Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2021 · Extraordinaria 2021

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Explica qué se entiende por fuerza conservativa y su relación con el concepto de energía potencial ¿Es lo mismo la energía potencial gravitatoria que el potencial gravitatorio? ¿En qué unidades del SI se mide cada una de estas dos magnitudes? Justifica las respuestas a partir de sus definiciones.

1. Fuerza conservativa
$W_{A \to B} = \int_{A}^{B} F \cdot d r$ no depende del camino, solo de los extremos; equivale a $W_{A \to B} = - Δ E_{p} = E_{p, A} - E_{p, B}$
Solo para fuerzas conservativas se puede definir una energía potencial; el trabajo en una trayectoria cerrada es nulo.
2. Energía potencial y potencial gravitatorio
$E_{p} = - \frac{GM m}{r}, V = \frac{E _{p}}{m} = - \frac{GM}{r}$
No es lo mismo
La energía potencial es una propiedad del sistema masa creadora-cuerpo y depende de la masa $m$ del cuerpo; el potencial es una propiedad del campo (en cada punto) y no depende de $m$ : es la energía potencial por unidad de masa.
3. Unidades
$[E_{p}] =$ J (julio); $[V] =$ J/kg $=$ m $^{2}$ /s $^{2}$

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Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices A, B, C y D de un cuadrado de 2 m de lado, como se indica en la figura. Si $q = 2 /2$ nC, calcula y representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y el total, en el centro del cuadrado, punto O. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

En O: E_A = E_C y E_B = E_D; las componentes y se anulan y E apunta a +x

1. Geometría (A $(0, 0)$ con $+ q$ , B $(0, 2)$ con $+ q$ , C $(2, 2)$ con $- q$ , D $(2, 0)$ con $- q$ ; O $(1, 1)$ )
Cada vértice dista $r = 2$ m de O; módulo común $E = \frac{k q}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 0 , 707 \cdot 1 0 ^{- 9}}{2}$
$E = 3, 18$ N/C
Los cuatro módulos son iguales.
2. Vectores (positivas: alejan; negativas: acercan)
$E_{A} = E \frac{( 1 , 1 )}{2}, E_{B} = E \frac{( 1 , - 1 )}{2}, E_{C} = E \frac{( 1 , 1 )}{2}, E_{D} = E \frac{( 1 , - 1 )}{2}$
Cada uno: $(2, 25; \pm 2, 25)$ N/C
Todos tienen componente $x$ positiva ( $+ 2, 25$ N/C) y las componentes $y$ se compensan por parejas.
3. Campo total (superposición)
$E = \sum E_{i} = 4 \cdot 2, 25 $
$E = 9, 0 $ N/C
Dibujo: cuatro vectores diagonales, dos hacia arriba-derecha (los de A y C) y dos hacia abajo-derecha (los de B y D); la resultante, horizontal hacia $+ x$ .

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Una partícula de carga $q < 0$ entra con velocidad $v$ en una región en la que hay un campo magnético uniforme normal al plano del papel, tal y como se muestra en la figura. Escribe la expresión del vector fuerza magnética que actúa sobre la carga. Razona si la trayectoria mostrada es correcta y representa razonadamente, en el punto P, los vectores velocidad y fuerza magnética.

1. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B$
Perpendicular a $v$ y a $B$ : no realiza trabajo y solo curva la trayectoria.
2. Sentido de la curvatura (figura: $B$ entrante, $v$ hacia $+ x$ , $q < 0$ )
$v \times B = v \overset{}{^} \times (- B \hat{k}) = + v B \overset{}{^}$ ; con $q < 0$ : $F = - ∣ q ∣ v B \overset{}{^}$
La fuerza inicial apunta hacia abajo: la trayectoria que se curva hacia abajo es correcta
Si la carga fuera positiva se curvaría hacia arriba.
3. Vectores en P
Movimiento circular uniforme en sentido horario, $r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$
$v$ tangente a la circunferencia en P (hacia abajo); $F$ radial hacia el centro (hacia la izquierda)
La fuerza es centrípeta; P se ha tomado como el punto del arco más a la derecha, con $v ⊥ F$ .

