Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2015 · Ordinaria 2015

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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a) Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de un cuerpo que se encuentra a una distancia $r$ del centro de un planeta de masa $M$ y gira a su alrededor siguiendo una órbita circular. b) Dos satélites, $A$ y $B$ , siguen sendas órbitas circulares con radios $r_{A}$ y $r_{B} = 9 r_{A}$ , respectivamente, ¿cuál de los dos se moverá con mayor velocidad? Razona la respuesta.

a)Deduce la expresión de la velocidad orbital.
b)¿Qué satélite se mueve con mayor velocidad?

r_B = 9 r_A ⇒ v_B = v_A / 3

Apartado a

1. Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$
La gravedad es la única fuerza y apunta al centro; la masa $m$ del cuerpo se simplifica.
2. Velocidad orbital
$v = \frac{GM}{r}$
$v = GM / r$
No depende de la masa del satélite.

Apartado b

1. Cociente de velocidades
$\frac{v _{B}}{v _{A}} = \frac{r _{A}}{r _{B}} = \frac{r _{A}}{9 r _{A}} = \frac{1}{3}$
$v_{B} = \frac{v _{A}}{3}$
La velocidad disminuye al aumentar el radio: se mueve más rápido el satélite más cercano.

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Nuestra galaxia, la Vía Láctea, se encuentra próxima a la galaxia $M 33$ , cuya masa se estima que es $0, 1$ veces la masa de la primera. Suponiendo que son puntuales y están separadas por una distancia $d$ , justifica razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determina la distancia de ese punto a la Vía Láctea, expresando el resultado en función de $d$ .

Punto de campo nulo a 0,76 d

1. Existencia
Entre las dos masas los campos de cada una apuntan en sentidos opuestos (cada uno hacia su galaxia), luego pueden anularse
Fuera del segmento ambos apuntan al mismo lado y nunca se anulan.
2. Condición de campo nulo
Con $x$ la distancia a la Vía Láctea (masa $M$ ): $\frac{GM}{x ^{2}} = \frac{G 0 , 1 M}{( d - x ) ^{2}}$
$\frac{d - x}{x} = 0, 1$
3. Resolución
$d - x = 0, 316 x \Rightarrow x = \frac{d}{1 + 0 , 316}$
$x = 0, 760 d$
El punto queda más cerca de la galaxia menos masiva ( $0, 24 d$ de ella) que de la Vía Láctea.

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Una onda sonora de frecuencia $f$ se propaga por un medio (1) con velocidad $v_{1}$ . En un cierto punto, la onda pasa a otro medio (2) en el que la velocidad de propagación es $v_{2} = 3 v_{1}$ . Determina razonadamente los valores de la frecuencia, el periodo y la longitud de onda en el medio (2) en función de los que tiene la onda en el medio (1).

Misma f: λ₂ = 3λ₁

1. Frecuencia
La frecuencia la impone el foco emisor y no cambia al cambiar de medio
$f_{2} = f_{1} = f$
2. Periodo
$T_{2} = \frac{1}{f _{2}} = \frac{1}{f _{1}}$
$T_{2} = T_{1}$
3. Longitud de onda
$λ_{2} = \frac{v _{2}}{f} = \frac{3 v _{1}}{f} = 3 λ_{1}$
$λ_{2} = 3 λ_{1}$
Con la misma frecuencia, una velocidad triple da una longitud de onda triple.

2.B2 puntos

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Un cuerpo de $2 kg$ de masa realiza un movimiento armónico simple. La gráfica representa su elongación en función del tiempo, $y (t)$ .

a)Escribe la expresión de $y (t)$ en general y particulariza sustituyendo los valores de la amplitud, frecuencia angular y la fase inicial, obtenidos a partir de la gráfica.
b)Calcula la expresión de la velocidad del cuerpo $v (t)$ , y su valor para $t = 3 s$ .

