Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2022 · Extraordinaria 2022

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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El potencial gravitatorio en un punto situado a una distancia $r$ del centro de un planeta es $V = - 9, 1 \cdot 1 0^{8}$ J/kg. La intensidad de campo en la superficie del planeta es $g_{0} = 26$ m/s $^{2}$ y el radio del planeta es $R = 7 \cdot 1 0^{4}$ km. Deduce una relación que proporcione la distancia $r$ en función de $V$ , $R$ y $g_{0}$ y calcula el valor de $r$ .

1. Potencial gravitatorio y campo en la superficie
$V = - \frac{GM}{r}, g_{0} = \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow GM = g_{0} R^{2}$
2. Eliminamos $GM$ y despejamos $r$
$V = - \frac{g _{0} R ^{2}}{r} \Rightarrow r = - \frac{g _{0} R ^{2}}{V}$
$r = - \frac{g _{0} R ^{2}}{V}$
Como $V < 0$ , $r > 0$ .
3. Valor numérico
$r = \frac{26 \cdot ( 7 \cdot 1 0 ^{7} ) ^{2}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{8}}$
$r = 1, 4 \cdot 1 0^{8}$ m $= 1, 4 \cdot 1 0^{5}$ km
Es $r = 2 R$ : el punto está a dos radios del centro.

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Deduce la relación entre la energía mecánica de un satélite y el radio de su órbita circular alrededor de un planeta. Dos satélites, A y B, de igual masa siguen órbitas circulares, uno con energía mecánica $E_{A} = - 4 \cdot 1 0^{10}$ J y otro con $E_{B} = - 2 \cdot 1 0^{10}$ J. Razona cuál de los dos satélites tiene mayor energía cinética y cuál se encuentra más lejos del planeta.

1. Órbita circular: la gravedad es la fuerza centrípeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GM m}{2 r}$
2. Energía mecánica
$E_{m} = E_{c} + E_{p} = \frac{GM m}{2 r} - \frac{GM m}{r}$
$E_{m} = - \frac{GM m}{2 r} = - E_{c}$
La energía mecánica es negativa (órbita ligada) y es igual a menos la cinética.
3. Energía cinética de cada satélite
$E_{c} = - E_{m}$
$E_{c, A} = 4 \cdot 1 0^{10}$ J $> E_{c, B} = 2 \cdot 1 0^{10}$ J
Tiene mayor energía cinética A.
4. Radio de cada órbita
$r = - \frac{GM m}{2 E _{m}}$
$r_{B} = 2 r_{A}$
Con $m$ y $M$ iguales, a menor $∣ E_{m} ∣$ mayor radio: B está más lejos (el doble de lejos).

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Una carga de $3 μ$ C entra con velocidad $v = 1 0^{4} $ m/s en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico $E = 1 0^{4} $ N/C y un campo magnético $B = ( + k)$ T. Determina el valor de las fuerzas eléctrica, magnética y total que actúan sobre la carga.

1. Fuerza eléctrica
$F_{e} = q E = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{4} $
$F_{e} = 0, 03 $ N
2. Fuerza magnética
$F_{m} = q v \times B = 3 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{4} ( \times ( + k))$ , con $ \times  = 0$ y $ \times k = - $
$F_{m} = - 0, 03 $ N
Solo cuenta la componente de $B$ perpendicular a $v$ ( $B_{z} = 1$ T).
3. Fuerza total (Lorentz)
$F = F_{e} + F_{m} = 0, 03  - 0, 03 $
$F = 0$
La partícula no se desvía: se mueve en línea recta con velocidad constante (selector de velocidades).

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El circuito de la figura está formado por una barra metálica que desliza sobre un conductor en forma de $⊐$ . Sobre dicho circuito actúa un campo magnético perpendicular al plano $x y$ , como aparece en la figura. Razona por qué se genera una corriente inducida en el circuito y cuál es su sentido (indícalo claramente con un dibujo). Escribe la ley física en la que te basas para responder, indicando las magnitudes que aparecen en ella.

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}, Φ = B \cdot S = B S cos α$
$ε$ es la fuerza electromotriz inducida (V), $Φ$ el flujo magnético (Wb), $B$ el campo (T), $S$ el área del circuito (m²) y $α$ el ángulo entre $B$ y la normal a la superficie.
2. Por qué aparece corriente
La barra se desplaza con velocidad $v$ hacia $+ x$ : el área del circuito aumenta ( $S = L x$ ) y, con $B$ constante, el flujo aumenta en el tiempo
$ε = - B L v \neq = 0$
Como el flujo varía, aparece una fem inducida y, al ser el circuito cerrado, una corriente.
3. Sentido (Lenz)
$B$ entra en el plano ( $\otimes$ , sentido $- z$ ) y el flujo aumenta; la corriente inducida crea un campo que se opone al aumento, es decir, saliente ( $+ z$ ) dentro de la espira
Corriente en sentido antihorario
Por la regla de la mano derecha, un campo saliente en el interior corresponde a una corriente antihoraria (en la barra, hacia arriba).