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Una espira rectangular se sitúa en las cercanías de un hilo conductor rectilíneo de gran longitud, recorrido por una corriente eléctrica cuya intensidad aumenta con el tiempo. Razona por qué aparecerá una corriente en la espira, indica cuál será su sentido y enuncia la ley del electromagnetismo que explica este fenómeno.

1. Campo del hilo sobre la espira (figura: $I$ hacia la derecha; espira debajo del hilo)
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}$ ; por la regla de la mano derecha, debajo del hilo $B$ es entrante en el papel
Al aumentar $I$ , aumenta $B$ y con él el flujo $Φ = \int B \cdot d S$ a través de la espira.
2. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t} \neq = 0$
Aparece una fem inducida y, al ser un circuito cerrado, una corriente
La corriente inducida se produce solo mientras varía el flujo.
3. Sentido (Lenz)
El flujo entrante aumenta; la corriente inducida crea un campo saliente en el interior de la espira para oponerse al aumento
Corriente en sentido antihorario
El enunciado de Lenz: el sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la causa que la produce.

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Escribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en función de la intensidad de un sonido. Un auricular produce en la entrada del oído un nivel sonoro de $80$ dB. Calcula la intensidad sonora en ese punto en W/m $^{2}$ . Dato: intensidad umbral de referencia $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m $^{2}$ .

1. Nivel sonoro
$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}$ (dB)
2. Despejamos $I$
$80 = 10 lo g \frac{I}{1 0 ^{- 12}} \Rightarrow \frac{I}{I _{0}} = 1 0^{8} \Rightarrow I = 1 0^{8} \cdot 1 0^{- 12}$
$I = 1 0^{- 4}$ W/m $^{2}$

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Deduce la relación entre la distancia objeto, $s$ , y la distancia focal imagen, $f^{'}$ , de una lente para que la imagen sea invertida y de doble tamaño que el objeto.

1. Aumento lateral
$m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{s ^{'}}{s} = - 2 \Rightarrow s^{'} = - 2 s$
Imagen invertida: $m < 0$ ; doble tamaño: $∣ m ∣ = 2$ .
2. Ecuación de Gauss
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{1}{- 2 s} - \frac{1}{s} = - \frac{3}{2 s} = \frac{1}{f ^{'}}$
$s = - \frac{3}{2} f^{'}$
Como $s < 0$ , $f^{'} > 0$ : lente convergente y objeto situado entre $f^{'}$ y $2 f^{'}$ (a $1, 5 f^{'}$ ).
3. Posición de la imagen
$s^{'} = - 2 s = 3 f^{'}$
Imagen real, invertida, a $3 f^{'}$ de la lente

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Describe en qué consiste la hipermetropía. Explica razonadamente el fenómeno con ayuda de un trazado de rayos. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por qué?

1. Defecto
Ojo hipermétrope: poca potencia o ojo corto; la imagen de un objeto cercano se forma detrás de la retina
Ve bien de lejos (con esfuerzo de acomodación) pero mal de cerca; el punto próximo está más lejos de lo normal.
2. Trazado de rayos
Rayos de un objeto cercano llegan al cristalino más divergentes y convergen en un punto situado más allá de la retina
Imagen desenfocada sobre la retina
Dibujo: cristalino, retina, rayos que se cortan detrás de ella.
3. Corrección
Hay que aumentar la convergencia del sistema: lente convergente ( $P > 0$ )
Lente convergente
Hace que los rayos lleguen menos divergentes al cristalino y converjan sobre la retina.

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Escribe las expresiones de la energía total y de la energía cinética de un cuerpo, en relación con su velocidad relativista, explicando la diferencia entre ambas energías. Una partícula cuya energía en reposo es $E_{0} = 135$ MeV, se mueve con una velocidad $v = 0, 5 c$ . Calcula la energía relativista de la partícula en MeV y su energía cinética en julios. Dato: carga elemental, $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C.

