ .

Apartado b

1. Producto $P (x) = x y = x (- x^{2} - x + 6) = - x^{3} - x^{2} + 6 x$ . Derivada:
$P^{'} (x) = - 3 x^{2} - 2 x + 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \pm 4 + 72}{- 6} = \frac{- 1 \mp 19}{3}$
2. En $[0, 2]$ solo vale $x = \frac{- 1 + 19}{3} \approx 1, 12$ . Es máximo: $P^{''} (x) = - 6 x - 2 < 0$ , y supera a los extremos ( $P (0) = 0$ , $P (2) = 0$ ).
$x = \frac{19 - 1}{3} \approx 1, 12$
3. Valor máximo: sustituimos (valor numérico).
$P_{m a x} = P (\frac{19 - 1}{3}) \approx 4, 06$
Máximo del producto en $x \approx 1, 12$ , con $P_{m a x} \approx 4, 06$

Apartado c

1. Región en el primer cuadrante limitada por la curva y los ejes: $x$ de 0 a 2 ( $f (2) = 0$ ) y $f \geq 0$ .
$A = \int_{0}^{2} (- x^{2} - x + 6) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2} + 6 x]_{0}^{2} = - \frac{8}{3} - 2 + 12$
$A = \frac{22}{3} \approx 7, 33 u^{2}$