Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Septiembre 2020 · Extraordinaria 2020 (Septiembre)

C11.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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Escribe la expresión del trabajo de una fuerza y su relación con la energía potencial si la fuerza es conservativa. Un satélite gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular. Razona qué trabajo realiza la fuerza gravitatoria cuando el satélite recorre un cuarto de la órbita. ¿Y si recorre una órbita completa?

La fuerza gravitatoria es siempre perpendicular al desplazamiento

1. Trabajo y energía potencial
$W_{A \to B} = \int_{A}^{B} F \cdot d r$ ; si $F$ es conservativa, $W_{A \to B} = - Δ E_{p} = E_{p, A} - E_{p, B}$
2. Cuarto de órbita
En una órbita circular la fuerza gravitatoria es radial y el desplazamiento es tangente: $F \cdot d r = 0$ en todo instante (también $Δ E_{p} = 0$ , pues $r$ es constante)
$W = 0$
Coincide con que $E_{c}$ y $E_{p}$ no cambian en una órbita circular.
3. Órbita completa
La fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo en una trayectoria cerrada es $W = - Δ E_{p} = 0$ (mismo punto inicial y final)
$W = 0$

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Una carga $q_{1} = - 3$ nC se encuentra situada en el origen de coordenadas del plano XY. Una segunda carga de $q_{2} = 4$ nC está situada sobre el eje Y positivo a 2 m del origen. Calcula el vector campo eléctrico creado por cada una de las cargas en un punto P situado a 3 m del origen sobre el eje x positivo y el campo eléctrico total creado por ambas. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9}$ N m $^{2}$ /C $^{2}$ .

1. Campo de $q_{1}$ (distancia a P $= 3$ m; negativa: apunta hacia ella, $- x$ )
$E_{1} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{- 9}}{3 ^{2}} (- )$
$E_{1} = - 3, 00 $ N/C
2. Campo de $q_{2}$ (en $(0, 2)$ ; $r = (3, - 2)$ , $r = 13 = 3, 606$ m; positiva: se aleja)
$E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 9}}{13} = 2, 77$ N/C; $u = \frac{( 3 , - 2 )}{13} = (0, 832; - 0, 555)$
$E_{2} = (2, 30  - 1, 54 )$ N/C
3. Campo total
$E = E_{1} + E_{2} = (- 3, 00 + 2, 30)  - 1, 54 $
$E = (- 0, 70  - 1, 54 )$ N/C
Módulo $1, 69$ N/C.

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Dos cargas $q_{1} = 8, 9 μ$ C y $q_{2} = 17, 8 μ$ C se encuentran en el vacío y situadas, respectivamente, en los puntos $O (0, 0, 0)$ cm y $P (1, 0, 0)$ cm. Enuncia el teorema de Gauss para el campo eléctrico. Calcula, justificadamente, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio 0,5 cm centrada en el punto $O$ . ¿Cambia el flujo si en lugar de una esfera se trata de un cubo de lado 0,5 cm? Dato: permitividad del vacío $ε_{0} = 8, 9 \cdot 1 0^{- 12}$ C $^{2}$ N $^{- 1}$ m $^{- 2}$ .

Solo q₁ queda dentro de la superficie gaussiana

1. Teorema de Gauss
$Φ = \oint E \cdot d S = \frac{Q _{in t}}{ε _{0}}$
El flujo a través de una superficie cerrada es la carga encerrada dividida entre $ε_{0}$ .
2. Esfera de radio 0,5 cm centrada en O
Solo $q_{1}$ está dentro ( $q_{2}$ está a 1 cm de O, fuera de la esfera): $Φ = \frac{q _{1}}{ε _{0}} = \frac{8 , 9 \cdot 1 0 ^{- 6}}{8 , 9 \cdot 1 0 ^{- 12}}$
$Φ = 1 0^{6}$ N m $^{2}$ /C
3. Cubo de lado 0,5 cm
Si el cubo contiene a $q_{1}$ (centrado en O, semiarista $0, 25$ cm) y no a $q_{2}$ , $Q_{in t}$ es la misma
El flujo no cambia: $Φ = 1 0^{6}$ N m $^{2}$ /C
El flujo solo depende de la carga encerrada, no de la forma de la superficie. Se supone el cubo centrado en O.

