Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2015 · Extraordinaria 2015

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Se da el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y + z = α x + y - α z = 1 2 x + α y - z = 2 α + 3$ , donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La solución del sistema cuando $α = - 1$ .
b)Todas las soluciones del sistema cuando $α = 0$ .
c)El valor de $α$ para el que el sistema es incompatible.

Apartado a

1. Con $α = - 1$ : $x + 3 y + z = - 1$ , $x + y + z = 1$ , $2 x - y - z = 1$ . Restando las dos primeras: $2 y = - 2$ , luego $y = - 1$ . Sumando la segunda y la tercera: $3 x = 2$ .
$y = - 1, x = \frac{2}{3}, z = 1 - x - y = 1 - \frac{2}{3} + 1 = \frac{4}{3}$
$(x, y, z) = (\frac{2}{3}, - 1, \frac{4}{3})$
Comprobación en la tercera: $\frac{4}{3} + 1 - \frac{4}{3} = 1$ ✓. Determinante $∣ A ∣ = 6 \neq = 0$ : solución única.

Apartado b

1. Con $α = 0$ : $x + 3 y + z = 0$ , $x + y = 1$ , $2 x - z = 3$ . De la segunda, $x = 1 - y$ ; de la tercera, $z = 2 x - 3 = - 1 - 2 y$ . Sustituimos en la primera.
$(1 - y) + 3 y + (- 1 - 2 y) = 0 \Rightarrow 0 = 0$
La primera ecuación es combinación de las otras dos: $rg A = rg (A ∣ B) = 2 < 3$ .
2. Tomamos $z = 2 λ$ : $y = \frac{- 1 - z}{2} = - \frac{1}{2} - λ$ y $x = 1 - y = \frac{3}{2} + λ$ .
$(x, y, z) = (\frac{3}{2} + λ, - \frac{1}{2} - λ, 2 λ), λ \in R$
Infinitas soluciones: $(\frac{3}{2} + λ, - \frac{1}{2} - λ, 2 λ)$

Apartado c

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$∣ A ∣ = 112 31 α 1 - α - 1 = 1 (- 1 + α^{2}) - 3 (- 1 + 2 α) + 1 (α - 2) = α^{2} - 5 α = α (α - 5)$
2. Las raíces son $α = 0$ y $α = 5$ . Con $α = 0$ ya sabemos que el sistema es compatible (apartado b). Con $α = 5$ el rango de $A$ es 2 y el menor con la columna de términos independientes $(5, 1, 13)$ es:
$1123155113 = 1 (13 - 5) - 3 (13 - 2) + 5 (5 - 2) = 8 - 33 + 15 = - 10 \neq = 0$
$α = 5$ : $rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ B)$ , incompatible.

A.2Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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Se tienen las rectas $r : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ y $s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + λ y = - λ z = 0$ y el punto $P (0, 3, - 2)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto $P$ y es paralela a la recta $r$ .
b)La ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$ .
c)La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .

Apartado a

1. Una recta paralela a $r$ tiene el mismo director, $d_{r} = (3, - 1, 2)$ (se lee en los denominadores). Pasa por $P (0, 3, - 2)$ .
$\frac{x - 0}{3} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{2}$
$\frac{x}{3} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 2}{2}$
En paramétricas: $(3 μ, 3 - μ, - 2 + 2 μ)$ .

Apartado b

1. Datos: $r$ pasa por $R = (- 1, 1, 0)$ con $d_{r} = (3, - 1, 2)$ ; $s$ tiene director $d_{s} = (1, - 1, 0)$ y pasa por $S = (1, 0, 0)$ . La normal del plano es $d_{r} \times d_{s}$ .
$n = (3, - 1, 2) \times (1, - 1, 0) = (0 + 2, 2 - 0, - 3 + 1) = (2, 2, - 2) ∥ (1, 1, - 1)$
2. Ecuación $x + y - z + D = 0$ por $R (- 1, 1, 0)$ : $- 1 + 1 - 0 + D = 0$ .
$D = 0$
$π : x + y - z = 0$
Comprobación: $d_{r} \cdot n = 3 - 1 - 2 = 0$ y $d_{s} \cdot n = 1 - 1 = 0$ .

Apartado c

1. Posición relativa: los directores no son proporcionales y $R S = (2, - 1, 0)$ cumple que $[d_{r}, d_{s}, R S] = R S \cdot (2, 2, - 2) = 4 - 2 = 2 \neq = 0$ : las rectas se cruzan.
$R S \cdot (d_{r} \times d_{s}) = (2, - 1, 0) \cdot (2, 2, - 2) = 2 \neq = 0$
$r$ y $s$ se cruzan.
2. La distancia entre rectas que se cruzan es la distancia de $S \in s$ al plano $π$ (que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ ).
$d (r, s) = d (S, π) = \frac{∣1 + 0 - 0∣}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$
$d (r, s) = \frac{3}{3} \approx 0, 577$
Con la otra fórmula: $\frac{∣2∣}{∣ ( 2 , 2 , - 2 ) ∣} = \frac{2}{2 3} = \frac{1}{3}$ ✓.

