Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2024 · Ordinaria 2024

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Define velocidad de escape de un planeta y deduce su expresión. ¿Cuánto cambia dicha velocidad si se duplica la masa del cuerpo que escapa? Justifica la respuesta.

1. Definición
Velocidad de escape: velocidad mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito (con velocidad nula allí)
$E_{m} = 0$ en el infinito
—
2. Deducción
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$
$v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
Conservación de la energía mecánica (solo fuerza gravitatoria).
3. Masa del cuerpo
$m$ se simplifica en la ecuación anterior
No cambia: $v_{e}$ no depende de $m$
Al duplicar $m$ se duplican $E_{c}$ y $∣ E_{p} ∣$ , y el balance es el mismo.

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Un satélite artificial se encuentra a una altura de 500 km sobre la superficie de un planeta. El campo gravitatorio en la superficie del planeta es de 8 m/s $^{2}$ . ¿Cuál es la aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra el satélite? ¿A qué altura sobre la superficie el valor de la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad del valor en su superficie? Dato: radio del planeta, $R = 5000$ km. Utiliza exclusivamente los datos aportados en el enunciado.

Distancia al centro: r = R + h = 5500 km (unidades: 10³ km)

Apartado a

1. Gravedad a la altura $h$
$g = g_{0} (\frac{R}{R + h})^{2} = 8 (\frac{5000}{5500})^{2}$
$g \approx 6, 61$ m/s $^{2}$
Se deduce de $g = GM / r^{2}$ y $g_{0} = GM / R^{2}$ : no hace falta conocer $G$ ni $M$ .

Apartado b

1. Altura donde $g = g_{0} /2$
$(\frac{R}{R + h})^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow R + h = 2 R$
$h = (2 - 1) R \approx 2071$ km
—

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La línea discontinua de la figura representa la trayectoria de una carga $q$ entre las posiciones 1 y 2 dentro de un campo magnético uniforme $B$ . Escribe el nombre y la expresión de la fuerza que el campo ejerce sobre dicha carga. Determina razonadamente el signo de la carga. Explica cuál sería la forma de la trayectoria si por el punto 1 entrara un neutrón con velocidad $v$ .

1. Fuerza
Fuerza de Lorentz (magnética): $F = q v \times B$
$∣ F ∣ = q v B sin θ$
Perpendicular a $v$ y a $B$ ; no realiza trabajo.
2. Signo de la carga
En 1: $v = v j$ , $B = B k$ (saliente): $v \times B = v B i$ . La trayectoria curva hacia $+ x$ , luego $F ∥ + i$
$q > 0$
Si la carga fuera negativa, la fuerza iría hacia $- x$ y la trayectoria curvaría a la izquierda.
3. Neutrón
Carga nula: $F = q v \times B = 0$
Trayectoria rectilínea y uniforme
El neutrón sigue en línea recta con velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme).

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Un hilo conductor rectilíneo de gran longitud, situado a lo largo del eje $X$ , transporta una corriente $I = 50$ A en sentido positivo. Determina las coordenadas de los puntos sobre el eje $Y$ en los que el módulo del campo magnético generado sea $B = 1 0^{- 5}$ T. Representa la corriente, las líneas de campo magnético y el vector $B$ en dichos puntos. Escribe la expresión vectorial del campo magnético en dichos puntos. Dato: $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.

B = μ₀I/(2πr) = 10⁻⁵ T a r = 1 m

1. Módulo del campo de un hilo
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d} \Rightarrow d = \frac{μ _{0} I}{2 π B} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 50}{1 0 ^{- 5}}$
$d = 1$ m
Distancia al hilo (el eje $X$ ).
2. Puntos
Puntos del eje $Y$ a 1 m del eje $X$
$(0, 1, 0)$ m y $(0, - 1, 0)$ m
Dos puntos simétricos.
3. Vectores
$B ∥ I \times \overset{r}{^}$ : en $(0, 1)$ : $\overset{}{^} \times \overset{}{^} = \hat{k}$ ; en $(0, - 1)$ : $\overset{}{^} \times (- \overset{}{^}) = - \hat{k}$
$B = + 1 0^{- 5} k$ T en $(0, 1)$ ; $B = - 1 0^{- 5} k$ T en $(0, - 1)$
Líneas de campo: circunferencias concéntricas alrededor del hilo en planos perpendiculares a él; sentido por la regla de la mano derecha (en $y > 0$ saliente, en $y < 0$ entrante).