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Una onda transversal en una cuerda viene descrita por la función $y (x, t) = a sin (2 π b t - c x)$ . ¿Qué magnitudes físicas representan $a$ , $b$ y $c$ ? ¿Cuáles son sus unidades en el Sistema Internacional? ¿Qué información aporta sobre la onda el signo negativo de la expresión? ¿Qué magnitud física representa el cociente $2 π b / c$ ?

1. Comparamos con la forma general
$y = A sin (ω t - k x)$ , con $ω = 2 π f$ y $k = 2 π / λ$
$a = A$ (amplitud, m); $b = f$ (frecuencia, Hz $=$ s $^{- 1}$ ); $c = k$ (número de onda, rad/m $=$ m $^{- 1}$ )
2. Signo negativo
Fase $φ = ω t - k x$ constante $\Rightarrow x = \frac{ω}{k} t + cte$
La onda se propaga en el sentido positivo del eje $x$
Con signo positivo ( $ω t + k x$ ) se propagaría hacia $- x$ .
3. Cociente
$\frac{2 π b}{c} = \frac{ω}{k} = λ f$
Velocidad de propagación de la onda, $v$ (m/s)

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En el fondo de una piscina llena de agua salada se sitúa un pequeño foco luminoso (ver figura adjunta). Se observa que el rayo A se refracta y sale del agua con un ángulo de refracción de $4 4^{\circ}$ , pero el rayo B no se refracta. Determina el índice de refracción $n$ del líquido y explica razonadamente el motivo por el cual el rayo B no se refracta. Dato: índice de refracción del aire, $n_{ai r e} = 1, 00$ .

Rayo A: refracción; rayo B: ángulo mayor que el límite → reflexión total

1. Ángulo de incidencia del rayo A (figura: sale a 3 cm del foco en horizontal, con 5 cm de profundidad)
$sin θ_{A} = \frac{3}{3 ^{2} + 5 ^{2}} = \frac{3}{34} = 0, 514$
$θ_{A} = 30, 9 6^{\circ}$
2. Ley de Snell en la superficie
$n sin θ_{A} = n_{ai r e} sin 4 4^{\circ} \Rightarrow n = \frac{sin 4 4 ^{\circ}}{0 , 514}$
$n = 1, 35$
3. Ángulo de incidencia del rayo B (sale a 6 cm)
$tan θ_{B} = \frac{6}{5}$
$θ_{B} = 50, 2^{\circ}$
4. Ángulo límite
$sin θ_{c} = \frac{n _{ai r e}}{n} = \frac{1}{1 , 35}$
$θ_{c} = 47, 8^{\circ}$
Es el ángulo de incidencia máximo para el que existe rayo refractado.
5. Conclusión
$θ_{B} = 50, 2^{\circ} > θ_{c} = 47, 8^{\circ}$
Reflexión total interna
Al pasar de un medio más refringente a otro menos refringente con incidencia superior a $θ_{c}$ , $sin θ_{r}$ saldría mayor que 1: no hay refracción y toda la luz se refleja.

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Una persona usa habitualmente gafas con lentes y no sabe si éstas son convergentes o divergentes. Se quita las gafas y situándolas a 30 cm de un objeto obtiene sobre una pared una imagen enfocada a 2,7 m de la gafa. ¿Qué potencia posee la lente? ¿La lente es convergente o divergente? Razona si la persona es miope o hipermétrope.

1. Datos con el convenio DIN
$s = - 0, 30$ m (objeto); imagen real sobre la pared: $s^{'} = + 2, 7$ m
2. Ecuación de Gauss de lentes delgadas
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{2 , 7} + \frac{1}{0 , 30}$
$P = 3, 70$ D
Con unidades en metros la potencia sale en dioptrías.
3. Tipo de lente y defecto
$P > 0 \Rightarrow f^{'} > 0$
Lente convergente; la persona es hipermétrope
Una lente convergente forma imagen real de un objeto cercano, y las gafas convergentes corrigen la hipermetropía (el ojo converge poco); la miopía se corrige con lentes divergentes.