A.3Opción A10 puntos

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Se da la función $f$ definida por $f (x) = \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}}$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El dominio y las asíntotas de la función $f$ .
b)Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $f$ .
c)La integral $\int \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}} d x$ .

Apartado a

1. El denominador se anula solo en $x = - 1$ .
$Dom f = R ∖ {- 1}$
2. Asíntota vertical en $x = - 1$ : el numerador vale $- 1$ y el denominador tiende a $0^{+}$ por los dos lados (es un cuadrado).
$lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \frac{- 1}{0 ^{+}} = - \infty$
Vertical: $x = - 1$
Asíntota horizontal: el grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2).
3. Asíntota horizontal.
$lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}} = lim \frac{x}{x ^{2} + 2 x + 1} = 0$
Horizontal: $y = 0$ (en $+ \infty$ y en $- \infty$ )

Apartado b

1. Derivada (regla del cociente), simplificando el factor común $(x + 1)$ .
$f^{'} (x) = \frac{( x + 1 ) ^{2} - x \cdot 2 ( x + 1 )}{( x + 1 ) ^{4}} = \frac{( x + 1 ) - 2 x}{( x + 1 ) ^{3}} = \frac{1 - x}{( x + 1 ) ^{3}}$
2. Se anula en $x = 1$ . Estudiamos el signo en los intervalos que determinan $x = - 1$ (no pertenece al dominio) y $x = 1$ .
$x < - 1 : \frac{+}{-} < 0; - 1 < x < 1 : \frac{+}{+} > 0; x > 1 : \frac{-}{+} < 0$
$f$ decrece en $(- \infty, - 1)$ y en $(1, + \infty)$ ; crece en $(- 1, 1)$ .
Máximo relativo en $x = 1$ , con $f (1) = \frac{1}{4}$ .

Apartado c

1. Escribimos $x = (x + 1) - 1$ y separamos en dos fracciones.
$\int \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}} d x = \int [\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}] d x$
2. Integramos cada término.
$= ln ∣ x + 1∣ + \frac{1}{x + 1} + C$
$\int \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}} d x = ln ∣ x + 1∣ + \frac{1}{x + 1} + C$
Se comprueba derivando: $\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x}{( x + 1 ) ^{2}}$ .

B.1Opción B10 puntos

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Se dan las matrices $A = x y z 121 - 1 30$ y $B = x 10 121 - 1 30$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores de $x$ para los cuales la matriz $B$ tiene inversa.
b)El valor del determinante de las matrices $A^{3}$ y $2 x 2 y 2 z 5105 - 1 30$ , sabiendo que el valor del determinante de la matriz $A$ es 8.
c)Los valores $x$ , $y$ , $z$ para los cuales $A^{2} = 03 - 1 073462$ .

Apartado a

1. $B$ tiene inversa si y solo si $∣ B ∣ \neq = 0$ . Desarrollamos por la tercera fila, que solo tiene un elemento no nulo.
$∣ B ∣ = 1 \cdot (- 1)^{3 + 2} x 1 - 1 3 = - (3 x + 1)$
2. Se anula en $x = - \frac{1}{3}$ .
$∣ B ∣ \neq = 0 ⟺ x \neq = - \frac{1}{3}$
$B$ tiene inversa $⟺ x \neq = - \frac{1}{3}$

Apartado b

1. Propiedad del producto: $∣ A^{3} ∣ = ∣ A ∣^{3}$ .
$∣ A^{3} ∣ = 8^{3} = 512$
$∣ A^{3} ∣ = 512$
2. En la matriz $2 x 2 y 2 z 5105 - 1 30$ la primera columna es el doble de la primera de $A$ y la segunda es cinco veces la segunda de $A$ (que es $(1, 2, 1)^{t}$ ); la tercera columna no cambia. Un factor común en una columna sale multiplicando fuera del determinante.
$2 x 2 y 2 z 5105 - 1 30 = 2 \cdot 5 x y z 121 - 1 30 = 10 ∣ A ∣ = 80$
$∣ A^{3} ∣ = 512$ y el otro determinante vale $80$

Apartado c

1. Calculamos $A^{2}$ en función de $x, y, z$ .
$A^{2} = x^{2} + y - z x y + 2 y + 3 z x z + y x + 1 y + 7 z + 2 3 - x 6 - y 3 - z$
2. Igualamos con la matriz dada. Las ecuaciones más sencillas fijan las variables: $x + 1 = 0$ , $6 - y = 6$ y $z + 2 = 3$ .
$x = - 1, y = 0, z = 1$
$x = - 1, y = 0, z = 1$
Comprobación del resto: $x^{2} + y - z = 0$ ✓; $x y + 2 y + 3 z = 3$ ✓; $x z + y = - 1$ ✓; $3 - x = 4$ ✓; $3 - z = 2$ ✓.

