Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria 2020 · Ordinaria 2020

C11.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
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Entre un cuerpo de masa $m$ y otro de masa $M > m$ (ambas puntuales) existe solo la interacción gravitatoria. ¿Es la fuerza gravitatoria que ejerce $M$ sobre $m$ mayor que la que ejerce $m$ sobre $M$ ? ¿Es la aceleración de ambos cuerpos igual en módulo? ¿Y en dirección y sentido? Razona adecuadamente las respuestas.

Misma fuerza sobre cada cuerpo; la aceleración es mayor en la masa menor

1. Fuerzas (tercera ley de Newton)
$∣ F_{M \to m} ∣ = ∣ F_{m \to M} ∣ = \frac{GM m}{r ^{2}}$
Las fuerzas son iguales en módulo y de sentidos opuestos
Es una pareja acción-reacción; no depende de qué masa sea mayor.
2. Aceleraciones (segunda ley)
$a_{m} = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r ^{2}}, a_{M} = \frac{F}{M} = \frac{G m}{r ^{2}}$
$a_{m} > a_{M}$ (en módulo no son iguales)
La aceleración del cuerpo de menor masa es mayor: $a_{m} / a_{M} = M / m > 1$ .
3. Dirección y sentido
Cada aceleración tiene la dirección y sentido de la fuerza que actúa sobre su cuerpo
Misma dirección (la recta que une los cuerpos) y sentidos opuestos (cada cuerpo acelera hacia el otro)

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Se colocan dos cargas puntuales, $q$ y $- 2 q$ , en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado, como aparece en la figura. Si $q = 22$ nC, calcula y representa claramente el vector campo eléctrico en el punto P debido a cada carga, así como el vector campo eléctrico resultante generado por dichas cargas en el punto P. Dato: constante de Coulomb $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

1. Geometría (P en $(0, 0)$ ; $q$ en $(0, 1)$ ; $- 2 q$ en $(1, 0)$ )
Ambas cargas están a $1$ m de P; $k q = 9 \cdot 1 0^{9} \cdot 22 \cdot 1 0^{- 9} = 25, 46$ N m $^{2}$ /C
2. Campo de $q$ (positiva: se aleja de ella, hacia $- y$ )
$E_{q} = \frac{k q}{1 ^{2}} (- )$
$E_{q} = - 25, 5 $ N/C
3. Campo de $- 2 q$ (negativa: apunta hacia ella, hacia $+ x$ )
$E_{- 2 q} = \frac{k 2 q}{1 ^{2}} $
$E_{- 2 q} = 50, 9 $ N/C
4. Campo total
$E = E_{q} + E_{- 2 q}$
$E = (50, 9  - 25, 5 )$ N/C
Módulo $56, 9$ N/C, ángulo $- 26, 6^{\circ}$ con el eje $x$ . Dibujo: dos vectores perpendiculares sobre los ejes y la resultante en la diagonal entre ellos.

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Por un conductor rectilíneo indefinido circula una corriente de intensidad $I$ . Escribe y representa el vector campo magnético $B$ en puntos que se encuentran a una distancia $r$ del hilo. Explica cómo cambia dicho vector si los puntos se encuentran a una distancia $2 r$ .

B = μ₀I/(2πr): a 2r el módulo es la mitad

1. Módulo (ley de Biot-Savart / Ampère)
$B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$
2. Dirección y sentido
$B$ es tangente a circunferencias centradas en el hilo y contenidas en planos perpendiculares a él
Sentido dado por la regla de la mano derecha (pulgar en el sentido de $I$ , dedos en el de $B$ )
Dibujo: circunferencias concéntricas con flechas en el sentido de giro de los dedos.
3. A distancia $2 r$
$B (2 r) = \frac{μ _{0} I}{2 π \cdot 2 r} = \frac{B ( r )}{2}$
El módulo se reduce a la mitad
La dirección y el sentido no cambian (siguen siendo tangentes y con el mismo giro).

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Se tiene una espira circular en el interior de un campo magnético uniforme y constante como muestra la figura a). Si el área de la espira circular disminuye hasta hacerse la mitad ¿se induce corriente eléctrica en la espira? ¿En qué sentido? Si la forma de la espira pasa a ser ovalada, dejando invariante su área (figura b), ¿se induce corriente eléctrica? Escribe y explica la ley del electromagnetismo en la que te basas y responde razonadamente.