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En la figura se muestra una espira rectangular de lados 10 cm y 12 cm en el seno de un campo magnético $B$ perpendicular al plano del papel y saliente. Se hace variar $∣ B ∣$ desde 0 a 1 T en un intervalo de tiempo de 1,2 s. Calcula la variación de flujo magnético y la fuerza electromotriz media inducida en la espira. Indica y justifica el sentido de la corriente eléctrica inducida.

1. Variación de flujo
$ΔΦ = Δ B \cdot S = (1 - 0) \cdot 0, 10 \cdot 0, 12$
$ΔΦ = 0, 012$ Wb
2. fem media
$ε = - \frac{ΔΦ}{Δ t} = - \frac{0 , 012}{1 , 2}$
$ε = - 0, 01$ V
En módulo, $10$ mV.
3. Sentido (Lenz)
El flujo saliente aumenta; la corriente inducida crea un campo entrante en la espira para oponerse
Corriente en sentido horario

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Un rayo de luz incide sobre una lámina de caras plano-paralelas de índice de refracción $n_{2}$ , situada en un medio de índice de refracción $n_{1}$ . Demuestra que el rayo que emerge de la lámina es paralelo al rayo incidente.

Lámina plano-paralela: el rayo emergente es paralelo al incidente

1. Primera refracción (cara superior; $i_{1}$ incidente, $r_{1}$ refractado)
$n_{1} sin i_{1} = n_{2} sin r_{1}$
2. Geometría: caras paralelas
Las normales a ambas caras son paralelas, luego el ángulo de incidencia en la segunda cara es el de refracción en la primera (ángulos alternos internos): $i_{2} = r_{1}$
3. Segunda refracción (salida al medio 1)
$n_{2} sin i_{2} = n_{1} sin r_{2} \Rightarrow n_{2} sin r_{1} = n_{1} sin r_{2}$
$n_{1} sin r_{2} = n_{1} sin i_{1} \Rightarrow r_{2} = i_{1}$
El rayo emergente forma con la normal el mismo ángulo que el incidente: es paralelo a él (solo está desplazado lateralmente).

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La imagen de un objeto real, dada por una lente delgada divergente, es siempre virtual, derecha y más pequeña que el objeto. Justifícalo mediante trazado de rayos y explica el porqué de dicho trazado. ¿Qué significa imagen virtual?

1. Rayos característicos de una lente divergente
1. Rayo paralelo al eje: se desvía alejándose del eje de modo que su prolongación pasa por el foco imagen $F^{'}$ (del mismo lado que el objeto). 2) Rayo por el centro óptico: no se desvía
Los rayos que salen de la lente son divergentes
Estos rayos se eligen porque se conoce su camino por las propiedades de la lente.
2. Formación de la imagen
Las prolongaciones hacia atrás de ambos rayos se cortan en un punto situado entre el objeto y la lente, del mismo lado que el objeto
Imagen virtual, derecha y menor para cualquier posición del objeto real
Analíticamente: $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{s} + \frac{1}{f ^{'}}$ con $f^{'} < 0$ y $s < 0$ da $s^{'} < 0$ y $∣ s^{'} ∣ < ∣ s ∣$ (por tanto $0 < m < 1$ ).
3. Imagen virtual
Imagen formada por la intersección de las prolongaciones de los rayos, no de los rayos reales
No puede recogerse en una pantalla; solo se ve mirando a través de la lente

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Explica en qué consiste la miopía utilizando los conceptos de la óptica geométrica. ¿Qué tipo de lente hay que usar para corregirla? Si una persona miope se va acercando un objeto al ojo, existe una posición en la que ve bien, ¿por qué?

1. Miopía
El ojo tiene demasiada potencia o es demasiado largo: los rayos de un objeto lejano (paralelos) convergen delante de la retina
Imagen desenfocada de lejos
El punto remoto está a una distancia finita (en vez de en el infinito).
2. Corrección
Una lente divergente ( $P < 0$ ) hace divergir los rayos paralelos, de forma que parecen provenir del punto remoto del ojo y convergen sobre la retina
Lente divergente
3. Posición en la que ve bien
Al acercar el objeto, los rayos llegan más divergentes y el punto de convergencia retrocede hacia la retina; cuando el objeto está entre el punto próximo y el remoto, la imagen se forma sobre la retina (con acomodación)
Entre el punto próximo y el punto remoto
Más allá del punto remoto vuelve a verse borroso.

