Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2019 · Ordinaria 2019

1.A1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas gravitatorias. Al trasladarse el cuerpo entre dos puntos, A y B, su energía potencial gravitatoria aumenta en $2000 J$ . ¿Cuál es el valor del trabajo que realizan las fuerzas conservativas que actúan sobre el cuerpo? ¿En cuál de los dos puntos su velocidad es mayor?

Al subir de A a B la energía potencial aumenta 2000 J: el campo hace W = −2000 J y la velocidad es menor en B

1. Trabajo de las fuerzas conservativas
$W_{co n s} = - Δ E_{p} = - (+ 2000)$
$W_{co n s} = - 2000 J$
Si la energía potencial aumenta, el campo gravitatorio realiza un trabajo negativo (el cuerpo «sube»).
2. Teorema de la energía cinética
$W_{t o t a l} = W_{co n s} = Δ E_{c} \Rightarrow E_{c, B} - E_{c, A} = - 2000 J$
$E_{c, B} < E_{c, A}$
Solo actúa la fuerza gravitatoria, conservativa: se conserva $E_{c} + E_{p}$ .
3. Punto de mayor velocidad
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} \Rightarrow v_{A} > v_{B}$
La velocidad es mayor en $A$
La energía cinética es mayor donde la potencial es menor.

1.B2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Un satélite artificial de la Tierra tiene una velocidad de $4, 2 km/s$ en una determinada órbita circular. Calcula: Datos: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ ; masa de la Tierra, $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24} kg$ ; radio de la Tierra, $R_{T} = 6400 km$ .

a)Las expresiones del radio de la órbita y del periodo del movimiento, así como sus valores numéricos.
b)La velocidad con la que debe lanzarse el satélite desde la superficie terrestre para situarlo en dicha órbita.

Órbita de radio r = GM/v²: 2,27·10⁷ m desde el centro

Apartado a

1. Radio de la órbita
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r} \Rightarrow r = \frac{G M _{T}}{v ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{420 0 ^{2}}$
$r = 2, 27 \cdot 1 0^{7} m$
Es decir, unos $22700$ km.
2. Periodo
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 2 , 27 \cdot 1 0 ^{7}}{4200}$
$T = 3, 39 \cdot 1 0^{4} s \approx 9, 4 h$

Apartado b

1. Conservación de la energía mecánica (superficie → órbita)
$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G M _{T} m}{R _{T}} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M _{T} m}{r} \Rightarrow v_{0} = v^{2} + 2 G M_{T} (\frac{1}{R _{T}} - \frac{1}{r})$
Se desprecia la rotación terrestre y el rozamiento atmosférico.
2. Valor numérico
$v_{0} = 420 0^{2} + 2 \cdot 4, 002 \cdot 1 0^{14} (\frac{1}{6 , 4 \cdot 1 0 ^{6}} - \frac{1}{2 , 27 \cdot 1 0 ^{7}})$
$v_{0} = 1, 04 \cdot 1 0^{4} m/s$
Unos $10, 4$ km/s: más que la velocidad orbital en la órbita.

2.A1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Sabiendo que el potencial eléctrico en el punto $P$ es nulo, determina el valor de la carga $q_{2}$ . Razona si será nulo el campo eléctrico en el punto $P$ .

V = 0 en P, pero los dos campos se suman: E no es nulo

1. Potencial en $P$ (suma de potenciales)
$V_{P} = \frac{k q _{1}}{a} + \frac{k q _{2}}{3 a} = 0$
Con $q_{1} = 1 mC$ el potencial de $q_{1}$ es positivo: $q_{2}$ debe ser negativa.
2. Despejamos $q_{2}$
$q_{2} = - 3 q_{1} = - 3 \cdot 1 mC$
$q_{2} = - 3 mC$
3. Campo en $P$ (vectorial)
$E_{1} = \frac{k q _{1}}{a ^{2}}  (se aleja de q_{1}), E_{2} = \frac{k ∣ q _{2} ∣}{( 3 a ) ^{2}}  = \frac{k q _{1}}{3 a ^{2}}  (se dirige a q_{2})$
$E_{P} = \frac{4 k q _{1}}{3 a ^{2}}  \neq = 0$
Los dos campos apuntan hacia la derecha y se suman. Que $V = 0$ no implica $E = 0$ : el potencial es escalar y el campo, vectorial.

2.B1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Una carga puntual de valor $q_{1} = - 4 μ C$ se encuentra en el punto $(0, 0)$ m y una segunda carga de valor desconocido, $q_{2}$ , se encuentra en el punto $(2, 0)$ m. Calcula el valor que debe tener la carga $q_{2}$ para que el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $(4, 0)$ m sea nulo. Representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas en ese punto.

