Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2014 · Extraordinaria 2014

A.1Opción A10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
5 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El valor del determinante de la matriz $S = 21 - 1 - 2 13 115$ (2 puntos) y la matriz $S^{- 1}$ , que es la matriz inversa de $S$ (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de una matriz $S$ sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa $S^{- 1}$ (1 punto).
b)El determinante de la matriz $(4 T^{2})^{- 1}$ , sabiendo que $T$ es una matriz cuadrada de 3 filas y que $20$ es el valor del determinante de dicha matriz $T$ .
c)La solución $a$ de la ecuación $a a + 1 - 3 a^{2} - 1 2 4 a - 3 a^{2} + 4 1 = a a^{2} - 1 - 3 a + 1 2 a^{2} + 4 - 3 4 a 1$ .

Apartado a

1. Determinante (desarrollo por la primera fila).
$∣ S ∣ = 2 (5 - 3) + 2 (5 + 1) + 1 (3 + 1) = 4 + 12 + 4 = 20$
$∣ S ∣ = 20$
2. Matriz de adjuntos y traspuesta, dividiendo entre $∣ S ∣$ .
$Cof S = 213 - 3 - 6 11 - 1 4 - 4 4, S^{- 1} = \frac{1}{20} (Cof S)^{t} = \frac{1}{20} 2 - 6 4 1311 - 4 - 3 - 1 4$
$S^{- 1} = \frac{1}{20} 2 - 6 4 1311 - 4 - 3 - 1 4$
Comprobación: $S \cdot S^{- 1} = I$ ; por ejemplo, la fila 1 de $S$ por la columna 1 de $S^{- 1}$ da $\frac{1}{20} (4 + 12 + 4) = 1$ y por la columna 2 da $\frac{1}{20} (26 - 22 - 4) = 0$ .
3. Relación: una matriz cuadrada admite inversa si y solo si su determinante es distinto de cero (la fórmula de la inversa divide entre $∣ S ∣$ ).
$\exists S^{- 1} ⟺ ∣ S ∣ \neq = 0$
$S$ es invertible porque $∣ S ∣ = 20 \neq = 0$ .

Apartado b

1. Propiedades: $∣ k M ∣ = k^{n} ∣ M ∣$ (orden $n = 3$ ), $∣ M^{2} ∣ = ∣ M ∣^{2}$ y $∣ M^{- 1} ∣ = 1/∣ M ∣$ .
$(4 T^{2})^{- 1} = \frac{1}{∣4 T ^{2} ∣} = \frac{1}{4 ^{3} ∣ T ∣ ^{2}} = \frac{1}{64 \cdot 400} = \frac{1}{25600}$
$\frac{1}{25600}$

Apartado c

1. La matriz del segundo miembro es la traspuesta de la del primero: la ecuación pide que la matriz sea simétrica. Igualamos los elementos que cambian de sitio.
$a^{2} - 1 = a + 1, a^{2} + 4 = 4 a$
2. Resolvemos cada una y buscamos la solución común.
$a^{2} - a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 o a = - 1; a^{2} - 4 a + 4 = (a - 2)^{2} = 0 \Rightarrow a = 2$
$a = 2$
Con $a = 2$ ambas matrices coinciden y valen $23 - 3 328 - 3 81$ .

A.2Opción A10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Se dan los puntos $A = (1, 5, 7)$ y $B = (3, - 1, - 1)$ . Se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Las ecuaciones de los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ que son perpendiculares a la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ , sabiendo que el plano $π_{1}$ pasa por el punto $A$ y el plano $π_{2}$ pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $A$ y $B$ (4 puntos distribuidos en 2 puntos por cada plano).
b)La distancia entre los planos $π_{1}$ y $π_{2}$ .
c)Las ecuaciones de la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (2 puntos), y los puntos de la recta $r$ que están a distancia 3 del punto $C = (1, 0, 1)$ (2 puntos).