1. Expresiones
$E = γ m_{0} c^{2} = γ E_{0}, E_{c} = E - E_{0} = (γ - 1) m_{0} c^{2}$
La energía total incluye la energía en reposo $E_{0} = m_{0} c^{2}$ ; la cinética es solo el exceso sobre ella.
2. Factor $γ$
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 25} = 1, 155$
3. Energía total
$E = 1, 155 \cdot 135$
$E = 155, 9$ MeV
4. Energía cinética
$E_{c} = (1, 155 - 1) \cdot 135 = 20, 88$ MeV $= 20, 88 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$
$E_{c} = 3, 34 \cdot 1 0^{- 12}$ J

P12 puntos

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La Estación Espacial Internacional tiene una masa $m = 4 \cdot 1 0^{5}$ kg y describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura sobre su superficie $h = 400$ km. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R_{T} = 6, 4 \cdot 1 0^{6}$ m.

a)Calcula las energías potencial, cinética y mecánica de la Estación en su movimiento por dicha órbita.
b)Calcula la energía que se debe aportar a la estación para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea $E = - 2 \cdot 1 0^{12}$ J. Calcula su velocidad en dicha órbita.

Apartado a

1. Radio de la órbita
$r = R_{T} + h = 6, 4 \cdot 1 0^{6} + 4 \cdot 1 0^{5} = 6, 8 \cdot 1 0^{6}$ m
2. Energía potencial
$E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{r} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{5}}{6 , 8 \cdot 1 0 ^{6}}$
$E_{p} = - 2, 35 \cdot 1 0^{13}$ J
3. Energía cinética (órbita circular: $\frac{GM m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ )
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M _{T} m}{2 r}$
$E_{c} = 1, 18 \cdot 1 0^{13}$ J
4. Energía mecánica
$E_{m} = E_{c} + E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{2 r}$
$E_{m} = - 1, 18 \cdot 1 0^{13}$ J
Igual a $- E_{c}$ .

Apartado b

1. Energía que hay que aportar
$Δ E = E - E_{m} = - 2 \cdot 1 0^{12} - (- 1, 177 \cdot 1 0^{13})$
$Δ E = 9, 77 \cdot 1 0^{12}$ J
2. Radio de la nueva órbita
$E = - \frac{G M _{T} m}{2 r ^{'}} \Rightarrow r^{'} = \frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{20}}{2 \cdot 2 \cdot 1 0 ^{12}}$
$r^{'} = 4, 0 \cdot 1 0^{7}$ m
3. Velocidad en esa órbita
$E_{c} = - E = 2 \cdot 1 0^{12}$ J $\Rightarrow v = \frac{2 E _{c}}{m} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{12}}{4 \cdot 1 0 ^{5}}$
$v = 3, 16 \cdot 1 0^{3}$ m/s
Comprobación: $G M_{T} / r^{'} = 3, 16 \cdot 1 0^{3}$ m/s.

P22 puntos

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Una partícula con carga negativa entra con velocidad constante $v = 2 \cdot 1 0^{5} $ m/s en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico uniforme $E = 4 \cdot 1 0^{4} $ N/C y un campo magnético uniforme $B = - B k$ T, siendo $B > 0$ .

a)Calcula el valor de $B$ necesario para que el movimiento de la partícula sea rectilíneo y uniforme. Representa claramente los vectores $v$ , $E$ , $B$ , la fuerza magnética y la fuerza eléctrica.
b)En un instante dado se anula el campo eléctrico y el módulo de la fuerza que actúa sobre la partícula a partir de ese instante es $6, 4 \cdot 1 0^{- 15}$ N. Determina el valor de la carga de la partícula.

Apartado a

1. Fuerzas ( $q < 0$ )
$F_{e} = q E = - ∣ q ∣ 4 \cdot 1 0^{4} $ (hacia $- x$ ); $F_{m} = q v \times B = q (2 \cdot 1 0^{5} ) \times (- B k) = q (- 2 \cdot 1 0^{5} B)  = + ∣ q ∣ 2 \cdot 1 0^{5} B $ (hacia $+ x$ )
2. Movimiento rectilíneo uniforme: fuerza total nula
$∣ q ∣ E = ∣ q ∣ v B \Rightarrow B = \frac{E}{v} = \frac{4 \cdot 1 0 ^{4}}{2 \cdot 1 0 ^{5}}$
$B = 0, 2$ T
Representación: $v$ hacia $+ y$ , $E$ hacia $+ x$ , $B$ entrante ( $- z$ ), $F_{e}$ hacia $- x$ y $F_{m}$ hacia $+ x$ (iguales y opuestas).