En (4, 0): E_1 hacia q_1 y E_2 alejándose de q_2, de igual módulo

1. Condición de campo nulo (distancias $4$ m a $q_{1}$ y $2$ m a $q_{2}$ )
$E_{1} + E_{2} = 0 \Rightarrow \frac{k q _{1}}{4 ^{2}} + \frac{k q _{2}}{2 ^{2}} = 0$
Sobre el eje $X$ y a la derecha de ambas cargas, cada campo vale $E_{x} = k q / d^{2}$ (positivo si la carga es positiva).
2. Despejamos $q_{2}$
$q_{2} = - \frac{4}{16} q_{1} = - \frac{1}{4} \cdot (- 4 μ C)$
$q_{2} = + 1 μ C$
Debe ser positiva: su campo tiene que oponerse al de $q_{1}$ , que es negativa y atrae hacia ella.
3. Vectores
$E_{1} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 6}}{16} (- ) = - 2250  N/C, E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 1 0 ^{- 6}}{4}  = + 2250  N/C$
$E_{1} + E_{2} = 0$
$E_{1}$ apunta hacia $q_{1}$ (carga negativa), $E_{2}$ se aleja de $q_{2}$ (carga positiva).

3.A2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Dos cables rectilíneos y muy largos, paralelos entre sí, transportan corrientes eléctricas $I_{1} = 2 A$ e $I_{2} = 4 A$ con los sentidos representados en la figura adjunta. Datos: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A$ ; carga del electrón, $e = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

a)Calcula el campo magnético total (módulo, dirección y sentido) en el punto $P$ .
b)Sobre un electrón que se desplaza por el eje $X$ actúa una fuerza magnética $F = 1, 6 \cdot 1 0^{- 18}  N$ cuando pasa por el punto $P$ . Calcula el módulo de su velocidad en dicho punto.

En P: B_1 = 1 μT y B_2 = 4 μT, ambos salientes; total 5 μT saliente

Apartado a

1. Distancias y sentidos
$r_{1} = 40 cm$ (a $I_{1}$ ), $r_{2} = 20 cm$ (a $I_{2}$ ). Regla de la mano derecha: con $I_{1}$ e $I_{2}$ hacia $- y$ , en un punto situado a la derecha de ambos hilos cada corriente crea un campo saliente del papel
Las dos corrientes tienen el mismo sentido y $P$ queda a la derecha de las dos: los dos campos son perpendiculares al plano, saliente, y se suman.
2. Módulo de cada campo
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r _{1}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{0 , 4} = 1 \cdot 1 0^{- 6} T (+ k), B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 4}{0 , 2} = 4 \cdot 1 0^{- 6} T (+ k)$
3. Suma vectorial
$B = (1 + 4) \cdot 1 0^{- 6} k$
$B = 5 \cdot 1 0^{- 6} k T$
Módulo $5 μ T$ , dirección perpendicular al plano de los hilos y sentido saliente (hacia el lector).

Apartado b

1. Fuerza magnética sobre el electrón
$F = q v \times B$ con $v = v $ y $B = B k$ : $ \times k = -  \Rightarrow F = (- e) v B (- ) = e v B $
Con $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$ C en valor absoluto, $F > 0$ en $$ exige $v > 0$ : el electrón va hacia $+ X$ .
2. Velocidad
$v = \frac{F}{e B} = \frac{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 18}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 6}}$
$v = 2 \cdot 1 0^{6} m/s$
Inferior a $c /100$ : no hace falta tratamiento relativista.

3.B1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
1 resultado comprobado en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Escribe la ley de Faraday-Lenz y explica su significado. La figura muestra una varilla que se desliza hacia la derecha con velocidad $v$ sobre dos raíles paralelos formando una espira rectangular. El conjunto es conductor y se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme $B$ perpendicular al plano del papel. Explica el sentido de la corriente inducida en la espira en base a dicha ley.

Flujo entrante creciente → corriente antihoraria (⊗ B entrante)

1. Ley de Faraday-Lenz
$ε = - \frac{d Φ}{d t}, Φ = \int B \cdot d S$
Una variación del flujo magnético a través de un circuito induce en él una fuerza electromotriz; el signo menos (ley de Lenz) indica que la corriente inducida se opone a la variación de flujo que la produce.
2. Variación del flujo en la espira
Al moverse la varilla a la derecha crece el área $S = ℓ x$ de la espira (entre el lado izquierdo y la varilla), con $B$ constante: $\frac{d Φ}{d t} = B ℓ v > 0$ (flujo entrante creciente)
$∣ ε ∣ = B ℓ v$ .
3. Sentido de la corriente
El flujo entrante aumenta; por Lenz, la corriente crea un campo inducido saliente dentro de la espira (opuesto al aumento)
Corriente en sentido antihorario
Con la regla de la mano derecha, un campo saliente en el interior corresponde a corriente antihoraria; en la varilla va hacia arriba (coincide con $v \times B$ sobre las cargas positivas).