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}, Φ = B \cdot S = B S cos α$
Una fem (y corriente en un circuito cerrado) aparece solo si varía el flujo magnético; el signo negativo (Lenz) indica que se opone a la variación.
2. Caso a): el área disminuye a la mitad
$Φ = B S$ con $B$ constante y $S$ decreciente: $ΔΦ < 0$
Sí se induce corriente, con sentido horario
$B$ es entrante (⊗): al disminuir el flujo entrante, la corriente inducida crea un campo entrante que lo compensa, es decir, horario.
3. Caso b): espira ovalada con la misma área
$S$ no varía y $B$ es constante, $α = 0$ : $ΔΦ = 0$
No se induce corriente
Lo que cuenta es el área proyectada perpendicular a $B$ , no la forma.

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Escribe la expresión del nivel sonoro (en dB) en función de la intensidad de un sonido. A una cierta distancia del punto de explosión de un petardo se mide una intensidad de $1$ W m $^{- 2}$ . ¿Qué nivel de intensidad en dB tendremos en este punto? Calcula la intensidad en W m $^{- 2}$ que se medirá al duplicar la distancia. (Considera que la onda sonora es esférica). Dato: intensidad umbral de referencia $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W m $^{- 2}$ .

Onda esférica: I ∝ 1/r²; al duplicar r la intensidad se divide por 4

1. Nivel sonoro
$β = 10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 10 lo g \frac{1}{1 0 ^{- 12}}$
$β = 120$ dB
2. Onda esférica: $I = \frac{P}{4 π r ^{2}}$
$\frac{I ^{'}}{I} = (\frac{r}{2 r})^{2} = \frac{1}{4}$
$I^{'} = 0, 25$ W m $^{- 2}$
Equivale a $β^{'} = 10 lo g (0, 25/1 0^{- 12}) = 114$ dB (6 dB menos).

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Deduce la relación entre la distancia objeto, $s$ , y la distancia focal, $f^{'}$ , de una lente convergente para que la imagen sea invertida y con un tamaño tres veces mayor que el del objeto.

1. Aumento lateral
$m = \frac{s ^{'}}{s} = - 3 \Rightarrow s^{'} = - 3 s$
Invertida: $m < 0$ ; tres veces mayor: $∣ m ∣ = 3$ .
2. Ecuación de Gauss
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{1}{- 3 s} - \frac{1}{s} = - \frac{4}{3 s} = \frac{1}{f ^{'}}$
$s = - \frac{4}{3} f^{'}$
Con $f^{'} > 0$ resulta $s < 0$ (objeto real) y $∣ s ∣ = 1, 33 f^{'}$ , entre $f^{'}$ y $2 f^{'}$ .
3. Imagen
$s^{'} = - 3 s = 4 f^{'}$
Real, invertida y a $4 f^{'}$ de la lente

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En una revisión optométrica indican a una persona que, para ver bien objetos lejanos, debería ponerse una gafa de lentes de 1,5 dioptrías. Razona si tiene miopía o hipermetropía y por qué se corrige con dicho tipo de lente. Explica razonadamente el fenómeno y su corrección con ayuda de un trazado de rayos.

1. Tipo de lente
$P = + 1, 5$ D $\Rightarrow f^{'} = \frac{1}{P} = 0, 67$ m $> 0$
Lente convergente
2. Defecto
Las lentes convergentes añaden convergencia; solo hace falta añadirla si el ojo converge poco (ojo corto o cristalino débil)
Hipermetropía
En el ojo hipermétrope la imagen de un objeto lejano se formaría detrás de la retina. Los miopes, en cambio, necesitan lentes divergentes ( $P < 0$ ).
3. Corrección con trazado de rayos
La lente convergente aumenta la convergencia de los rayos paralelos: el foco del sistema lente+ojo cae sobre la retina
Imagen nítida en la retina
Dibujo: rayos paralelos que, sin lente, convergerían detrás de la retina y, con la lente delante del ojo, convergen sobre ella.

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La energía relativista de una partícula es $3/ 8$ veces su energía en reposo. Calcula su velocidad en función de la velocidad de la luz en el vacío, $c$ . Si se duplica dicha velocidad, ¿se duplica su energía? Responde razonadamente.