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Un muon (partícula elemental) generado por un rayo cósmico en la atmósfera, a 10 km de altura, viaja hacia el suelo, donde se determina que su velocidad (constante) es $v = 0, 98 c$ . Calcula cuánto tiempo dura el vuelo del muon según una observadora situada en el suelo y también según otra que viaje con el muon. Determina la altura (distancia recorrida por el muon) según la observadora que viaja con el muon. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

Altura medida por la observadora en el suelo: 10 km

1. Tiempo según la observadora en el suelo
$t = \frac{d}{v} = \frac{1 0 ^{4}}{0 , 98 \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}$
$t = 3, 40 \cdot 1 0^{- 5}$ s
2. Factor de Lorentz
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 9 8 ^{2}} = 5, 03$
3. Tiempo propio (observadora con el muon)
$t_{0} = \frac{t}{γ} = \frac{3 , 40 \cdot 1 0 ^{- 5}}{5 , 03}$
$t_{0} = 6, 77 \cdot 1 0^{- 6}$ s
Ella mide el tiempo propio (el muon está en reposo respecto a ella).
4. Altura según la observadora con el muon (contracción de la longitud)
$d^{'} = \frac{d}{γ} = \frac{10 km}{5 , 03} = v t_{0}$
$d^{'} = 1, 99$ km
Para ella es la distancia que recorre la Tierra, contraída en la dirección del movimiento.

P12 puntos

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El proyecto Starlink ha colocado en órbita circular alrededor de la Tierra unos 300 satélites para comunicaciones, que son fácilmente visibles desde la superficie de la Tierra. Sabiendo que la velocidad de uno de dichos satélites es de $7, 6$ km/s: Datos: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11}$ N m $^{2}$ /kg $^{2}$ ; $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24}$ kg; $R_{T} = 6400$ km.

a)Calcula la altura $h$ a la que se encuentra desde la superficie terrestre (en kilómetros).
b)¿Cuántas órbitas circulares completas describe el satélite en un día?

Apartado a

1. Dinámica de la órbita circular
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow r = \frac{G M _{T}}{v ^{2}}$
2. Radio y altura
$r = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{( 7600 ) ^{2}} = 6, 93 \cdot 1 0^{6}$ m; $h = r - R_{T} = 6, 93 \cdot 1 0^{6} - 6, 4 \cdot 1 0^{6}$
$h = 5, 3 \cdot 1 0^{5}$ m $= 529$ km

Apartado b

1. Periodo
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 6 , 93 \cdot 1 0 ^{6}}{7600} = 5728$ s
$T = 95, 5$ min
2. Órbitas por día
$n = \frac{86400}{5728} = 15, 08$
15 órbitas completas
Quedan $0, 08$ de vuelta: solo cuentan las completas.

P22 puntos

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La figura muestra dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos entre sí, separados por una distancia $d$ en el plano YZ. Se conoce la intensidad de corriente $I_{1} = 1$ A, el módulo del campo magnético que esta corriente crea en el punto P de la figura, $B_{1} = 1 0^{- 5}$ T, así como el módulo del campo magnético total $B = 3 B_{1}$ . Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7}$ T m/A.

a)Calcula la distancia $d$ y el vector campo magnético $B_{2}$ en el punto P.
b)Si una carga $q = 1 μ$ C pasa por dicho punto P con una velocidad $v = 1 0^{6} k$ m/s, calcula la fuerza $F$ (módulo, dirección y sentido) sobre ella. Representa los vectores $v$ , $B$ y $F$ .

Apartado a

1. Distancia (P a distancia $d$ de $I_{1}$ )
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π d} \Rightarrow d = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 1}{2 π \cdot 1 0 ^{- 5}}$
$d = 0, 02$ m
$d = 2$ cm.
2. Campo de la corriente 2
Las dos corrientes van hacia $+ z$ y P está a la izquierda de ambas: $B_{1}$ y $B_{2}$ tienen el mismo sentido, luego $B = B_{1} + B_{2} = 3 B_{1} \Rightarrow B_{2} = 2 B_{1}$
$B_{2} = 2 \cdot 1 0^{- 5}$ T
Dirección: perpendicular al plano YZ.
3. Sentido de $B_{2}$ (regla de la mano derecha: $k \times (- ) = $ )
$B_{2} = 2 \cdot 1 0^{- 5} $ T
$B_{2} = 2 \cdot 1 0^{- 5} $ T (saliente del papel)
Equivale a $I_{2} = 4$ A, pues $B_{2} = μ_{0} I_{2} / (2 π \cdot 2 d)$ .