B.2Opción B10 puntos

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Se dan las rectas $r : {2 x - y + 5 = 0 6 x - z + 8 = 0$ y $s : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 - 2 α y = 2 + α z = 3 - α$ y el plano $π : 2 x + m z + 1 = 0$ , siendo $m$ un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La posición relativa de las rectas $r$ y $s$ y el punto (o puntos) comunes a $r$ y $s$ .
b)El valor del parámetro $m$ para que la recta $s$ sea paralela al plano $π$ .
c)La ecuación del plano que contiene a la recta $s$ y al punto $P (1, 2, 4)$ .

Apartado a

1. Pasamos $r$ a paramétricas: con $x = t$ , $y = 2 t + 5$ y $z = 6 t + 8$ . Director $d_{r} = (1, 2, 6)$ . $s$ tiene director $d_{s} = (- 2, 1, - 1)$ . No son proporcionales: no son paralelas ni coincidentes.
$r : (t, 2 t + 5, 6 t + 8), s : (1 - 2 α, 2 + α, 3 - α)$
2. Igualamos coordenadas: de $x$ , $t = 1 - 2 α$ ; en $y$ : $2 + α = 2 (1 - 2 α) + 5$ , luego $5 α = 5$ y $α = 1$ , $t = - 1$ . Comprobamos en $z$ : $3 - 1 = 2$ y $6 (- 1) + 8 = 2$ ✓.
$α = 1, t = - 1 \Rightarrow P_{0} = (- 1, 3, 2)$
Las rectas son secantes y se cortan en $(- 1, 3, 2)$
Comprobación en $r$ : $- 2 - 3 + 5 = 0$ y $- 6 - 2 + 8 = 0$ .

Apartado b

1. La recta $s$ es paralela al plano si su director es perpendicular a la normal $n = (2, 0, m)$ .
$d_{s} \cdot n = (- 2, 1, - 1) \cdot (2, 0, m) = - 4 - m = 0 \Rightarrow m = - 4$
$m = - 4$
2. Comprobamos que $s$ no está contenida en el plano: el punto $S = (1, 2, 3)$ de $s$ en $2 x - 4 z + 1 = 0$ da $2 - 12 + 1 = - 9 \neq = 0$ . Es paralela y no contenida.
$2 \cdot 1 - 4 \cdot 3 + 1 = - 9 \neq = 0$
$s ∥ π$ para $m = - 4$ (sin puntos comunes)

Apartado c

1. Vectores del plano: $d_{s} = (- 2, 1, - 1)$ y $S P = (0, 0, 1)$ con $S = (1, 2, 3)$ . Normal: su producto vectorial.
$n = (- 2, 1, - 1) \times (0, 0, 1) = (1 - 0, 0 + 2, 0 - 0) = (1, 2, 0)$
2. Ecuación $x + 2 y + D = 0$ por $S (1, 2, 3)$ : $1 + 4 + D = 0$ .
$D = - 5$
$π : x + 2 y - 5 = 0$
Comprobación: $P (1, 2, 4)$ : $1 + 4 - 5 = 0$ ✓; el director cumple $- 2 + 2 = 0$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
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Se va a construir un depósito de $1500 m^{3}$ de capacidad, con forma de caja abierta por la parte superior. Su base es pues un cuadrado y las paredes laterales son cuatro rectángulos iguales perpendiculares a la base. El precio de cada $m^{2}$ de la base es de 15 € y el precio de cada $m^{2}$ de pared lateral es de 5 €. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El coste total del depósito en función de la longitud $x$ de un lado de su base.
b)Las longitudes del lado de la base y de la altura del depósito para que dicho coste total sea mínimo.
c)El valor del mínimo coste total del depósito.

Apartado a

1. Si el lado de la base es $x$ y la altura $h$ , el volumen es $x^{2} h = 1500$ , luego $h = \frac{1500}{x ^{2}}$ .
$A_{base} = x^{2}, A_{laterales} = 4 x h = 4 x \cdot \frac{1500}{x ^{2}} = \frac{6000}{x}$
2. Coste: 15 € por m $^{2}$ de base y 5 € por m $^{2}$ de pared.
$C (x) = 15 x^{2} + 5 \cdot \frac{6000}{x}$
$C (x) = 15 x^{2} + \frac{30000}{x}$ euros, $x > 0$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$C^{'} (x) = 30 x - \frac{30000}{x ^{2}} = 0 \Rightarrow x^{3} = 1000 \Rightarrow x = 10$
2. Mínimo porque $C^{''} (x) = 30 + \frac{60000}{x ^{3}} > 0$ para todo $x > 0$ . La altura correspondiente:
$h = \frac{1500}{1 0 ^{2}} = 15$
Lado de la base $x = 10$ m y altura $h = 15$ m

Apartado c

1. Sustituimos $x = 10$ en el coste.
$C (10) = 15 \cdot 100 + \frac{30000}{10} = 1500 + 3000 = 4500$
Coste mínimo $= 4500$ euros