Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2014 · Ordinaria 2014

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dado el sistema de ecuaciones $⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y + 2 z = - 1 2 x + 4 y + 5 z = k - 2 x + k^{2} y + 3 z = 2 k$ , donde $k$ es un parámetro real, se pide:

a)Discutir razonadamente el sistema según los valores de $k$ .
b)Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, todas las soluciones del sistema cuando $k = - 1$ .
c)Resolver razonadamente el sistema cuando $k = 0$ .

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes (desarrollo por la primera columna).
$∣ A ∣ = 121 34 k^{2} 253 = (12 - 5 k^{2}) - 2 (9 - 2 k^{2}) + (15 - 8) = 1 - k^{2}$
Desarrollo: $1 \cdot (12 - 5 k^{2}) - 2 \cdot (9 - 2 k^{2}) + 1 \cdot (15 - 8) = 12 - 5 k^{2} - 18 + 4 k^{2} + 7 = 1 - k^{2}$ .
2. $∣ A ∣ = 0 ⟺ k = 1$ o $k = - 1$ . Si $k \neq = \pm 1$ , $rg A = rg (A ∣ B) = 3$ .
$1 - k^{2} = (1 - k) (1 + k)$
$k \neq = \pm 1$ : compatible determinado.
3. Caso $k = 1$ : $rg A = 2$ (el menor $1234 = - 2 \neq = 0$ y $∣ A ∣ = 0$ ). Orlamos con la columna de términos independientes $(- 1, - 1, 2)$ :
$121341 - 1 - 1 2 = 1 (8 + 1) - 3 (4 + 1) - 1 (2 - 4) = 9 - 15 + 2 = - 4 \neq = 0$
$k = 1$ : $rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ B)$ , sistema incompatible.
4. Caso $k = - 1$ : $rg A = 2$ y términos independientes $(- 1, - 3, - 2)$ .
$121341 - 1 - 3 - 2 = 1 (- 8 + 3) - 3 (- 4 + 3) - 1 (2 - 4) = - 5 + 3 + 2 = 0 \Rightarrow rg (A ∣ B) = 2$
$k = - 1$ : $rg A = rg (A ∣ B) = 2 < 3$ , compatible indeterminado.

Apartado b

1. Con $k = - 1$ : $x + 3 y + 2 z = - 1$ , $2 x + 4 y + 5 z = - 3$ , $x + y + 3 z = - 2$ . Usamos las dos primeras (la tercera es combinación de ellas). Sacamos $x$ de la primera, $x = - 1 - 3 y - 2 z$ , y sustituimos en la segunda.
$2 (- 1 - 3 y - 2 z) + 4 y + 5 z = - 3 \Rightarrow - 2 y + z = - 1 \Rightarrow y = \frac{1 + z}{2}$
2. Con $z = λ$ : $y = \frac{1 + λ}{2}$ y $x = - 1 - 3 \cdot \frac{1 + λ}{2} - 2 λ = \frac{- 5 - 7 λ}{2}$ .
$(x, y, z) = (\frac{- 5 - 7 λ}{2}, \frac{1 + λ}{2}, λ), λ \in R$
Infinitas soluciones: $(\frac{- 5 - 7 λ}{2}, \frac{1 + λ}{2}, λ)$
Comprobación en la tercera ecuación: $\frac{- 5 - 7 λ}{2} + \frac{1 + λ}{2} + 3 λ = - 2$ ✓.

Apartado c

1. Con $k = 0$ el sistema es $x + 3 y + 2 z = - 1$ , $2 x + 4 y + 5 z = - 2$ , $x + 3 z = 0$ (determinante $∣ A ∣ = 1 \neq = 0$ : solución única). De la tercera, $x = - 3 z$ .
${- 3 z + 3 y + 2 z = - 1 - 6 z + 4 y + 5 z = - 2 \Rightarrow {3 y - z = - 1 4 y - z = - 2$
2. Restando las dos ecuaciones: $y = - 1$ . Entonces $z = 3 y + 1 = - 2$ y $x = - 3 z = 6$ .
$(x, y, z) = (6, - 1, - 2)$
$(x, y, z) = (6, - 1, - 2)$
Comprobación: $6 - 3 - 4 = - 1$ ; $12 - 4 - 10 = - 2$ ; $6 + 0 - 6 = 0$ .