1. Relación entre energías
$E = γ m_{0} c^{2} = \frac{3}{8} m_{0} c^{2} \Rightarrow γ = \frac{3}{8}$
2. Velocidad
$γ^{2} = \frac{9}{8} = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$
$v = \frac{c}{3}$
3. Velocidad doble
$v^{'} = \frac{2 c}{3} \Rightarrow γ^{'} = \frac{1}{1 - 4/9} = \frac{3}{5} = 1, 342$
$E^{'} = 1, 342 E_{0}$ frente a $E = 1, 061 E_{0}$ : $E^{'} / E = 1, 26 \neq = 2$
La energía relativista no es proporcional a $v$ : no se duplica.

P12 puntos

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Syncom 3 fue un satélite de telecomunicaciones de masa $40$ kg, que describía órbitas circulares a una altura de $35800$ km sobre la superficie terrestre. Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ kg $^{- 2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R_{T} = 6, 4 \cdot 1 0^{6}$ m.

a)Deduce la expresión de la velocidad orbital de un satélite y calcula el valor en este caso, así como el periodo de la órbita (en horas).
b)Calcula las energías potencial y cinética del satélite en su movimiento por dicha órbita. Calcula la energía que se debe aportar al satélite para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea $E = - 9, 5 \cdot 1 0^{7}$ J.

Apartado a

1. Velocidad orbital (gravedad = fuerza centrípeta)
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{G M _{T}}{r}$
2. Radio de la órbita y valor de $v$
$r = R_{T} + h = 6, 4 \cdot 1 0^{6} + 3, 58 \cdot 1 0^{7} = 4, 22 \cdot 1 0^{7}$ m; $v = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{4 , 22 \cdot 1 0 ^{7}}$
$v = 3, 08 \cdot 1 0^{3}$ m/s
3. Periodo
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 4 , 22 \cdot 1 0 ^{7}}{3080} = 8, 61 \cdot 1 0^{4}$ s
$T = 23, 9$ h
Prácticamente un día: es un satélite geoestacionario.

Apartado b

1. Energía potencial
$E_{p} = - \frac{G M _{T} m}{r} = - \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24} \cdot 40}{4 , 22 \cdot 1 0 ^{7}}$
$E_{p} = - 3, 79 \cdot 1 0^{8}$ J
2. Energía cinética y mecánica
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M _{T} m}{2 r} = 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J; $E_{m} = E_{c} + E_{p} = - 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J
$E_{c} = 1, 90 \cdot 1 0^{8}$ J
3. Energía a aportar
$Δ E = E - E_{m} = - 9, 5 \cdot 1 0^{7} - (- 1, 90 \cdot 1 0^{8})$
$Δ E = 9, 5 \cdot 1 0^{7}$ J
La órbita nueva tiene mayor radio ( $r^{'} = 2 r$ ) porque $E$ se hizo la mitad de negativa.

P22 puntos

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Un ion con carga $q = 3, 2 \cdot 1 0^{- 19}$ C, entra con velocidad constante $v = 20 $ m/s en una región del espacio en la que existen un campo magnético uniforme $B = - 20 $ T y un campo eléctrico uniforme $E$ . Desprecia el campo gravitatorio.

a)Calcula el valor del vector $E$ necesario para que el movimiento del ion sea rectilíneo y uniforme.
b)Calcula los vectores fuerza que actúan sobre el ion (dirección y sentido) en esta región del espacio. Representa claramente los vectores $v$ , $B$ , $E$ y dichos vectores fuerza.

Apartado a

1. Fuerza magnética
$F_{m} = q v \times B = 3, 2 \cdot 1 0^{- 19} (20 ) \times (- 20 ) = 3, 2 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 400 k$
$F_{m} = 1, 28 \cdot 1 0^{- 16} k$ N
Con $ \times  = - k$ .
2. Movimiento rectilíneo y uniforme: fuerza total nula
$q E + q v \times B = 0 \Rightarrow E = - v \times B = - 400 k$
$E = - 400 k$ N/C
El módulo cumple $E = v B = 20 \cdot 20 = 400$ N/C.

Apartado b

1. Fuerza eléctrica
$F_{e} = q E = 3, 2 \cdot 1 0^{- 19} (- 400 k)$
$F_{e} = - 1, 28 \cdot 1 0^{- 16} k$ N
2. Resultado y representación
$F = F_{e} + F_{m} = 0$
Fuerzas de igual módulo ( $1, 28 \cdot 1 0^{- 16}$ N), dirección $z$ y sentidos opuestos
Dibujo: $v$ hacia $+ y$ , $B$ hacia $- x$ , $E$ hacia $- z$ , $F_{m}$ hacia $+ z$ y $F_{e}$ hacia $- z$ .