Apartado a

1. Los dos planos son perpendiculares a $r$ , así que comparten como normal el vector $A B = (2, - 6, - 8) ∥ (1, - 3, - 4)$ . Ecuación $x - 3 y - 4 z + D = 0$ .
$π_{1} ∋ A (1, 5, 7) : 1 - 15 - 28 + D = 0 \Rightarrow D = 42$
$π_{1} : x - 3 y - 4 z + 42 = 0$
2. Punto medio $M = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{5 - 1}{2}, \frac{7 - 1}{2}) = (2, 2, 3)$ .
$π_{2} ∋ M (2, 2, 3) : 2 - 6 - 12 + D = 0 \Rightarrow D = 16$
$π_{2} : x - 3 y - 4 z + 16 = 0$
Comprobación: $M \in π_{2}$ y $A \in / π_{2}$ ( $1 - 15 - 28 + 16 = - 26 \neq = 0$ ).

Apartado b

1. Los planos son paralelos (misma normal). La distancia entre ellos es la que hay de un punto de uno al otro: aplicamos la fórmula con los términos independientes.
$d (π_{1}, π_{2}) = \frac{∣42 - 16∣}{1 + 9 + 16} = \frac{26}{26} = 26$
$d = 26 \approx 5, 10$
Es la distancia de $A$ a $π_{2}$ , y también $∣ A M ∣ = \frac{1}{2} ∣ A B ∣ = 26$ .

Apartado c

1. La recta $r$ pasa por $A$ con director $(1, - 3, - 4)$ .
$r : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 5 - 3 t z = 7 - 4 t o \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{- 3} = \frac{z - 7}{- 4}$
$r : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 5}{- 3} = \frac{z - 7}{- 4}$
2. Imponemos que el cuadrado de la distancia al punto $C = (1, 0, 1)$ sea $9$ : $X = (1 + t, 5 - 3 t, 7 - 4 t)$ y $C X = (t, 5 - 3 t, 6 - 4 t)$ .
$t^{2} + (5 - 3 t)^{2} + (6 - 4 t)^{2} = 9 \Rightarrow 26 t^{2} - 78 t + 61 = 9 \Rightarrow t^{2} - 3 t + 2 = 0$
3. Las soluciones son $t = 1$ y $t = 2$ .
$t = 1 : (2, 2, 3); t = 2 : (3, - 1, - 1)$
Los puntos son $(2, 2, 3)$ y $B = (3, - 1, - 1)$
Comprobación: $∣ (1, 2, 2) ∣ = 3$ y $∣ (2, - 1, - 2) ∣ = 3$ .

A.3Opción A10 puntos

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Sea $f$ la función real definida por $f (x) = x e^{x} - 3 x$ . Se pide la obtención razonada, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, de:

a)Los puntos de corte de la curva $y = f (x)$ con el eje $X$ .
b)El punto de inflexión de la curva $y = f (x)$ (2 puntos), así como la justificación razonada de que la función $f$ es creciente cuando $x > 2$ (2 puntos).
c)El área limitada por el eje $X$ y la curva $y = f (x)$ , cuando $0 \leq x \leq ln 3$ , donde $ln$ significa logaritmo neperiano.

y = xe^x − 3x: área entre 0 y ln 3

Apartado a

1. Sacamos factor común $x$ .
$f (x) = x (e^{x} - 3) = 0 ⟺ x = 0 o e^{x} = 3$
Cortes con el eje $X$ : $(0, 0)$ y $(ln 3, 0)$
$ln 3 \approx 1, 0986$ .

Apartado b

1. Calculamos la primera y la segunda derivada.
$f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} - 3 = (x + 1) e^{x} - 3, f^{''} (x) = e^{x} + (x + 1) e^{x} = (x + 2) e^{x}$
2. $f^{''} (x) = 0 ⟺ x = - 2$ , y $f^{''}$ cambia de signo (negativa para $x < - 2$ , positiva para $x > - 2$ ): hay inflexión en $x = - 2$ .
$f (- 2) = - 2 e^{- 2} + 6$
Punto de inflexión: $(- 2, 6 - 2 e^{- 2}) \approx (- 2; 5, 73)$
3. Crecimiento para $x > 2$ : como $f^{''} (x) > 0$ para $x > - 2$ , la derivada $f^{'}$ es creciente en $(- 2, \infty)$ . Basta ver que $f^{'} (2) > 0$ : entonces $f^{'} (x) > f^{'} (2) > 0$ para todo $x > 2$ .
$f^{'} (2) = 3 e^{2} - 3 \approx 19, 2 > 0$
$f^{'} (x) > 0$ si $x > 2$ : $f$ es creciente en $(2, + \infty)$ .
Otra forma: si $x > 2$ , $(x + 1) e^{x} > 3 e^{2} > 3$ , luego $f^{'} (x) > 0$ .