A.2Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Se dan el punto $A = (- 1, 0, 2)$ y las rectas $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2$ y $s : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 - 2 λ y = 1 + 3 λ z = 1 + λ$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La ecuación del plano $π$ que pasa por el punto $A$ y contiene a la recta $r$ .
b)La ecuación del plano $σ$ que pasa por el punto $A$ y es perpendicular a la recta $s$ .
c)Un vector dirección de la recta $l$ intersección de los planos $π$ y $σ$ (2 puntos) y la distancia entre las rectas $s$ y $l$ (2 puntos).

Apartado a

1. $r$ pasa por $R = (1, 0, 2)$ con director $d_{r} = (2, 3, 1)$ . El plano contiene a $r$ y a $A$ : sus vectores directores son $d_{r}$ y $A R = (2, 0, 0)$ .
$n_{π} = (2, 3, 1) \times (2, 0, 0) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 2 - 2 \cdot 0, 0 - 3 \cdot 2) = (0, 2, - 6) ∥ (0, 1, - 3)$
2. Ecuación $y - 3 z + D = 0$ por $A (- 1, 0, 2)$ : $0 - 6 + D = 0$ .
$D = 6$
$π : y - 3 z + 6 = 0$
Comprobación: $R$ : $0 - 6 + 6 = 0$ ; el director cumple $3 - 3 = 0$ .

Apartado b

1. El plano perpendicular a $s$ tiene como normal el director de $s$ , $d_{s} = (- 2, 3, 1)$ : $- 2 x + 3 y + z + D = 0$ por $A$ .
$2 + 0 + 2 + D = 0 \Rightarrow D = - 4$
$σ : - 2 x + 3 y + z - 4 = 0 ⟺ 2 x - 3 y - z + 4 = 0$

Apartado c

1. La dirección de $l$ es perpendicular a las dos normales: producto vectorial de $n_{π} = (0, 1, - 3)$ y $n_{σ} = (- 2, 3, 1)$ .
$d_{l} = (0, 1, - 3) \times (- 2, 3, 1) = (1 + 9, 6 - 0, 0 + 2) = (10, 6, 2) ∥ (5, 3, 1)$
$d_{l} = (5, 3, 1)$
$l$ pasa por $A$ (que está en $π$ y en $σ$ ).
2. Las rectas $s$ (punto $S = (- 1, 1, 1)$ ) y $l$ (punto $A$ ) tienen directores no proporcionales. Producto vectorial y vector $A S = (0, 1, - 1)$ .
$d_{l} \times d_{s} = (5, 3, 1) \times (- 2, 3, 1) = (0, - 7, 21), ∣ \cdot ∣ = 710, A S \cdot (0, - 7, 21) = - 7 - 21 = - 28$
3. Distancia $= \frac{∣ [ A S , d _{l} , d _{s} ] ∣}{∣ d _{l} \times d _{s} ∣}$ (como es $\neq = 0$ , las rectas se cruzan).
$d (s, l) = \frac{28}{7 10} = \frac{4}{10} = \frac{2 10}{5}$
$d (s, l) = \frac{2 10}{5} \approx 1, 26$
Como $l \subset σ$ y $s ⊥ σ$ , $s$ y $l$ son perpendiculares y la distancia es la de $S$ a $σ$ .

A.3Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El valor de $m$ para el cual la función $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ m (x + 1) e^{2 x}, \frac{( x + 1 ) sen x}{x}, x \leq 0 x > 0$ es continua en $x = 0$ .
b)Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función $(x + 1) e^{2 x}$ .
c)La integral $\int (x + 1) e^{2 x} d x$ (2 puntos) y el área limitada por la curva $y = (x + 1) e^{2 x}$ y las rectas $x = 0$ , $x = 1$ e $y = 0$ (2 puntos).

Apartado a

1. Continuidad en $x = 0$ : $lim_{x \to 0^{-}} f = lim_{x \to 0^{+}} f = f (0)$ . Con $f (0) = m (0 + 1) e^{0} = m$ .
$lim_{x \to 0^{-}} m (x + 1) e^{2 x} = m, lim_{x \to 0^{+}} (x + 1) \frac{sen x}{x} = 1 \cdot 1 = 1$
Se usa el límite notable $lim_{x \to 0} \frac{sen x}{x} = 1$ .
2. Igualamos los tres valores.
$m = 1$
$m = 1$

Apartado b

1. Sea $g (x) = (x + 1) e^{2 x}$ . Derivamos.
$g^{'} (x) = e^{2 x} + 2 (x + 1) e^{2 x} = (2 x + 3) e^{2 x}$
2. Como $e^{2 x} > 0$ , el signo de $g^{'}$ es el de $2 x + 3$ : negativo si $x < - \frac{3}{2}$ y positivo si $x > - \frac{3}{2}$ .
$g^{'} (x) = 0 ⟺ x = - \frac{3}{2}$
$g$ decrece en $(- \infty, - \frac{3}{2})$ y crece en $(- \frac{3}{2}, + \infty)$ (mínimo en $x = - \frac{3}{2}$ )
$g (- \frac{3}{2}) = - \frac{1}{2} e^{- 3} \approx - 0, 025$ .