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En la gráfica adjunta se muestra la energía cinética en función del tiempo de una partícula con movimiento armónico simple. Deduce razonadamente el valor de la energía mecánica del cuerpo, su energía potencial en el instante $t = 0, 4$ s, el periodo del movimiento y la frecuencia angular.

1. Energía mecánica
$E_{m} = E_{c} + E_{p}$ ; cuando $E_{c}$ es máxima, $E_{p} = 0$ (posición de equilibrio)
$E_{m} = E_{c, ma x} = 1$ J
Lectura de la gráfica: máximo de 1 J.
2. Energía potencial en $t = 0, 4$ s
En $t = 0, 4$ s $E_{c} = 0$ (la gráfica toca el eje): $E_{p} = E_{m} - E_{c} = 1 - 0$
$E_{p} (0, 4) = 1$ J
La partícula está en un extremo.
3. Periodo
$E_{c}$ se repite cada 0,4 s (de máximo a máximo: 0,2 → 0,6 s); $E_{c} \propto sin^{2} (ω t)$ tiene periodo $T /2$
$T = 0, 8$ s
$E_{c}$ y $E_{p}$ oscilan al doble de frecuencia que $x$ .
4. Frecuencia angular
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0 , 8}$
$ω = 2, 5 π \approx 7, 85$ rad/s
—

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Un rayo de luz se propaga por una fibra de cuarzo rodeada de aire. Tras incidir sobre la superficie cuarzo-aire con un ángulo $θ = 41, 8^{\circ}$ , se propaga paralelamente al eje de la fibra, como indica la figura. Explica qué ocurre si el ángulo de incidencia es mayor que $41, 8^{\circ}$ y nombra el fenómeno. Calcula el índice de refracción del cuarzo. Dato: $n_{a} = 1, 00$ .

A 41,8° el rayo refractado sale a 90°: es el ángulo límite

1. Fenómeno
El rayo refractado sale rasante (a $9 0^{\circ}$ ): $θ = 41, 8^{\circ}$ es el ángulo límite o crítico
Si $θ > 41, 8^{\circ}$ : reflexión total interna
No hay rayo refractado; toda la luz se refleja en la superficie y sigue guiada por la fibra.
2. Ley de Snell
$n_{c} sin θ = n_{a} sin 9 0^{\circ} \Rightarrow n_{c} = \frac{1 , 00}{sin 41 , 8 ^{\circ}} = \frac{1}{0 , 6665}$
$n_{c} \approx 1, 50$
Condición: pasa de medio más refringente a menos refringente.

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Explica qué es la dualidad onda-corpúsculo y escribe la expresión de la longitud de onda de De Broglie. Calcula la longitud de onda de De Broglie de una espora del hongo Pilobolus kleinii que se mueve a 20 m/s, sabiendo que la masa de un millón de esporas es de 1,0 g. Dato: $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.

1. Dualidad onda-corpúsculo
Toda partícula en movimiento tiene también comportamiento ondulatorio (y la luz, corpuscular)
$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
Hipótesis de De Broglie (1924), confirmada con la difracción de electrones.
2. Masa de una espora
$m = \frac{1 , 0 g}{1 0 ^{6}} = 1 0^{- 6} g = 1 0^{- 9} kg$
$m = 1, 0 \cdot 1 0^{- 9}$ kg
—
3. Longitud de onda
$λ = \frac{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 0 ^{- 9} \cdot 20}$
$λ = 3, 3 \cdot 1 0^{- 26}$ m
Muy inferior a cualquier tamaño: el carácter ondulatorio es inobservable a escala macroscópica.

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Explica brevemente en qué consisten la radiación alfa y la radiación beta y cómo se modifica el núcleo atómico que las emite. Halla razonadamente el número atómico y el número másico del elemento final producido a partir del $_{86}^{222}$ Rn, después de que emita una partícula $α$ y a continuación el producto emita una partícula $β^{-}$ .