Apartado b

1. Fuerza sobre la carga
$B = 3 \cdot 1 0^{- 5} $ T; $F = q v \times B = 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{6} k \times 3 \cdot 1 0^{- 5} $
$F = 3 \cdot 1 0^{- 5} $ N
Módulo $3 \cdot 1 0^{- 5}$ N, dirección $y$ y sentido $+ y$ (hacia los hilos). Dibujo: $v$ hacia $+ z$ , $B$ saliente y $F$ hacia $+ y$ (perpendicular a ambos).

P32 puntos

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Una onda armónica transversal se propaga con velocidad $v = 5$ cm/s en el sentido negativo del eje $x$ . A partir de la información contenida en la figura y justificando la respuesta:

a)Determina la amplitud, la longitud de onda, el periodo y la diferencia de fase entre dos puntos que distan 15 cm y separados en el tiempo 3 s.
b)Escribe la expresión de la función de onda (usando el seno), suponiendo que la fase inicial es nula. Calcula la velocidad de un punto de la onda situado en $x = 0$ cm para $t = 0$ s.

Apartado a

1. Amplitud y longitud de onda (gráfica $y (x)$ )
Máximo $y = 4$ cm; la onda se repite cada $10$ cm (ceros en $x = 0, 5, 10, 15, 20$ cm; máximos en $2, 5$ y $12, 5$ cm)
$A = 4$ cm; $λ = 10$ cm
Lectura de la figura.
2. Periodo
$T = \frac{λ}{v} = \frac{10}{5}$
$T = 2$ s
$ω = 2 π / T = π$ rad/s y $k = 2 π / λ = 0, 2 π$ rad/cm.
3. Diferencia de fase ( $Δ x = 15$ cm, $Δ t = 3$ s)
$Δ φ = k Δ x + ω Δ t = 0, 2 π \cdot 15 + π \cdot 3 = 3 π + 3 π$
$Δ φ = 6 π$ rad
Equivale a $0$ módulo $2 π$ ( $Δ x = 1, 5 λ$ y $Δ t = 1, 5 T$ ): los dos puntos están en fase. Con signos opuestos para $Δ x$ y $Δ t$ saldría $0$ .

Apartado b

1. Función de onda (sentido $- x$ , fase inicial nula)
$y (x, t) = A sin (ω t + k x) = 4 sin (π t + 0, 2 π x)$ cm
$y (x, t) = 0, 04 sin (π t + 20 π x)$ m ( $x$ en m, $t$ en s)
En $t = 0$ vale $4 sin (0, 2 π x)$ : coincide con la gráfica.
2. Velocidad de vibración en $x = 0$ , $t = 0$
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = A ω cos (ω t + k x) = 4 π cos 0$
$v_{y} = 4 π = 12, 6$ cm/s $= 0, 126$ m/s
Positiva: el punto sube.

P42 puntos

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Una radiación monocromática de longitud de onda $500$ nm incide sobre una fotocélula de cesio, cuyo trabajo de extracción es de $2$ eV. Calcula: Datos: $q = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C; $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s; $h = 6, 6 \cdot 1 0^{- 34}$ J s.

a)La frecuencia umbral y la longitud de onda umbral.
b)La energía cinética máxima de los electrones emitidos y el potencial de frenado, ambos en eV. Explica qué es el potencial de frenado.

Apartado a

1. Frecuencia umbral
$W = h f_{0} \Rightarrow f_{0} = \frac{2 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34}}$
$f_{0} = 4, 85 \cdot 1 0^{14}$ Hz
2. Longitud de onda umbral
$λ_{0} = \frac{c}{f _{0}} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{4 , 85 \cdot 1 0 ^{14}}$
$λ_{0} = 6, 19 \cdot 1 0^{- 7}$ m $= 619$ nm
Como $500 < 619$ nm, la radiación sí arranca electrones.

Apartado b

1. Energía del fotón
$E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 6 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{500 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 3, 96 \cdot 1 0^{- 19}$ J $= 2, 475$ eV
2. Energía cinética máxima (Einstein)
$E_{c} = E_{f} - W = 2, 475 - 2$
$E_{c} = 0, 475$ eV
3. Potencial de frenado
$e V_{f} = E_{c} \Rightarrow V_{f} = \frac{0 , 475 eV}{e}$
$V_{f} = 0, 475$ V
Es la diferencia de potencial que hay que aplicar para frenar a los electrones más rápidos y anular la corriente fotoeléctrica.