Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2016 · Ordinaria 2016

1.A2 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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Se sitúan dos cuerpos de masa $m_{1} = 2 kg$ y $m_{2} = 4 kg$ en dos vértices de un triángulo equilátero de lado $d = 2 m$ . Calcula: Dato: $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$

a)El campo gravitatorio en el tercer vértice, $P (0, 3)$ m, debido a cada una de las masas y el campo total.
b)La energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa $m_{3} = 5 g$ situado en $P$ y el trabajo necesario para trasladarla hasta el infinito.

Campos en P(0, √3): g_1 hacia m_1, g_2 hacia m_2 y total g

Apartado a

1. Posiciones y distancias
$m_{1} (- 1, 0)$ , $m_{2} (1, 0)$ , $P (0, 3)$ : $r_{1} = r_{2} = d = 2 m$ ; unitarios hacia las masas: $\overset{u}{^}_{1} = \frac{( - 1 , - 3 )}{2}$ , $\overset{u}{^}_{2} = \frac{( 1 , - 3 )}{2}$
2. Campo de cada masa
$g_{1} = \frac{G m _{1}}{d ^{2}} \overset{u}{^}_{1} = 3, 335 \cdot 1 0^{- 11} (- 0, 5, - 0, 866) = (- 1, 67, - 2, 89) \cdot 1 0^{- 11} N/kg$ ; $g_{2} = \frac{G m _{2}}{d ^{2}} \overset{u}{^}_{2} = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} (0, 5, - 0, 866) = (3, 34, - 5, 78) \cdot 1 0^{- 11}$
3. Campo total
$g = g_{1} + g_{2} = (1, 67  - 8, 66 ) \cdot 1 0^{- 11} N/kg$
$∣ g ∣ = 8, 82 \cdot 1 0^{- 11} N/kg$

Apartado b

1. Energía potencial de $m_{3}$ en $P$
$E_{p} = - G m_{3} (\frac{m _{1}}{r _{1}} + \frac{m _{2}}{r _{2}}) = - 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} \cdot 5 \cdot 1 0^{- 3} \cdot (\frac{2}{2} + \frac{4}{2})$
$E_{p} = - 1, 00 \cdot 1 0^{- 12} J$
2. Trabajo necesario para llevarla al infinito
$W_{e x t} = E_{p} (\infty) - E_{p} (P) = 0 - (- 1, 00 \cdot 1 0^{- 12})$
$W_{e x t} = + 1, 00 \cdot 1 0^{- 12} J$
Es el trabajo que debe aportar un agente externo; el campo realiza $- 1, 00 \cdot 1 0^{- 12}$ J.

1.B1.5 puntos

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Deduce la expresión que relaciona el radio y el periodo de una órbita circular. El planeta Júpiter tarda $4300$ días terrestres en describir una órbita alrededor del Sol. Calcula el radio de esa órbita suponiendo que es circular. Datos: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ ; masa del Sol, $M_{s} = 2, 00 \cdot 1 0^{30} kg$ .

Júpiter: T = 4300 d ⇒ r = (GMT²/4π²)^(1/3) = 7,76·10¹¹ m

1. Fuerza centrípeta
$\frac{G M _{s} m}{r ^{2}} = m ω^{2} r = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{s}} r^{3}$
Tercera ley de Kepler.
2. Radio
$r = (\frac{G M _{s} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ con $T = 4300 \cdot 86400 = 3, 715 \cdot 1 0^{8} s$
$r = (\frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{30} \cdot ( 3 , 715 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} = 7, 76 \cdot 1 0^{11} m$
Unos $7, 8 \cdot 1 0^{8}$ km: coincide con el valor real de la órbita de Júpiter.

2.A1.5 puntos

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Define periodo y amplitud de un oscilador armónico. En las gráficas (a) y (b) se representan las posiciones, $y (t)$ , frente al tiempo de dos osciladores. ¿Cuál de ellos tiene mayor frecuencia? Justifica la respuesta.

Mayor frecuencia en (b): T_b ≈ 1,45 ms < T_a ≈ 3,1 ms

1. Definiciones
Periodo $T$ : tiempo que tarda en completar una oscilación. Amplitud $A$ : máxima elongación respecto a la posición de equilibrio
La frecuencia es $f = 1/ T$ .
2. Lectura de las gráficas
(a): máximos en $0, 8$ ; $3, 9$ ; $7, 0$ ms $\Rightarrow T_{a} \approx 3, 1$ ms. (b): $\approx 7$ ciclos en $10$ ms $\Rightarrow T_{b} \approx 1, 45$ ms
Amplitud $A = 2$ mm en ambos
3. Frecuencias
$f_{a} = \frac{1}{T _{a}} \approx 320 Hz, f_{b} = \frac{1}{T _{b}} \approx 690 Hz$
Mayor frecuencia: el oscilador (b) ( $f_{b} \approx 2, 1 f_{a}$ )
En el mismo intervalo de tiempo el (b) completa más ciclos: menor periodo, mayor frecuencia.