Apartado c

1. Integración por partes con $u = x + 1$ , $d v = e^{2 x} d x$ ( $d u = d x$ , $v = \frac{1}{2} e^{2 x}$ ).
$\int (x + 1) e^{2 x} d x = \frac{( x + 1 ) e ^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x = \frac{( x + 1 ) e ^{2 x}}{2} - \frac{e ^{2 x}}{4} + C$
$\int (x + 1) e^{2 x} d x = \frac{( 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{4} + C$
Se comprueba derivando: $\frac{d}{d x} [\frac{( 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{4}] = \frac{2 e ^{2 x} + 2 ( 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{4} = (x + 1) e^{2 x}$ .
2. En $[0, 1]$ la función es positiva ( $x + 1 > 0$ ), así que el área es la integral definida.
$\overset{ˊ}{A} rea = [\frac{( 2 x + 1 ) e ^{2 x}}{4}]_{0}^{1} = \frac{3 e ^{2}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3 e ^{2} - 1}{4}$
Área $= \frac{3 e ^{2} - 1}{4} \approx 5, 29 u^{2}$

B.1Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Se dan las matrices $A = 100 - 1 10 111$ , $B = - 2 1 - 1$ y $C = (- 1 13)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La matriz inversa $A^{- 1}$ de la matriz $A$ .
b)La matriz $X$ que es solución de la ecuación $A X = B C$ .
c)El determinante de la matriz $2 M^{3}$ , siendo $M$ una matriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante vale $\frac{1}{2}$ .

Apartado a

1. $A$ es triangular superior con unos en la diagonal: $∣ A ∣ = 1 \neq = 0$ , así que es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos y trasponemos.
$Cof A = 11 - 2 01 - 1 001 \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{∣ A ∣} (Cof A)^{t} = 100110 - 2 - 1 1$
$A^{- 1} = 100110 - 2 - 1 1$
Comprobación: $A \cdot A^{- 1} = I$ (primera fila: $(1, 1, - 2) - (0, 1, - 1) + (0, 0, 1) = (1, 0, 0)$ ).

Apartado b

1. Como $A$ es invertible, multiplicamos por $A^{- 1}$ por la izquierda: $X = A^{- 1} (B C)$ . Primero el producto $B C$ (columna por fila, da una matriz $3 \times 3$ ).
$B C = - 2 1 - 1 (- 1 13) = 2 - 1 1 - 2 1 - 1 - 6 3 - 3$
2. Multiplicamos $A^{- 1}$ por $B C$ .
$X = 100110 - 2 - 1 1 2 - 1 1 - 2 1 - 1 - 6 3 - 3 = - 1 - 2 1 12 - 1 36 - 3$
$X = - 1 - 2 1 12 - 1 36 - 3$
Se observa $X = A^{- 1} B \cdot C$ con $A^{- 1} B = (- 1, - 2, 1)^{t}$ ✓.

Apartado c

1. Para una matriz $M$ de orden $2$ : $∣ k M ∣ = k^{2} ∣ M ∣$ y $∣ M^{n} ∣ = ∣ M ∣^{n}$ .
$∣2 M^{3} ∣ = 2^{2} ∣ M ∣^{3} = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{3} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$∣2 M^{3} ∣ = \frac{1}{2}$

B.2Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Se da el triángulo $T$ , cuyos vértices son $A = (1, 2, - 2)$ , $B = (0, - 3, 1)$ y $C = (- 1, 0, 0)$ , y los planos $π_{1} : x + y + z + 1 = 0$ y $π_{2} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - α + β + 1 y = α - 2 β z = α + β$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)La posición relativa del plano $π_{1}$ y del plano que contiene al triángulo $T$ .
b)Un vector $n_{1}$ perpendicular al plano $π_{1}$ y un vector $n_{2}$ perpendicular al plano $π_{2}$ (1,5 puntos) y el coseno del ángulo formado por los vectores $n_{1}$ y $n_{2}$ (1,5 puntos).
c)Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .

