Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2022 · Ordinaria 2022

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
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Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de un satélite que gira alrededor de un planeta en una órbita circular y también la de la velocidad mínima necesaria para que se aleje indefinidamente desde la órbita en la que se encuentra. Supongamos que un satélite orbita a una distancia $r$ de un planeta y se propulsa instantáneamente, de forma que su velocidad pasa a ser 1,5 veces la velocidad orbital: ¿continuará dicho satélite en alguna órbita o se alejará indefinidamente del planeta? Justifica la respuesta.

1. Velocidad orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v _{o}^{2}}{r}$
$v_{o} = \frac{GM}{r}$
—
2. Velocidad de escape desde la órbita
$\frac{1}{2} m v_{e}^{2} - \frac{GM m}{r} = 0$
$v_{e} = \frac{2 GM}{r} = 2 v_{o}$
Energía mecánica nula (llega al infinito en reposo).
3. Con $v = 1, 5 v_{o}$
$1, 5 > 2 \approx 1, 414$ ; $E_{m} = \frac{1}{2} m (1, 5 v_{o})^{2} - \frac{GM m}{r} = \frac{GM m}{r} (1, 125 - 1)$
$E_{m} = 0, 125 \frac{GM m}{r} > 0$ : se aleja indefinidamente
Con $E_{m} > 0$ la trayectoria no es cerrada (hipérbola).

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El potencial eléctrico en el punto A de la figura es nulo y $q_{2} = 1$ nC. Determina el valor de la carga $q_{1}$ y el potencial eléctrico en el punto B. Dato: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

1. Potencial en A
$V_{A} = k (\frac{q _{1}}{4} + \frac{q _{2}}{5}) = 0$ (distancias: $4$ m a $q_{1}$ , $4^{2} + 3^{2} = 5$ m a $q_{2}$ )
$q_{1} = - \frac{4}{5} q_{2}$
—
2. Valor de $q_{1}$
$q_{1} = - 0, 8 \cdot 1$ nC
$q_{1} = - 0, 8$ nC
—
3. Potencial en B
$V_{B} = k (\frac{q _{1}}{5} + \frac{q _{2}}{4}) = 9 \cdot 1 0^{9} (- 1, 6 \cdot 1 0^{- 10} + 2, 5 \cdot 1 0^{- 10})$
$V_{B} = 0, 81$ V
B está a 5 m de $q_{1}$ y 4 m de $q_{2}$ .

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Una partícula cargada entra con velocidad constante $v$ en el seno de un campo magnético uniforme no nulo $B$ . Escribe qué fuerza aparece sobre la partícula y razona en qué condiciones esta será nula y en qué condiciones será máxima.

1. Fuerza
Fuerza de Lorentz magnética: $F = q v \times B$ , $∣ F ∣ = q v B sin θ$
—
—
2. Nula
$sin θ = 0$ : $v ∥ B$ (o $v = 0$ , o $q = 0$ )
$F = 0$ si $v$ y $B$ son paralelos
—
3. Máxima
$sin θ = 1$ : $v ⊥ B$
$F_{ma x} = q v B$
—

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Por un hilo rectilíneo indefinido circula una corriente uniforme de intensidad $I$ . Escribe la expresión del módulo del vector campo magnético $B$ generado por dicha corriente y dibuja razonadamente dicho vector en un punto P situado a una distancia $d$ del hilo. Si el módulo del campo magnético en ese punto es de 100 $μ$ T, deduce cuánto valdrá en un punto que se encuentre a una distancia $d /2$ (expresa el resultado en teslas).

B ∝ 1/d: a d/2 el campo se duplica

1. Módulo
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$
$B \propto 1/ d$
Dirección: tangente a una circunferencia centrada en el hilo (regla de la mano derecha); sentido según el de $I$ .
2. A $d /2$
$B^{'} = \frac{μ _{0} I}{2 π ( d /2 )} = 2 B = 2 \cdot 100 μ T$
$B^{'} = 2 \cdot 1 0^{- 4}$ T
—

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Una fuente sonora puntual de potencia $1, 26 \cdot 1 0^{- 4}$ W emite uniformemente en todas las direcciones. Calcula la intensidad $I$ a 10 m de la fuente. ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora en decibelios a dicha distancia de la fuente? Dato: $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W m $^{- 2}$ .