Apartado c

1. En $(0, ln 3)$ se tiene $e^{x} < 3$ y $x > 0$ , así que $f (x) < 0$ : la curva está por debajo del eje $X$ y el área es la integral cambiada de signo. Primitiva por partes: $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x}$ (con $u = x$ , $d v = e^{x} d x$ ).
$\int (x e^{x} - 3 x) d x = (x - 1) e^{x} - \frac{3}{2} x^{2} + C$
2. Regla de Barrow entre $0$ y $ln 3$ (con $e^{l n 3} = 3$ ) y cambio de signo.
$\int_{0}^{l n 3} f = [(x - 1) e^{x} - \frac{3}{2} x^{2}]_{0}^{l n 3} = (3 ln 3 - 3 - \frac{3}{2} ln^{2} 3) - (- 1) = 3 ln 3 - 2 - \frac{3}{2} ln^{2} 3$
Área $= 2 - 3 ln 3 + \frac{3}{2} ln^{2} 3 \approx 0, 515 u^{2}$

B.1Opción B10 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

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Se tiene el sistema de ecuaciones lineales $⎩ ⎨ ⎧ (1 - α) x + 2 y + z = 4 x + y - 2 z = - 4 x + 4 y - (α + 1) z = - 2 α$ donde $α$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Los valores del parámetro $α$ para los que el sistema es incompatible.
b)Los valores del parámetro $α$ para los que el sistema es compatible y determinado.
c)Todas las soluciones del sistema cuando $α = 2$ .

Apartado a

1. Determinante de la matriz de coeficientes.
$∣ A ∣ = 1 - α 11 214 1 - 2 - (α + 1) = (α - 2) (α - 4)$
Desarrollo: $(1 - α) [- (α + 1) + 8] - 2 [- (α + 1) + 2] + (4 - 1) = (1 - α) (7 - α) + 2 α - 2 + 3 = α^{2} - 6 α + 8$ .
2. Se anula en $α = 2$ y $α = 4$ . Para $α = 4$ : $- 3 x + 2 y + z = 4$ , $x + y - 2 z = - 4$ , $x + 4 y - 5 z = - 8$ . El rango de $A$ es 2 (menor $1114 = 3$ en las filas 2 y 3, columnas 1 y 2). Orlamos con los términos independientes $(4, - 4, - 8)$ :
$- 3 11 214 4 - 4 - 8 = - 3 (- 8 + 16) - 2 (- 8 + 4) + 4 (4 - 1) = - 24 + 8 + 12 = - 4 \neq = 0$
$α = 4$ : $rg A = 2 < 3 = rg (A ∣ B)$ , incompatible.
Además, para $α = 2$ ya veremos en el apartado c que es compatible indeterminado.

Apartado b

1. Es compatible determinado cuando $∣ A ∣ \neq = 0$ .
$(α - 2) (α - 4) \neq = 0$
Compatible determinado $⟺ α \neq = 2$ y $α \neq = 4$ .

Apartado c

1. Con $α = 2$ : $- x + 2 y + z = 4$ , $x + y - 2 z = - 4$ , $x + 4 y - 3 z = - 4$ . $rg A = 2$ (menor $- 1 1 21 = - 3$ ) y la ampliada también tiene rango 2: el menor $- 1 11 214 4 - 4 - 4 = - 1 (- 4 + 16) - 2 (- 4 + 4) + 4 (4 - 1) = - 12 + 12 = 0$ .
$rg A = rg (A ∣ B) = 2 < 3$
Compatible indeterminado con un parámetro.
2. Sumamos las dos primeras ecuaciones: $3 y - z = 0$ , es decir, $z = 3 y$ . Con $y = μ$ , $z = 3 μ$ . En la segunda: $x = - 4 - y + 2 z = - 4 - μ + 6 μ$ .
$(x, y, z) = (- 4 + 5 μ, μ, 3 μ)$
Soluciones: $(x, y, z) = (- 4 + 5 μ, μ, 3 μ), μ \in R$
Comprobación en la tercera: $- 4 + 5 μ + 4 μ - 9 μ = - 4$ ✓.