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Una persona de masa $70 kg$ está de pie en una plataforma que oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio, comportándose como un oscilador armónico simple. Su posición inicial es $y (0) = A sen (π /3) cm$ donde $A = 1, 5 cm$ , y su velocidad inicial $v_{y} (0) = 0, 6 cos (π /3) m/s$ . Calcula razonadamente:

a)La pulsación o frecuencia angular y la posición de la persona en función del tiempo, $y (t)$ .
b)La energía mecánica de dicho oscilador en cualquier instante.

y(t) = 1,5 sen(40t + π/3) cm: y(0) = 1,30 cm

Apartado a

1. Forma de la ecuación
$y (t) = A sen (ω t + ϕ)$ , $v_{y} = A ω cos (ω t + ϕ)$ ; $ϕ = π /3$ (de $y (0)$ )
2. Pulsación
$v_{y} (0) = A ω cos \frac{π}{3} = 0, 6 cos \frac{π}{3} \Rightarrow A ω = 0, 6 m/s \Rightarrow ω = \frac{0 , 6}{0 , 015}$
$ω = 40 rad/s$
3. Posición
$y (t) = 1, 5 sen (40 t + \frac{π}{3}) cm$

Apartado b

1. Energía mecánica
$E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 70 \cdot 4 0^{2} \cdot (0, 015)^{2}$
$E = 12, 6 J$
Constante en el tiempo (oscilador conservativo); $k = m ω^{2} = 1, 12 \cdot 1 0^{5}$ N/m.

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Se tiene un objeto real y una lente convergente en aire, y se desea formar una imagen virtual, derecha y mayor. ¿Dónde habría que colocar dicho objeto? Responde utilizando el trazado de rayos. Explica la trayectoria de cada uno de los rayos.

Objeto entre F y la lente: imagen virtual, derecha y mayor

1. Posición del objeto
Entre el foco objeto y la lente: $∣ s ∣ < f^{'}$
Con $s^{'} < 0$ (virtual) y $m = s^{'} / s > 1$
De $\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s}$ resulta $s^{'} < 0$ solo si $∣ s ∣ < f^{'}$ .
2. Rayo paralelo al eje
Se refracta pasando por el foco imagen $F^{'}$ (sale divergente; su prolongación pasa por $F^{'}$ )
3. Rayo por el centro óptico
Atraviesa la lente sin desviarse
4. Rayo que sale del foco objeto
Sale paralelo al eje
Las prolongaciones hacia atrás de los rayos refractados se cortan en el punto imagen
Imagen virtual (del mismo lado que el objeto), derecha y mayor: funcionamiento de una lupa.

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Un rayo incide sobre la superficie de separación de dos medios. El primer medio tiene un índice de refracción $n_{1}$ , el segundo un índice de refracción $n_{2}$ , de tal forma que $n_{1} < n_{2}$ , ¿se puede producir el fenómeno de reflexión total? Y si ocurriese que $n_{1} = 1, 6$ y $n_{2} = 1, 3$ , ¿cuál sería el ángulo límite? Razona las respuestas.

n₁ = 1,6 > n₂ = 1,3: θ_c = 54,3° (refracción rasante)

1. Condición de reflexión total
Ley de Snell: $n_{1} sen θ_{1} = n_{2} sen θ_{2}$ ; la reflexión total requiere $sen θ_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sen θ_{1} > 1$
Solo es posible si $n_{1} > n_{2}$ (de medio más denso a menos denso).
2. Caso $n_{1} < n_{2}$
$\frac{n _{1}}{n _{2}} < 1 \Rightarrow sen θ_{2} < sen θ_{1} \leq 1$
No puede producirse reflexión total
El rayo siempre se refracta, acercándose a la normal.
3. Ángulo límite ( $n_{1} = 1, 6 > n_{2} = 1, 3$ )
$sen θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}} = \frac{1 , 3}{1 , 6} = 0, 8125$
$θ_{c} = 54, 3^{\circ}$
Para incidencia mayor que $54, 3^{\circ}$ no hay rayo refractado.