La potencia se reparte por igual en toda la esfera

1. Intensidad
$I = \frac{P}{4 π r ^{2}} = \frac{1 , 26 \cdot 1 0 ^{- 4}}{4 π \cdot 1 0 ^{2}}$
$I \approx 1, 00 \cdot 1 0^{- 7}$ W/m $^{2}$
—
2. Nivel
$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}}$
$β = 50$ dB
—

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En la figura se muestra una lente, la posición de un objeto $O$ y la de la imagen $O^{'}$ que la lente genera de dicho objeto. Determina la distancia focal imagen de la lente, la potencia de la lente en dioptrías y el tamaño de la imagen si el objeto mide 2 cm.

1. Datos (DIN)
$s = - 10$ cm; $s^{'} = - 50$ cm (imagen virtual, más alejada que el objeto, mismo lado)
—
Un cuadro = 10 cm.
2. Distancia focal
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = - \frac{1}{50} + \frac{1}{10} = \frac{4}{50}$
$f^{'} = + 12, 5$ cm
Convergente (lupa: objeto dentro del foco).
3. Potencia
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 125}$
$P = + 8$ D
—
4. Tamaño
$A = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 50}{- 10} = 5; y^{'} = 5 \cdot 2$
$y^{'} = + 10$ cm
Imagen virtual, derecha y mayor.

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Al iluminar un determinado cátodo con radiación monocromática de frecuencia $f = 6, 1 \cdot 1 0^{14}$ Hz se produce efecto fotoeléctrico. Se mide el valor del potencial de frenado $Δ V$ y resulta 0,23 V. Calcula el valor de la frecuencia umbral $f_{0}$ y determina el metal que constituye el cátodo. Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; trabajos de extracción: potasio 2,3 eV, aluminio 4,3 eV, cobre 4,7 eV.

1. Energía del fotón y del frenado
$h f = W_{0} + q Δ V$ : $h f = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 6, 1 \cdot 1 0^{14} = 4, 026 \cdot 1 0^{- 19}$ J; $q Δ V = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 0, 23 = 3, 68 \cdot 1 0^{- 20}$ J
$W_{0} = 4, 026 \cdot 1 0^{- 19} - 3, 68 \cdot 1 0^{- 20} = 3, 658 \cdot 1 0^{- 19}$ J
—
2. Frecuencia umbral
$f_{0} = \frac{W _{0}}{h} = \frac{3 , 658 \cdot 1 0 ^{- 19}}{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}$
$f_{0} \approx 5, 54 \cdot 1 0^{14}$ Hz
—
3. Metal
$W_{0} = \frac{3 , 658 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} eV$
$W_{0} = 2, 29$ eV: potasio
Coincide con 2,3 eV.

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Un núcleo de $_{27}^{60}$ Co se desintegra según la reacción $_{27}^{60} Co \to_{28}^{60} Ni^{*} +_{a}^{b} X$ . Razona qué partícula es $X$ . Posteriormente, el núcleo de níquel excitado, $_{28}^{60} Ni^{*}$ , emite dos fotones de energías 1,17 y 1,33 MeV. Si en un segundo se emiten $1 0^{10}$ fotones de cada tipo, calcula la energía por unidad de tiempo (en vatios) que produce la emisión. Dato: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

1. Balance
Carga: $27 = 28 + a \Rightarrow a = - 1$ ; masa: $60 = 60 + b \Rightarrow b = 0$
$X =_{- 1}^{0} e$ : electrón ( $β^{-}$ , junto con un antineutrino)
—
2. Energía por segundo
$E = 1 0^{10} (1, 17 + 1, 33) MeV = 2, 5 \cdot 1 0^{10} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 13}$ J
$P = 4, 0 \cdot 1 0^{- 3}$ W
$1$ MeV $= 1, 6 \cdot 1 0^{- 13}$ J.