P32 puntos

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Se hace incidir un haz de luz blanca sobre una lámina plano-paralela de un cierto material, cuyo índice de refracción para la luz roja es $n_{r} = 1, 19$ y para la luz violeta $n_{v} = 1, 23$ .

a)Explica qué sucede cuando el rayo incidente de luz blanca entra en la lámina e identifica cuál de los rayos 1 y 2 corresponde al rojo y cuál al violeta. Razona la respuesta en base a la ley física que rige este fenómeno.
b)Tras incidir en la cara superior de la lámina, el rayo 2 prosigue paralelo a ella, como se ve en la figura. Determina el ángulo, $i$ , con el que incide sobre esta cara y el ángulo de entrada, $ε$ .

Apartado a

1. Fenómeno
Al entrar, cada color se refracta con un ángulo distinto (dispersión), porque $n$ depende de la longitud de onda: $sin ε = n (λ) sin θ_{r}$
Dispersión de la luz blanca
2. Identificación de los rayos (ley de Snell)
Con el mismo $ε$ : $sin θ = \frac{sin ε}{n}$ ; mayor $n \Rightarrow$ menor ángulo $θ$ con la normal (la normal de la cara lateral es horizontal)
El rayo 2 (más cerca de la normal) es el violeta; el rayo 1, el rojo
Lectura de la figura: el rayo 2 forma el menor ángulo con la horizontal.

Apartado b

1. Ángulo $i$ en la cara superior (el rayo 2 sale rasante: refracción a $9 0^{\circ}$ )
$n_{v} sin i = 1 \cdot sin 9 0^{\circ} \Rightarrow sin i = \frac{1}{1 , 23}$
$i = 54, 4^{\circ}$
$i$ es justo el ángulo límite del violeta.
2. Ángulo de entrada $ε$ en la cara lateral
El ángulo con la normal (horizontal) dentro de la lámina es $θ = 9 0^{\circ} - i = 35, 6^{\circ}$ ; $sin ε = n_{v} sin θ = 1, 23 \cdot 0, 582$
$ε = 45, 7^{\circ}$
Equivale a $sin ε = n_{v}^{2} - 1 = 0, 716$ .

P42 puntos

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El $^{222}$ Rn (radón 222) es un gas radiactivo natural presente en el aire de los espacios cerrados. Se realizan medidas para determinar la masa y la actividad de dicho gas. Dato: masa de un átomo de $^{222}$ Rn, $3, 7 \cdot 1 0^{- 25}$ kg; periodo de semidesintegración del $^{222}$ Rn, $3, 8$ días.

a)Determina la actividad en becquerel de un cierto volumen de aire si la masa de $^{222}$ Rn que se mide es de 0,02 pg.
b)La actividad medida en otro volumen de aire es de 228 Bq. Si dicho volumen se aísla, y se vuelve a medir al cabo de 11,4 días ¿Cuánta actividad, debida al $^{222}$ Rn, se tendrá? ¿Cuánto valdrá la masa de $^{222}$ Rn correspondiente?

Apartado a

1. Número de núcleos
$N = \frac{m}{M} = \frac{0 , 02 \cdot 1 0 ^{- 15} kg}{3 , 7 \cdot 1 0 ^{- 25} kg}$
$N = 5, 4 \cdot 1 0^{7}$ núcleos
$0, 02$ pg $= 2 \cdot 1 0^{- 17}$ kg.
2. Constante de desintegración y actividad
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{3 , 8 \cdot 86400 s} = 2, 11 \cdot 1 0^{- 6}$ s $^{- 1}$ ; $A = λ N = 2, 11 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 5, 4 \cdot 1 0^{7}$
$A = 114$ Bq

Apartado b

1. Número de periodos
$\frac{t}{T _{1/2}} = \frac{11 , 4}{3 , 8} = 3 \Rightarrow A = A_{0} 2^{- 3} = \frac{228}{8}$
$A = 28, 5$ Bq
Han transcurrido exactamente tres periodos.
2. Masa correspondiente
La masa es proporcional a $N$ y, por tanto, a $A$ : $m = m_{0} 2^{- 3}$ ; $m_{0} = \frac{A _{0}}{λ} M = \frac{228}{2 , 11 \cdot 1 0 ^{- 6}} \cdot 3, 7 \cdot 1 0^{- 25} = 4, 0 \cdot 1 0^{- 17}$ kg
$m = 5, 0 \cdot 1 0^{- 18}$ kg $= 0, 005$ pg
Inicialmente $0, 04$ pg.