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Calcula la velocidad que debe tener una partícula para que su energía relativista sea el doble de su energía en reposo. ¿Sería posible que la velocidad de la partícula fuera el doble que la calculada anteriormente? Razona la respuesta. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

1. Energía relativista
$E = γ m_{0} c^{2} = 2 m_{0} c^{2} \Rightarrow γ = 2$
2. Velocidad
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 2 \Rightarrow v = c 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{2} c$
$v = 2, 60 \cdot 1 0^{8}$ m/s $(0, 866 c)$
3. Velocidad doble
$2 v = 3 c = 5, 20 \cdot 1 0^{8}$ m/s $> c$
No es posible
Ninguna partícula con masa puede alcanzar $c$ : con $v \to c$ , $γ \to \infty$ y haría falta energía infinita.

P12 puntos

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Una sonda espacial de masa $800$ kg se coloca en órbita circular de radio $6500$ km alrededor de Venus. Si la energía cinética de la sonda es de $2 \cdot 1 0^{10}$ J: Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ .

a)Deduce la expresión de la velocidad orbital de la sonda y calcula la masa de Venus.
b)Si Venus es un planeta esférico de densidad $ρ = 5, 24$ g/cm $^{3}$ obtén la altura, en kilómetros, a la que hay que situar un cuerpo para que la fuerza de atracción gravitatoria que realiza Venus sobre este cuerpo sea un 36 % menor que la ejercida en su superficie.

Apartado a

1. Velocidad orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r}$
2. Velocidad a partir de la energía cinética
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow v = \frac{2 \cdot 2 \cdot 1 0 ^{10}}{800}$
$v = 7071$ m/s
3. Masa de Venus
$M = \frac{v ^{2} r}{G} = \frac{( 7071 ) ^{2} \cdot 6 , 5 \cdot 1 0 ^{6}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11}}$
$M = 4, 87 \cdot 1 0^{24}$ kg

Apartado b

1. Relación entre fuerzas
Fuerza un 36 % menor: $g = 0, 64 g_{0} \Rightarrow \frac{GM}{( R + h ) ^{2}} = 0, 64 \frac{GM}{R ^{2}} \Rightarrow R + h = \frac{R}{0 , 8}$
$h = 0, 25 R$
2. Radio de Venus a partir de la densidad
$M = ρ \frac{4}{3} π R^{3} \Rightarrow R = (\frac{3 M}{4 π ρ})^{1/3} = (\frac{3 \cdot 4 , 87 \cdot 1 0 ^{24}}{4 π \cdot 5240})^{1/3}$
$R = 6, 05 \cdot 1 0^{6}$ m
$ρ = 5, 24$ g/cm $^{3} = 5240$ kg/m $^{3}$ .
3. Altura
$h = 0, 25 \cdot 6, 05 \cdot 1 0^{6}$ m
$h = 1, 51 \cdot 1 0^{6}$ m $= 1514$ km
Sobre la superficie.

P22 puntos

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Una carga puntual $q_{1} = - 5 μ$ C está situada en el punto $A (3, - 4)$ m y otra segunda, $q_{2} = 4 μ$ C, en el punto $B (0, - 5)$ m. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

a)Calcula los vectores campo eléctrico debidos a cada carga y el campo eléctrico total en el origen de coordenadas $O (0, 0)$ m. Representa los tres vectores.
b)Calcula el potencial eléctrico total producido por las dos cargas en el origen de coordenadas. Calcula el trabajo necesario para trasladar una carga $Q = 1 μ$ C desde el infinito hasta dicho punto considerando nulo el potencial en el infinito.

Apartado a

1. Distancias y vectores unitarios hacia $O$
$r_{1} = 3^{2} + 4^{2} = 5$ m, $u_{1} = \frac{( - 3 , 4 )}{5}$ ; $r_{2} = 5$ m, $u_{2} = (0, 1)$
2. Campo de $q_{1}$
$E_{1} = \frac{k q _{1}}{r _{1}^{2}} u_{1} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} ( - 5 \cdot 1 0 ^{- 6} )}{25} (- 0, 6  + 0, 8 )$
$E_{1} = (1080  - 1440 )$ N/C
Carga negativa: el campo apunta hacia la carga, es decir, hacia $A$ .
3. Campo de $q_{2}$
$E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{25} $
$E_{2} = 1440 $ N/C
Carga positiva: el campo se aleja de $B$ (hacia arriba).
4. Campo total y representación
$E = E_{1} + E_{2} = 1080  + (- 1440 + 1440) $
$E = 1080 $ N/C
Dibujo: $E_{1}$ hacia abajo y a la derecha, $E_{2}$ vertical hacia arriba y $E$ horizontal hacia $+ x$ .