1. Radiación alfa
Emisión de un núcleo de helio $_{2}^{4}$ He
$Z \to Z - 2$ , $A \to A - 4$
—
2. Radiación beta (−)
Un neutrón se convierte en protón: $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}$ ; se emite un electrón
$Z \to Z + 1$ , $A$ igual
—
3. Cadena
$_{86}^{222} Rn α_{84}^{218} Po β^{-}_{85}^{218} At$
Elemento final: $_{85}^{218}$ At ( $Z = 85$ , $A = 218$ )
—

P12 puntos

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Dos cargas puntuales, $q_{1} = 4 μ$ C y $q_{2} = - 2 μ$ C, se encuentran en $(0, 0)$ m y $(1, 0)$ m respectivamente. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ C $^{- 2}$ .

a)Calcula razonadamente el vector campo eléctrico total en el punto $(1, 1)$ m. Representa gráficamente en dicho punto los vectores campo eléctrico involucrados.
b)Razona por qué el campo total sobre puntos del eje $X$ solo se puede anular cuando $x > 1$ m. Calcula razonadamente el punto en que dicho campo se anula.

Apartado a

1. Campo de $q_{1}$ en $(1, 1)$
$r_{1} = 2$ m; $E_{1} = \frac{k q _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2} = 1, 8 \cdot 1 0^{4}$ N/C; repulsiva, dirección $(1, 1) / 2$
$E_{1} = (1, 27 \cdot 1 0^{4}, 1, 27 \cdot 1 0^{4})$ N/C
$18000/ 2 = 12728$ .
2. Campo de $q_{2}$ en $(1, 1)$
$r_{2} = 1$ m; $E_{2} = \frac{k q _{2}}{1} = 1, 8 \cdot 1 0^{4}$ N/C; atractiva hacia $(1, 0)$ : sentido $- j$
$E_{2} = (0, - 1, 8 \cdot 1 0^{4})$ N/C
—
3. Campo total
$E = E_{1} + E_{2} = (12728, 12728 - 18000)$
$E \approx (1, 27 \cdot 1 0^{4}, - 5, 27 \cdot 1 0^{3})$ N/C; $∣ E ∣ \approx 1, 38 \cdot 1 0^{4}$ N/C
Ángulo $\approx - 22, 5^{\circ}$ con el eje $X$ . Dibujar $E_{1}$ (hacia arriba-derecha) y $E_{2}$ (hacia abajo) con origen en el punto.

Apartado b

1. Razonamiento sobre el eje $X$
$x < 0$ : $E_{1}$ y $E_{2}$ tienen sentidos opuestos, pero $∣ E_{1} ∣ > ∣ E_{2} ∣$ (más carga y más cerca). $0 < x < 1$ : ambos apuntan a $+ x$ (repulsión de $q_{1}$ , atracción hacia $q_{2}$ ) y se suman. $x > 1$ : $E_{1}$ apunta a $+ x$ y $E_{2}$ a $- x$
El campo solo puede anularse en $x > 1$ m
—
2. Punto de campo nulo
$\frac{k ∣ q _{1} ∣}{x ^{2}} = \frac{k ∣ q _{2} ∣}{( x - 1 ) ^{2}} \Rightarrow \frac{x - 1}{x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{1 - 1/ 2} = 2 + 2 \approx 3, 41$ m
Comprobación: $4/3, 4 1^{2} = 2/2, 4 1^{2} = 0, 343$ (en unidades de $k \cdot 1 0^{- 6}$ ).

P22 puntos

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Una ballena azul emite un sonido de frecuencia 25 Hz por agua de mar. Se considera que es una onda armónica y unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje $X$ a 1500 m/s. En $t = 0$ s y $x = 0$ m la función de onda se encuentra en un máximo, de valor 32 $μ$ m. Determina:

a)La longitud de onda y la fase inicial. Escribe la función de onda en unidades del SI. Utiliza la función seno.
b)El valor de la función de onda y la velocidad de vibración de una partícula del medio situada en $x = 300$ m para el instante $t = 1$ s.

Apartado a

1. Longitud de onda
$λ = \frac{v}{f} = \frac{1500}{25}$
$λ = 60$ m
—
2. Fase inicial
$y = A sin (ω t - k x + φ_{0})$ , en $(0, 0)$ es máximo: $sin φ_{0} = 1$
$φ_{0} = π /2$ rad
—
3. Función de onda
$ω = 2 π f = 50 π$ rad/s; $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{π}{30}$ rad/m
$y (x, t) = 32 \cdot 1 0^{- 6} sin (50 π t - \frac{π}{30} x + \frac{π}{2})$ m
Onda hacia $+ x$ : signos opuestos en $ω t$ y $k x$ .