Apartado a

1. Vectores del triángulo: $A B = (- 1, - 5, 3)$ y $A C = (- 2, - 2, 2)$ . Normal del plano del triángulo.
$n_{T} = A B \times A C = (- 10 + 6, - 6 + 2, 2 - 10) = (- 4, - 4, - 8) ∥ (1, 1, 2)$
2. Ecuación $x + y + 2 z + D = 0$ por $C (- 1, 0, 0)$ : $- 1 + D = 0$ .
$D = 1$
Plano de $T$ : $x + y + 2 z + 1 = 0$
Comprobación: $A$ : $1 + 2 - 4 + 1 = 0$ ; $B$ : $0 - 3 + 2 + 1 = 0$ .
3. Comparamos con $π_{1} : x + y + z + 1 = 0$ : las normales $(1, 1, 2)$ y $(1, 1, 1)$ no son proporcionales.
$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq = \frac{2}{1}$
Los planos son secantes (se cortan en una recta).
Pasan los dos por $C (- 1, 0, 0)$ : $- 1 + 0 + 0 + 1 = 0$ .

Apartado b

1. Normal de $π_{1}$ : los coeficientes. Normal de $π_{2}$ : producto vectorial de sus vectores directores $(- 1, 1, 1)$ y $(1, - 2, 1)$ .
$n_{1} = (1, 1, 1), n_{2} = (- 1, 1, 1) \times (1, - 2, 1) = (1 + 2, 1 + 1, 2 - 1) = (3, 2, 1)$
$n_{1} = (1, 1, 1)$ , $n_{2} = (3, 2, 1)$
2. Coseno del ángulo entre los vectores.
$cos φ = \frac{n _{1} \cdot n _{2}}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣} = \frac{3 + 2 + 1}{3 14} = \frac{6}{42} = \frac{42}{7} \approx 0, 926$
$cos φ = \frac{42}{7}$
El ángulo es $\approx 22, 2^{\circ}$ .

Apartado c

1. Ecuación implícita de $π_{2}$ : normal $(3, 2, 1)$ y pasa por $(1, 0, 0)$ ( $α = β = 0$ ): $3 x + 2 y + z = 3$ . La recta intersección es la solución del sistema con $π_{1}$ .
${x + y + z = - 1 3 x + 2 y + z = 3$
2. Restando: $2 x + y = 4$ , luego $y = 4 - 2 x$ y $z = - 1 - x - y = x - 5$ . Con $x = t$ :
$⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 4 - 2 t z = - 5 + t$
Recta: $(x, y, z) = (0, 4, - 5) + t (1, - 2, 1)$
Comprobación en $π_{1}$ : $t + 4 - 2 t - 5 + t + 1 = 0$ ✓. Dirección $(1, - 2, 1) = - (n_{1} \times n_{2})$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Se tiene un cuadrado de mármol de lado $80$ cm. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de vértices $A = (0, 20)$ , $B = (20, 0)$ , $C = (80, 0)$ , $D = (80, 80)$ y $E = (0, 80)$ . Para obtener una pieza rectangular se elige un punto $P = (x, y)$ del segmento $A B$ y se hacen dos cortes paralelos a los ejes $X$ e $Y$ . Así se obtiene un rectángulo $R$ cuyos vértices son los puntos $P = (x, y)$ , $F = (80, y)$ , $D = (80, 80)$ y $G = (x, 80)$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El área del rectángulo $R$ en función de $x$ , cuando $0 \leq x \leq 20$ .
b)El valor de $x$ para el que el área del rectángulo $R$ es máxima.
c)El valor del área máxima del rectángulo $R$ .

Apartado a

1. El segmento $A B$ está sobre la recta que pasa por $(0, 20)$ y $(20, 0)$ : $x + y = 20$ , es decir, $y = 20 - x$ .
$P = (x, 20 - x), 0 \leq x \leq 20$
2. El rectángulo tiene base $80 - x$ (de $x$ a $80$ ) y altura $80 - y = 80 - (20 - x) = 60 + x$ .
$S (x) = (80 - x) (60 + x) = 4800 + 20 x - x^{2}$
$S (x) = - x^{2} + 20 x + 4800, 0 \leq x \leq 20$

Apartado b

1. Derivamos e igualamos a cero.
$S^{'} (x) = - 2 x + 20 = 0 \Rightarrow x = 10$
2. Es máximo porque $S^{''} = - 2 < 0$ y $x = 10$ está en el intervalo. En los extremos: $S (0) = S (20) = 4800$ , menor que $S (10)$ .
$S (10) = 70 \cdot 70 = 4900$
$x = 10$ cm (el punto es $P = (10, 10)$ )

Apartado c

1. Área máxima.
$S_{m a x} = S (10) = 4900$
Área máxima $= 4900 cm^{2}$ (un cuadrado de $70 \times 70$ )