B.2Opción B10 puntos

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Se dan las rectas $r : {x - y = 0 z = 10$ y $s : {x + y = 8 x + y + z = 13$ . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)Un vector director de cada recta (2 puntos) y la posición relativa de las rectas $r$ y $s$ (2 puntos).
b)La ecuación del plano que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$ .
c)La distancia entre las rectas $r$ y $s$ .

Apartado a

1. Recta $r$ : de $x = y$ y $z = 10$ , con $x = t$ se obtiene $(t, t, 10)$ . Recta $s$ : de $x + y = 8$ y $x + y + z = 13$ se deduce $z = 5$ ; con $x = u$ : $(u, 8 - u, 5)$ .
$r : (0, 0, 10) + t (1, 1, 0), s : (4, 4, 5) + u (1, - 1, 0)$
$d_{r} = (1, 1, 0)$ (punto $(0, 0, 10)$ ) y $d_{s} = (1, - 1, 0)$ (punto $(4, 4, 5)$ )
2. Los directores no son proporcionales, así que no son paralelas. Estudiamos si se cortan: $r$ está en el plano $z = 10$ y $s$ en el plano $z = 5$ , que son paralelos y distintos: no tienen puntos comunes. Con el determinante, $P_{r} P_{s} = (4, 4, - 5)$ :
$114 1 - 1 4 00 - 5 = - 5 (- 1 - 1) = 10 \neq = 0$
Las rectas se cruzan.

Apartado b

1. El plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$ tiene como vectores directores $d_{s}$ y $d_{r}$ : su normal es $d_{s} \times d_{r}$ .
$n = (1, - 1, 0) \times (1, 1, 0) = (0, 0, 2) ∥ (0, 0, 1)$
2. Por un punto de $s$ , $(4, 4, 5)$ : $z = 5$ .
$z + D = 0, 5 + D = 0$
$π : z - 5 = 0$
Contiene a $s$ ( $z = 5$ en todos sus puntos) y es paralelo a $r$ ( $d_{r} \cdot (0, 0, 1) = 0$ ).

Apartado c

1. La distancia entre las rectas que se cruzan es la distancia de $r$ al plano paralelo que contiene a $s$ . Tomamos $(0, 0, 10) \in r$ .
$d (r, s) = d ((0, 0, 10), z - 5 = 0) = \frac{∣10 - 5∣}{1} = 5$
$d (r, s) = 5$
Con la fórmula del producto mixto: $\frac{∣10∣}{∣ ( 1 , 1 , 0 ) \times ( 1 , - 1 , 0 ) ∣} = \frac{10}{2} = 5$ .

B.3Opción B10 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 3 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

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Un club deportivo alquila un avión de 80 plazas para realizar un viaje a la empresa VR. Hay 60 miembros del club que han reservado su billete. En el contrato de alquiler se indica que el precio de un billete será 800 euros si sólo viajan 60 personas, pero que el precio por billete disminuye en 10 euros por cada viajero adicional a partir de esos 60 viajeros que ya han reservado el billete. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a)El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros.
b)El total que cobra la empresa VR si viajan $60 + x$ pasajeros, siendo $0 \leq x \leq 20$ .
c)El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR.

Apartado a

1. Con $60 + x$ viajeros, el precio de cada billete es $800 - 10 x$ . Para 61, 70 y 80 viajeros: $x = 1$ , $x = 10$ y $x = 20$ .
$61 \cdot 790 = 48190, 70 \cdot 700 = 49000, 80 \cdot 600 = 48000$
$48190$ €, $49000$ € y $48000$ €

Apartado b

1. Total = número de viajeros × precio del billete.
$T (x) = (60 + x) (800 - 10 x) = 48000 - 600 x + 800 x - 10 x^{2}$
$T (x) = - 10 x^{2} + 200 x + 48000, 0 \leq x \leq 20$

Apartado c

1. Derivamos e igualamos a cero.
$T^{'} (x) = - 20 x + 200 = 0 \Rightarrow x = 10$
2. Es máximo porque $T^{''} (x) = - 20 < 0$ . Comparamos con los extremos del intervalo: $T (0) = 48000$ y $T (20) = 48000$ , menores que $T (10)$ .
$T (10) = 70 \cdot 700 = 49000$
Maximiza el ingreso con $60 + 10 = 70$ pasajeros (ingreso $49000$ €)