Apartado b

1. Elongación en $x = 300$ m, $t = 1$ s
Fase $= 50 π - 10 π + \frac{π}{2} = 40 π + \frac{π}{2}$
$y = 32 \cdot 1 0^{- 6} sin (40 π + π /2) = 3, 2 \cdot 1 0^{- 5}$ m $= 32 μ$ m
Está en un máximo.
2. Velocidad de vibración
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = A ω cos (ω t - k x + φ_{0}) = 32 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 50 π cos (40 π + \frac{π}{2})$
$v_{y} = 0$
En un máximo de elongación la velocidad de vibración es nula.

P32 puntos

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En la figura se representa una lente delgada $L$ , un objeto $O$ y la posición de la imagen $O^{'}$ que se produce.

a)Calcula la potencia de la lente, la distancia focal y razona si la lente es convergente o divergente.
b)Realiza un trazado de rayos y razona las características de la imagen. Calcula numéricamente su tamaño.

Apartado a

1. Posiciones (criterio DIN)
$s = - 4$ cm (objeto a la izquierda); $s^{'} = + 12$ cm (imagen a la derecha)
$s = - 0, 04$ m; $s^{'} = + 0, 12$ m
Un cuadro = 2 cm (escala de la figura).
2. Ecuación de Gauss
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 12} + \frac{1}{0 , 04} = 8, 33 + 25 = 33, 3 m^{- 1}$
$P = 33, 3$ D; $f^{'} = 3$ cm
—
3. Tipo de lente
$f^{'} > 0$ ( $P > 0$ )
Lente convergente
Una lente divergente nunca forma imagen real.

Apartado b

1. Aumento y tamaño
$A = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{12}{- 4} = - 3$
$y^{'} = - 3 \cdot 2 = - 6$ cm
—
2. Características
$s^{'} > 0$ y $A < 0$
Imagen real, invertida y mayor (3 veces)
Trazado: rayo paralelo al eje que sale por el foco imagen; rayo por el centro óptico sin desviarse; se cruzan a 12 cm tras la lente.

P42 puntos

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Los muones son partículas elementales, con carga eléctrica negativa, que se forman en las partes altas de la atmósfera y se mueven a velocidades relativistas hacia la superficie de la Tierra. Un muon se forma a 9000 m de altura sobre la superficie de la Tierra y desciende verticalmente con velocidad $v = 0, 9978 c$ . Calcula razonadamente: Datos: $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; masa en reposo del muon, $m = 1, 8 \cdot 1 0^{- 28}$ kg; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

a)La energía en reposo y la energía total del muon en electronvoltios.
b)El intervalo de tiempo que tarda dicho muon en alcanzar la superficie, medido en un sistema de referencia ligado a la Tierra y medido en un sistema de referencia que viaje con el muon.

Distancia medida en el sistema de la Tierra

Apartado a

1. Energía en reposo
$E_{0} = m c^{2} = 1, 8 \cdot 1 0^{- 28} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2} = 1, 62 \cdot 1 0^{- 11}$ J $= \frac{1 , 62 \cdot 1 0 ^{- 11}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$ eV
$E_{0} = 1, 01 \cdot 1 0^{8}$ eV (101 MeV)
—
2. Factor de Lorentz
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 997 8 ^{2}} = \frac{1}{4 , 395 \cdot 1 0 ^{- 3}}$
$γ \approx 15, 1$
—
3. Energía total
$E = γ E_{0} = 15, 08 \cdot 1, 0125 \cdot 1 0^{8}$
$E \approx 1, 53 \cdot 1 0^{9}$ eV (1,53 GeV)
—

Apartado b

1. Tiempo en la Tierra
$Δ t = \frac{d}{v} = \frac{9000}{0 , 9978 \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}$
$Δ t \approx 3, 01 \cdot 1 0^{- 5}$ s
Tiempo medido en el sistema ligado a la Tierra (tiempo coordenado).
2. Tiempo propio del muon
$Δ t_{0} = \frac{Δ t}{γ} = \frac{3 , 007 \cdot 1 0 ^{- 5}}{15 , 08}$
$Δ t_{0} \approx 1, 99 \cdot 1 0^{- 6}$ s
Equivale a la longitud contraída $d / γ = 597$ m recorrida a $v$ .