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Un electrón entra en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme $B$ . ¿Qué tipo de trayectoria describirá dentro del campo magnético si su velocidad es paralela a dicho campo? ¿Y si su velocidad es perpendicular al campo? Razona las respuestas.

v ⟂ B: trayectoria circular de radio R = mv/(eB) (electrón: giro horario)

1. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B$
Es siempre perpendicular a $v$ y a $B$ : no realiza trabajo y no cambia el módulo de $v$ .
2. $v ∥ B$
$v \times B = 0 \Rightarrow F = 0$
Movimiento rectilíneo uniforme
Sin fuerza, el electrón sigue en línea recta con velocidad constante.
3. $v ⊥ B$
$F = e v B$ perpendicular a $v$ , hace de fuerza centrípeta: $e v B = \frac{m v ^{2}}{R} \Rightarrow R = \frac{m v}{e B}$
Movimiento circular uniforme
Radio constante $R = m v / (e B)$ y periodo $T = 2 π m / (e B)$ , independiente de $v$ .

4.B2 puntos

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Tres cargas eléctricas iguales de valor $3 μ C$ se sitúan en los puntos $(1, 0)$ m, $(- 1, 0)$ m y $(0, - 1)$ m. Dato: constante de Coulomb: $k_{e} = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)Dibuja en el punto $(0, 0)$ los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas. Calcula el vector campo eléctrico resultante en dicho punto.
b)Calcula el trabajo realizado en el desplazamiento de una carga eléctrica puntual de $1 μ C$ entre $(0, 0)$ m y $(0, 1)$ m. Razona si la carga se puede mover espontáneamente a dicho punto $(0, 1)$ m.

En el origen: E_1 y E_2 se anulan; E_3 = 27 000 N/C hacia +y

Apartado a

1. Campo de cada carga en el origen ( $r = 1$ m, $E = k q / r^{2} = 27000$ N/C; se alejan de las cargas positivas)
$E_{1} = - 27000  (carga en (1, 0)), E_{2} = + 27000  (carga en (- 1, 0)), E_{3} = + 27000  (carga en (0, - 1))$
2. Campo resultante
$E = E_{1} + E_{2} + E_{3}$
$E = 27000  N/C$
Los campos de las cargas del eje $X$ se anulan.

Apartado b

1. Potencial en $(0, 0)$ y en $(0, 1)$
$V_{O} = k q (1 + 1 + 1) = 27000 \cdot 3 = 81000 V; V_{(0, 1)} = k q (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 27000 \cdot 1, 914 = 51680 V$
2. Trabajo del campo
$W = q (V_{O} - V_{(0, 1)}) = 1 0^{- 6} (81000 - 51680)$
$W = + 2, 93 \cdot 1 0^{- 2} J$
Positivo: el campo realiza el trabajo. La carga positiva va hacia potenciales menores ( $V_{(0, 1)} < V_{O}$ ), por lo que sí puede moverse espontáneamente.

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Para el estudio de tumores mediante tomografía de emisión, se utiliza el isótopo radiactivo $_{9}^{18} F$ , que se desintegra según la reacción $_{9}^{18} F \to_{8}^{18} O + Y$ . Se genera una muestra inyectable cuya actividad inicial es $A_{0} = 800 MBq$ . Para que el producto sea efectivo (pueda efectuarse la tomografía) la muestra debe inyectarse al paciente con una actividad mínima $A = 300 MBq$ . Datos: Periodo de semidesintegración del $_{9}^{18} F$ : $109, 8 min$ ; masa de un átomo de $_{9}^{18} F$ : $18, 00 u$ ; unidad de masa atómica $u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$

a)Determina $Y$ e indica el tipo de desintegración radiactiva. Calcula la masa de $_{9}^{18} F$ (en picogramos) en la muestra inicial.
b)Calcula el tiempo máximo (en minutos) que puede transcurrir desde que se genera la muestra hasta que se inyecta.

A(t) = 800 e^(−λt) MBq: baja a 300 MBq a los 155 min

Apartado a

1. Partícula $Y$
Conservación: $A$ : $18 = 18 + A_{Y} \Rightarrow A_{Y} = 0$ ; $Z$ : $9 = 8 + Z_{Y} \Rightarrow Z_{Y} = + 1$
$Y =_{+ 1}^{0} e$ (positrón): desintegración $β^{+}$
Se emite también un neutrino. Un protón se convierte en neutrón.
2. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T} = \frac{0 , 693}{109 , 8 \cdot 60 s}$
$λ = 1, 052 \cdot 1 0^{- 4} s^{- 1}$
3. Núcleos y masa iniciales
$N_{0} = \frac{A _{0}}{λ} = \frac{8 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 052 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 7, 60 \cdot 1 0^{12}$ núcleos; $m = N_{0} \cdot 18, 00 \cdot 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$
$m = 2, 27 \cdot 1 0^{- 13} kg = 227 pg$
$1$ pg $= 1 0^{- 15}$ kg.