P12 puntos

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Un planeta de radio $R_{P} = 5000$ km que tiene una intensa actividad volcánica emite fragmentos en las erupciones que pueden llegar a orbitar circularmente a una altura $h = 400$ km, donde el campo gravitatorio del planeta vale $g = 7$ m/s $^{2}$ .

a)Deduce las expresiones de la velocidad orbital y de la energía mecánica de un fragmento de masa $m = 2$ kg que se encuentra en dicha órbita y calcula también sus valores numéricos.
b)Calcula el campo gravitatorio en la superficie del planeta y la velocidad con la que el fragmento ha sido emitido desde dicha superficie.

Apartado a

1. Velocidad orbital
$g = \frac{GM}{r ^{2}}$ con $r = R_{P} + h = 5400$ km; $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r} = g r$
$v = 7 \cdot 5, 4 \cdot 1 0^{6} \approx 6148$ m/s
$GM = g r^{2} = 2, 04 \cdot 1 0^{14}$ m $^{3}$ /s $^{2}$ .
2. Energía mecánica
$E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r} = - \frac{GM m}{2 r} = - \frac{m g r}{2} = - \frac{2 \cdot 7 \cdot 5 , 4 \cdot 1 0 ^{6}}{2}$
$E_{m} = - 3, 78 \cdot 1 0^{7}$ J
—

Apartado b

1. Campo en la superficie
$g_{0} = g (\frac{r}{R _{P}})^{2} = 7 (\frac{5400}{5000})^{2}$
$g_{0} \approx 8, 16$ m/s $^{2}$
—
2. Velocidad de emisión
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{GM m}{R _{P}} = - \frac{GM m}{2 r} \Rightarrow v_{0} = 2 GM (\frac{1}{R _{P}} - \frac{1}{2 r})$
$v_{0} \approx 6, 62 \cdot 1 0^{3}$ m/s
—

P22 puntos

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Una carga puntual fija $q_{1} = 1 0^{- 9}$ C se encuentra situada a 1 m de otra carga puntual fija $q_{2} = - 2 q_{1}$ . Datos: $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ ; $m_{p} = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

a)Determina el punto de la recta que contiene las cargas en el cual el campo eléctrico es nulo.
b)Un protón con velocidad inicial nula se deja libre entre $q_{1}$ y $q_{2}$ , a 90 cm de $q_{2}$ . Determina la diferencia de energía potencial del protón entre el punto inicial y un punto situado a 10 cm de $q_{2}$ . ¿Qué velocidad tendrá el protón cuando alcance este último punto?

Apartado a

1. Zona posible
Entre las cargas ambos campos apuntan hacia $q_{2}$ y se suman; más allá de $q_{2}$ domina $q_{2}$ (mayor carga y más cerca); el campo solo puede anularse al lado de la carga menor, fuera del segmento (a la izquierda de $q_{1}$ )
Punto en $x < 0$ (eje con $q_{1}$ en 0 y $q_{2}$ en 1 m)
—
2. Valor
$\frac{k q _{1}}{x ^{2}} = \frac{k 2 q _{1}}{( x + 1 ) ^{2}} \Rightarrow \frac{x + 1}{x} = 2$
$x = \frac{1}{2 - 1} = 2, 41$ m a la izquierda de $q_{1}$ (a 3,41 m de $q_{2}$ )
—