4.A1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

En la figura se representa un instante de la propagación de una onda armónica en una cuerda. La onda se mueve hacia la derecha sobre el eje $x$ , su periodo es $T = 4 s$ , la distancia entre los puntos $P$ y $Q$ es de $45 cm$ . Determina razonadamente la longitud de onda, la frecuencia angular y la velocidad de propagación.

PQ = 1,5 λ = 45 cm → λ = 30 cm

1. Longitud de onda
$P$ está en un nodo ascendente y $Q$ en uno descendente, tras un ciclo completo y medio: $\overline{P Q} = \frac{3}{2} λ$
$λ = \frac{45}{1 , 5} = 30 cm = 0, 30 m$
Entre $P$ y $Q$ la curva sube, baja, sube y vuelve a bajar a cero: 1 ciclo y medio.
2. Frecuencia angular
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{4}$
$ω = \frac{π}{2} = 1, 57 rad/s$
3. Velocidad de propagación
$v = \frac{λ}{T} = \frac{0 , 30}{4}$
$v = 0, 075 m/s = 7, 5 cm/s$
Hacia la derecha, según el enunciado.

4.B2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Como se observa en la figura, un rayo de luz monocromática incide (punto $A$ ) sobre un bloque de policarbonato que se encuentra rodeado de aire. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ .

a)Calcula el ángulo $α$ y el índice de refracción $n_{p}$ del policarbonato.
b)¿Cuál es la velocidad del rayo cuando se mueve en el policarbonato? Cuando el rayo llega al punto $B$ , ¿se refracta o se refleja? Realiza los cálculos necesarios para razonar la respuesta.

Refracción en A (45° → 26,6°) y reflexión total en B (63,4° > 39,2°)

Apartado a

1. Ángulo de refracción $α$ (medido respecto a la normal en $A$ )
$tan α = \frac{d}{2 d} = \frac{1}{2}$
$α = 26, 5 7^{\circ}$
La normal en la cara izquierda es la horizontal discontinua; $B$ está $d$ por encima y $2 d$ a la derecha de $A$ .
2. Ley de Snell
$n_{ai r e} sin 4 5^{\circ} = n_{p} sin α \Rightarrow n_{p} = \frac{0 , 7071}{0 , 4472}$
$n_{p} = 1, 58$

Apartado b

1. Velocidad en el policarbonato
$v = \frac{c}{n _{p}} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 58}$
$v = 1, 90 \cdot 1 0^{8} m/s$
2. Ángulo de incidencia en $B$ (la normal en la cara superior es vertical)
$θ_{B} = 9 0^{\circ} - α = 63, 4 3^{\circ}$
3. Ángulo límite
$sin θ_{c} = \frac{n _{ai r e}}{n _{p}} = \frac{1}{1 , 58} \Rightarrow θ_{c} = 39, 2^{\circ}$
$θ_{B} = 63, 4^{\circ} > θ_{c} = 39, 2^{\circ}$
Como el ángulo de incidencia supera el ángulo límite, no hay rayo refractado: el rayo se refleja totalmente en $B$ (reflexión total interna).

5.A1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Se tiene una lente de potencia $2$ dioptrías. Calcula razonadamente a qué distancia de la lente debe situarse un objeto para que la imagen tenga el mismo tamaño que el objeto y sea invertida. Realiza un trazado de rayos como comprobación de tu respuesta.

Objeto en 2F: imagen real, invertida y del mismo tamaño, en el 2F del otro lado (cm)

1. Distancia focal
$f^{'} = \frac{1}{P} = \frac{1}{2} = 0, 5 m$
$f^{'} = + 0, 5 m$ (convergente)
Potencia positiva: lente convergente.
2. Condición de imagen del mismo tamaño e invertida
$m = \frac{s ^{'}}{s} = - 1 \Rightarrow s^{'} = - s$
Ecuaciones de partida: Gauss, $\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}}$ , y aumento lateral, $m = s^{'} / s$ .
3. Sustituimos en Gauss
$\frac{1}{- s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow - \frac{2}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow s = - 2 f^{'} = - 1 m$
$s = - 1 m; s^{'} = + 1 m$
El objeto está a $1$ m a la izquierda de la lente, en $2 F$ , y la imagen real e invertida a $1$ m a la derecha.
4. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje: sale por el foco imagen; rayo por el centro óptico: no se desvía; ambos se cortan a $1$ m, bajo el eje, con altura $- y$
Comprobación gráfica: objeto y imagen a la misma distancia de la lente ( $2 f$ ) y del mismo tamaño.