Apartado b

1. Tiempo máximo
$A = A_{0} e^{- λ t} \Rightarrow t = \frac{1}{λ} ln \frac{A _{0}}{A} = \frac{ln ( 800/300 )}{1 , 052 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 9321 s$
$t = 155 min$
Equivale a $1, 41$ semividas.

5.B1.5 puntos

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Un electrón se mueve a una velocidad $0, 9 c$ . Calcula la energía en reposo, la energía total y la energía cinética relativista. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; masa del electrón, $m = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ .

1. Energía en reposo
$E_{0} = m c^{2} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
$E_{0} = 8, 19 \cdot 1 0^{- 14} J$ ( $0, 511$ MeV)
2. Factor de Lorentz y energía total
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 9 ^{2}} = 2, 294; E = γ E_{0} = 2, 294 \cdot 8, 19 \cdot 1 0^{- 14}$
$E = 1, 88 \cdot 1 0^{- 13} J$
3. Energía cinética
$E_{c} = E - E_{0} = (γ - 1) E_{0} = 1, 294 \cdot 8, 19 \cdot 1 0^{- 14}$
$E_{c} = 1, 06 \cdot 1 0^{- 13} J$
La fórmula clásica $\frac{1}{2} m v^{2} = 3, 3 \cdot 1 0^{- 14}$ J subestimaría la energía en un factor $3$ .

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En una experiencia de efecto fotoeléctrico, se hace incidir luz de longitud de onda $λ_{1}$ sobre una placa de potasio y se emiten electrones cuya velocidad máxima es $v_{1}$ . Si la longitud de onda umbral para el potasio es $λ_{0}$ y la luz incidente tiene una longitud de onda $λ_{2}$ tal que $λ_{0} > λ_{2} > λ_{1}$ , la velocidad máxima, $v_{2}$ , de los electrones, ¿será mayor o menor que $v_{1}$ ? Razona la respuesta.

λ₁ < λ₂ < λ₀ ⇒ f₁ > f₂ > f₀ ⇒ E_c1 > E_c2

1. Ecuación de Einstein
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{h c}{λ} - \frac{h c}{λ _{0}}$
La energía del fotón se reparte entre extraer el electrón ( $W_{0} = h c / λ_{0}$ ) y darle energía cinética.
2. Comparación
$λ_{2} > λ_{1} \Rightarrow \frac{h c}{λ _{2}} < \frac{h c}{λ _{1}} \Rightarrow E_{c, 2} < E_{c, 1}$
$v_{2} < v_{1}$
Hay emisión con $λ_{2}$ porque $λ_{2} < λ_{0}$ , pero los fotones son menos energéticos que con $λ_{1}$ .

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Define la energía de enlace por nucleón. La energía de enlace por nucleón del hierro $^{56} Fe$ es de $8, 79 MeV/nucle \overset{o}{ˊ} n$ y disminuye progresivamente al aumentar el número de nucleones hasta alcanzar los $7, 59 MeV/nucle \overset{o}{ˊ} n$ para el uranio $^{235} U$ . Explica cuál de los dos núcleos es más estable y por qué es posible obtener energía al fisionar átomos de uranio. Razona las respuestas.

B/A: máximo en el ⁵⁶Fe (8,79 MeV); ²³⁵U (7,59 MeV): la fisión sube hacia el máximo

1. Definición
Energía de enlace por nucleón: $\frac{B}{A} = \frac{Δ m c ^{2}}{A}$ , con $Δ m = Z m_{p} + (A - Z) m_{n} - m_{n \overset{u}{ˊ} c l eo}$
Es la energía media necesaria para arrancar un nucleón del núcleo; mide su estabilidad.
2. Estabilidad
Cuanto mayor es $B / A$ , más estable es el núcleo
El $^{56}$ Fe ( $8, 79$ MeV) es más estable que el $^{235}$ U ( $7, 59$ MeV)
El hierro está en el máximo de la curva de estabilidad.
3. Fisión del uranio
Al fisionarse el uranio se forman núcleos de masa intermedia con $B / A \approx 8, 5$ MeV, mayor que $7, 59$ MeV
Se libera energía
Energía liberada $\approx A Δ (B / A) \approx 235 \cdot (8, 5 - 7, 6) \approx 200$ MeV por fisión; el defecto de masa se transforma en energía ( $E = Δ m c^{2}$ ).