Apartado b

1. Potenciales
$V = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}})$ ; inicio ( $r_{1} = 0, 1$ , $r_{2} = 0, 9$ ): $V_{i} = 9 \cdot 1 0^{9} (\frac{1 0 ^{- 9}}{0 , 1} - \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 9}) = 70$ V; final ( $r_{1} = 0, 9$ , $r_{2} = 0, 1$ ): $V_{f} = 9 \cdot 1 0^{9} (\frac{1 0 ^{- 9}}{0 , 9} - \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 1}) = - 170$ V
$V_{i} = 70$ V; $V_{f} = - 170$ V
—
2. Diferencia de energía potencial
$Δ E_{p} = q (V_{f} - V_{i}) = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot (- 240)$
$Δ E_{p} = - 3, 84 \cdot 1 0^{- 17}$ J
—
3. Velocidad
$\frac{1}{2} m_{p} v^{2} = - Δ E_{p} \Rightarrow v = \frac{2 \cdot 3 , 84 \cdot 1 0 ^{- 17}}{1 , 67 \cdot 1 0 ^{- 27}}$
$v \approx 2, 14 \cdot 1 0^{5}$ m/s
Conservación de la energía mecánica (parte del reposo).

P32 puntos

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La función que representa una onda es $y (x, t) = 2 sin (π t - 8 π x)$ , donde $x$ e $y$ están expresadas en metros y $t$ en segundos. Calcula razonadamente:

a)La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda.
b)La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto situado a 1 m del foco emisor, para $t = 8$ s.

Apartado a

1. Identificación
$y = A sin (ω t - k x)$ : $A = 2$ m, $ω = π$ rad/s, $k = 8 π$ rad/m
$A = 2$ m
—
2. Periodo, frecuencia y longitud de onda
$T = \frac{2 π}{ω} = 2 s; f = \frac{1}{T} = 0, 5 Hz; λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{8 π}$
$T = 2$ s; $f = 0, 5$ Hz; $λ = 0, 25$ m
—

Apartado b

1. Velocidad de propagación
$v = λ f = 0, 25 \cdot 0, 5 = \frac{ω}{k}$
$v = 0, 125$ m/s
—
2. Velocidad de vibración
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = 2 π cos (π t - 8 π x)$ ; en $x = 1$ , $t = 8$ : $cos (8 π - 8 π) = cos 0 = 1$
$v_{y} = 2 π \approx 6, 28$ m/s
—

P42 puntos

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El mesón $J / ψ$ tiene una vida media de $7, 2 \cdot 1 0^{- 21}$ s en su sistema de referencia y de $1, 1 \cdot 1 0^{- 20}$ s cuando se mueve a velocidad relativista respecto a un sistema de referencia ligado al laboratorio. Calcula razonadamente: Datos: masa en reposo del mesón $J / ψ$ , $m_{0} = 5, 52 \cdot 1 0^{- 27}$ kg; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

a)El valor de la velocidad respecto al laboratorio.
b)La energía cinética y la energía total, en MeV, en ambos sistemas de referencia.

Apartado a

1. Factor de Lorentz
$Δ t = γ Δ t_{0} \Rightarrow γ = \frac{1 , 1 \cdot 1 0 ^{- 20}}{7 , 2 \cdot 1 0 ^{- 21}}$
$γ = 1, 528$
—
2. Velocidad
$v = c 1 - \frac{1}{γ ^{2}} = c 1 - 0, 4284$
$v = 0, 756 c \approx 2, 27 \cdot 1 0^{8}$ m/s
—

Apartado b

1. Energía en reposo
$E_{0} = m_{0} c^{2} = 5, 52 \cdot 1 0^{- 27} \cdot 9 \cdot 1 0^{16} = 4, 968 \cdot 1 0^{- 10}$ J $= \frac{4 , 968 \cdot 1 0 ^{- 10}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 13}}$ MeV
$E_{0} = 3105$ MeV
—
2. Sistema del laboratorio
$E = γ E_{0} = 1, 528 \cdot 3105; E_{c} = E - E_{0}$
$E \approx 4744$ MeV; $E_{c} \approx 1639$ MeV
—
3. Sistema propio del mesón
En reposo: $E_{c} = 0$ , $E = E_{0}$
$E_{c} = 0$ ; $E = 3105$ MeV
—