5.B1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Una lente de $- 2$ dioptrías ¿es convergente o divergente? ¿El foco imagen de esta lente es real o virtual? Calcula la distancia focal imagen de esta lente. Razona qué tipo de defecto ocular (miopía o hipermetropía) puede corregir.

Lente de −2 D: f′ = −50 cm; los rayos refractados parecen salir del foco virtual F′

1. Tipo de lente
$P = - 2 D < 0$
Lente divergente
Las lentes divergentes tienen potencia negativa.
2. Distancia focal imagen
$f^{'} = \frac{1}{P} = \frac{1}{- 2}$
$f^{'} = - 0, 5 m = - 50 cm$
El foco imagen es virtual: queda del lado de la luz incidente, y es el punto de donde parecen divergir los rayos refractados.
3. Defecto que corrige
En la miopía la imagen se forma delante de la retina (el ojo converge demasiado)
Corrige la miopía
Una lente divergente separa los rayos antes de entrar en el ojo y retrasa la formación de la imagen hasta la retina.

6.A2 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
4 resultados comprobados en 2 apartados
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

El $^{60} Co$ se utilizaba como fuente de rayos gamma para ciertos tratamientos de radioterapia. Su periodo de semidesintegración es de $1925$ días. Se dispone de una muestra de $100 g$ de $^{60} Co$ . Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; masa molar del $^{60} Co$ , $M = 60 g/mol$ .

a)Calcula el valor de la constante de desintegración radiactiva y de la actividad inicial de la muestra.
b)Si hay que reemplazar la muestra cuando la actividad ha descendido a un tercio de la actividad inicial, ¿cuál es la vida útil en años de una muestra destinada a este uso?

A cae a A₀/3 a los 8,4 años (1,58 semividas)

Apartado a

1. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{1925 \cdot 86400 s}$
$λ = 4, 17 \cdot 1 0^{- 9} s^{- 1}$
Equivale a $3, 6 \cdot 1 0^{- 4} d^{- 1}$ .
2. Núcleos iniciales
$N_{0} = \frac{100 g}{60 g/mol} \cdot 6 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$
$N_{0} = 1 \cdot 1 0^{24}$ núcleos
3. Actividad inicial
$A_{0} = λ N_{0} = 4, 17 \cdot 1 0^{- 9} \cdot 1 0^{24}$
$A_{0} = 4, 17 \cdot 1 0^{15} Bq$

Apartado b

1. Condición de reemplazo
$A = A_{0} e^{- λ t} = \frac{A _{0}}{3} \Rightarrow e^{λ t} = 3 \Rightarrow t = \frac{ln 3}{λ} = \frac{ln 3}{ln 2} T_{1/2}$
$t = 3051 d = 8, 36 a \overset{n}{˜} os$
Con años de $365$ días: $3051/365 = 8, 36$ . Un poco más de $1, 5$ semividas.

6.B1.5 puntos

Comprobado con cálculo simbólico · muestra revisada antes de publicar

Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
Una muestra del lote la revisó un revisor independiente antes de publicar

Más sobre cómo verificamos

Ver errores ya corregidos

Una partícula de masa en reposo $m$ y energía igual a tres veces su energía en reposo se une a otra de igual masa y energía para formar una única partícula con velocidad nula y energía en reposo $M c^{2}$ . Si en el proceso de unión se conserva la energía, calcula razonadamente el valor de $M$ en función de $m$ y la velocidad de las partículas iniciales en función de la velocidad de la luz en el vacío, $c$ .

1. Energía de cada partícula inicial
$E = 3 m c^{2} = γ m c^{2} \Rightarrow γ = 3$
2. Conservación de la energía
$E_{an t es} = 2 \cdot 3 m c^{2} = 6 m c^{2}$ y $E_{despu \overset{e}{ˊ} s} = M c^{2}$ (partícula en reposo)
$M = 6 m$
La masa de la partícula resultante es mayor que la suma de masas en reposo ( $2 m$ ): la energía cinética se convierte en masa.
3. Velocidad de las partículas
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 3 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
$v = \frac{2 2}{3} c = 0, 943 c$