Apartado b

1. Sin campo eléctrico solo queda la fuerza magnética
$F = ∣ q ∣ v B \Rightarrow ∣ q ∣ = \frac{F}{v B} = \frac{6 , 4 \cdot 1 0 ^{- 15}}{2 \cdot 1 0 ^{5} \cdot 0 , 2}$
$∣ q ∣ = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C
Como la carga es negativa, $q = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C (un electrón).

P32 puntos

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A través de una lente delgada se observa el ojo de una persona. Sabiendo que la lente se sitúa a 4 cm del ojo y teniendo en cuenta los datos de la figura (el ojo mide 2,0 cm a simple vista y 3,0 cm visto a través de la lente), determina:

a)La posición de la imagen, la distancia focal imagen de la lente y su potencia en dioptrías. Realiza un trazado de rayos que presente la situación mostrada.
b)¿La lente es convergente o divergente? ¿La imagen es real o virtual? ¿De qué tamaño se verá el ojo si alejamos la lente del ojo 1,5 cm más?

Apartado a

1. Aumento y posición de la imagen ( $s = - 4$ cm; imagen derecha: $m > 0$ )
$m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{3 , 0}{2 , 0} = 1, 5 = \frac{s ^{'}}{s} \Rightarrow s^{'} = 1, 5 \cdot (- 4) = - 6$ cm
Imagen a $6$ cm de la lente, al mismo lado que el objeto
2. Distancia focal y potencia
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{- 6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \Rightarrow f^{'} = 12$ cm
$P = \frac{1}{0 , 12} = 8, 33$ D
Trazado: rayo paralelo que pasa por el foco imagen y rayo por el centro; sus prolongaciones se cortan a 6 cm de la lente, detrás del objeto.

Apartado b

1. Tipo de lente e imagen
$f^{'} > 0$ y $s^{'} < 0$ con $m > 1$
Lente convergente; imagen virtual (y derecha)
Funciona como lupa: el objeto está dentro de la distancia focal ( $4 < 12$ cm).
2. Lente a $5, 5$ cm del ojo
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{12} - \frac{1}{5 , 5} \Rightarrow s^{'} = - 10, 15$ cm; $m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 10 , 15}{- 5 , 5} = 1, 85$
Tamaño del ojo $= 1, 85 \cdot 2, 0 = 3, 7$ cm
Al alejar la lente, la imagen se aleja y se agranda más (el objeto se acerca al foco).

P42 puntos

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Tras un episodio de «tormenta seca» o calima, se recoge y analiza una muestra de polvo y se concluye que contiene Cs-137, un isótopo radiactivo asociado a alguna prueba nuclear realizada hace 60 años. La actividad de la muestra, debida exclusivamente al Cs-137, es de $0, 08$ Bq (muy baja). Determina: Datos: periodo de semidesintegración del Cs-137, $T_{1/2} = 30, 2$ años; masa de un núcleo de Cs-137, $M = 2, 27 \cdot 1 0^{- 25}$ kg.

a)El número de núcleos y la masa de Cs-137 contenida en la muestra (expresa el resultado en picogramos).
b)La actividad de la muestra hace 60 años, justo tras la prueba nuclear.

Apartado a

1. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{30 , 2 \cdot 3 , 156 \cdot 1 0 ^{7} s}$
$λ = 7, 27 \cdot 1 0^{- 10}$ s $^{- 1}$
2. Número de núcleos
$A = λ N \Rightarrow N = \frac{A}{λ} = \frac{0 , 08}{7 , 27 \cdot 1 0 ^{- 10}}$
$N = 1, 10 \cdot 1 0^{8}$ núcleos
3. Masa
$m = N M = 1, 10 \cdot 1 0^{8} \cdot 2, 27 \cdot 1 0^{- 25}$ kg $= 2, 5 \cdot 1 0^{- 17}$ kg
$m = 2, 5 \cdot 1 0^{- 14}$ g $= 0, 025$ pg
$1$ pg $= 1 0^{- 15}$ kg.

Apartado b

1. Ley de desintegración (la actividad decae igual que $N$ )
$A = A_{0} 2^{- t / T_{1/2}} \Rightarrow A_{0} = 0, 08 \cdot 2^{60/30, 2}$
$A_{0} = 0, 317$ Bq
Hace 60 años la actividad era unas cuatro veces mayor.