Apartado b

1. Potencial total en $O$
$V = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}}) = 9 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{- 5 \cdot 1 0 ^{- 6} + 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{5}$
$V = - 1800$ V
2. Trabajo para traer $Q$ desde el infinito
$W_{e x t} = Δ E_{p} = Q (V_{O} - V_{\infty}) = 1 0^{- 6} \cdot (- 1800)$
$W = - 1, 8 \cdot 1 0^{- 3}$ J
El campo realiza sobre $Q$ un trabajo $+ 1, 8 \cdot 1 0^{- 3}$ J: la carga es atraída, el agente externo no necesita aportar energía.

P32 puntos

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A partir de un objeto de 15 cm se desea obtener una imagen invertida de tamaño $0, 75$ m sobre una pantalla. Para ello se dispone de una lente convergente de 4 dioptrías.

a)¿Dónde hay que colocar el objeto respecto a la lente? ¿Dónde hay que colocar la pantalla? Realiza un trazado de rayos esquemático que represente lo calculado.
b)Supongamos que se rompe la lente anterior y la cambiamos por otra cuya distancia focal imagen es la mitad que la del apartado a). ¿Cuál es la potencia de la nueva lente? Si la distancia entre el objeto y la pantalla es 1,0 m, determina la menor distancia a la que hay que situar la lente del objeto para obtener una imagen enfocada en la pantalla.

Apartado a

1. Aumento lateral
$\frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 75}{15} = - 5 \Rightarrow s^{'} = - 5 s$
2. Ecuación de Gauss con $f^{'} = 1/4$ m
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = P \Rightarrow \frac{1}{- 5 s} - \frac{1}{s} = 4 \Rightarrow - \frac{6}{5 s} = 4$
$s = - 0, 30$ m
Objeto a 30 cm a la izquierda de la lente.
3. Posición de la pantalla
$s^{'} = - 5 s = 1, 5$ m
Pantalla a 1,5 m a la derecha de la lente
Trazado: un rayo paralelo al eje que sale por el foco imagen y otro por el centro óptico sin desviarse se cortan a 1,5 m, formando la imagen real e invertida.

Apartado b

1. Nueva lente
$f_{2}^{'} = \frac{f ^{'}}{2} = 0, 125$ m $\Rightarrow P_{2} = \frac{1}{f _{2}^{'}}$
$P_{2} = 8$ D
2. Condición objeto-pantalla: distancia $d$ lente-objeto y $s^{'} = 1, 0 - d$
$\frac{1}{1 - d} + \frac{1}{d} = 8 \Rightarrow d^{2} - d + 0, 125 = 0 \Rightarrow d = \frac{1 \pm 0 , 5}{2}$
$d = 0, 146$ m o $d = 0, 854$ m
Dos posiciones de la lente que enfocan la imagen.
3. Menor distancia
Se pide la menor: $d = 0, 146$ m
La lente a $14, 6$ cm del objeto ( $s^{'} = 85, 4$ cm)

P42 puntos

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En un experimento de efecto fotoeléctrico, al incidir luz con longitud de onda $λ_{1} = 550$ nm se obtiene una velocidad máxima de los electrones $v = 296$ km/s. Calcula razonadamente: Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J s; $m = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31}$ kg.

a)El trabajo de extracción del metal sobre el que incide la luz (en eV) y la longitud de onda umbral.
b)El momento lineal y la longitud de onda de De Broglie asociada, en nanómetros, de los electrones que salen con velocidad máxima.

Apartado a

1. Energía del fotón incidente
$E_{f} = \frac{h c}{λ _{1}} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{550 \cdot 1 0 ^{- 9}}$
$E_{f} = 3, 62 \cdot 1 0^{- 19}$ J
2. Energía cinética máxima
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (2, 96 \cdot 1 0^{5})^{2}$
$E_{c} = 3, 99 \cdot 1 0^{- 20}$ J
3. Trabajo de extracción (Einstein)
$W = E_{f} - E_{c} = 3, 62 \cdot 1 0^{- 19} - 3, 99 \cdot 1 0^{- 20} = 3, 22 \cdot 1 0^{- 19}$ J
$W = 2, 01$ eV
Con $1$ eV $= 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ J.
4. Longitud de onda umbral
$λ_{0} = \frac{h c}{W} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 22 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ_{0} = 6, 18 \cdot 1 0^{- 7}$ m $= 618$ nm

Apartado b

1. Momento lineal
$p = m v = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot 2, 96 \cdot 1 0^{5}$
$p = 2, 69 \cdot 1 0^{- 25}$ kg m/s
2. Longitud de onda de De Broglie
$λ = \frac{h}{p} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{2 , 69 \cdot 1 0 ^{- 25}}$
$λ = 2, 46 \cdot 1 0^{- 9}$ m $= 2, 46$ nm