y(t) = 4 sen(πt/6 − π/2) mm

Apartado a

1. Expresión general
$y (t) = A sen (ω t + φ_{0})$
2. Lectura de la gráfica
Amplitud $A = 4 mm$ . Periodo: de un mínimo (0 s) al siguiente (12 s), $T = 12 s$
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{π}{6} = 0, 524 rad/s$
3. Fase inicial
$y (0) = - 4 = 4 sen φ_{0} \Rightarrow sen φ_{0} = - 1$
$φ_{0} = - \frac{π}{2}$ rad
La señal sube desde el mínimo, coherente con $φ_{0} = - π /2$ .
4. Expresión particular
$y (t) = 4 sen (\frac{π}{6} t - \frac{π}{2}) mm$
$y (t) = - 4 cos (\frac{π}{6} t) mm$

Apartado b

1. Velocidad
$v (t) = \frac{d y}{d t} = A ω cos (ω t + φ_{0}) = 4 \cdot \frac{π}{6} cos (\frac{π}{6} t - \frac{π}{2}) mm/s$
$v (t) = \frac{2 π}{3} cos (\frac{π}{6} t - \frac{π}{2}) mm/s$
2. Valor en $t = 3$ s
$v (3) = \frac{2 π}{3} cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2}) = \frac{2 π}{3}$
$v (3) = 2, 09 mm/s = 2, 09 \cdot 1 0^{- 3} m/s$
En $t = 3$ s el cuerpo pasa por $y = 0$ hacia arriba, con velocidad máxima.

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Describe qué problema de visión tiene una persona que sufre de hipermetropía y explica razonadamente el fenómeno con ayuda de un trazado de rayos. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por qué?

Foco detrás de la retina

1. Defecto
En el ojo hipermétrope los rayos de un objeto lejano llegarían a converger detrás de la retina
El globo ocular es demasiado corto o el cristalino converge poco: la imagen se forma «detrás» de la retina y se ve borrosa, sobre todo de cerca.
2. Trazado de rayos
Rayos paralelos → cristalino → se dirigen a un foco situado más allá de la retina; sobre la retina cae un círculo borroso
3. Corrección
Se antepone una lente convergente (positiva)
Lente convergente
Añade convergencia: adelanta el punto donde se juntan los rayos hasta la retina.

3.B2 puntos

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En un laboratorio se estudian las características de una lente perteneciente a la cámara de un teléfono móvil. Si se sitúa un objeto real a $30 mm$ de la lente, se obtiene una imagen derecha y de doble tamaño que el objeto.

a)Calcula razonadamente la posición de la imagen, la distancia focal imagen de la lente y su potencia en dioptrías. ¿La lente es convergente o divergente?
b)Realiza un trazado de rayos donde se señale claramente la posición y el tamaño, tanto del objeto como de la imagen. ¿Es la imagen real o virtual?

Lupa: s = −30 mm, s' = −60 mm

Apartado a

1. Posición de la imagen
Imagen derecha de doble tamaño: $m = \frac{s ^{'}}{s} = + 2$ con $s = - 30 mm$
$s^{'} = 2 s = - 60 mm$
Normas DIN: $s^{'} < 0$ , la imagen queda a la izquierda de la lente (mismo lado que el objeto).
2. Distancia focal
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{- 60} - \frac{1}{- 30} = \frac{1}{60} m m^{- 1}$
$f^{'} = + 60 mm$
3. Potencia y tipo
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 060 m}$
$P = + 16, 7 D$ ; lente convergente
$f^{'} > 0$ : convergente, funcionando como lupa (objeto dentro de la distancia focal).

Apartado b

1. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje que sale por el foco imagen; rayo por el centro óptico sin desviarse. Los rayos emergentes divergen: se cortan al prolongarlos hacia atrás
Imagen virtual, derecha y de 2 veces el tamaño, a 60 mm de la lente
Las prolongaciones (discontinuas) se cortan a la izquierda: la imagen es virtual.

4.A2 puntos

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Dada la distribución de cargas representada en la figura, calcula: Dato: $k_{e} = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)El campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) en el punto $A$ .
b)El trabajo mínimo necesario para trasladar una carga $q_{3} = 1 nC$ desde el infinito hasta el punto $A$ . Considera que el potencial eléctrico en el infinito es nulo.

Campos en A: E_1 se aleja de q_1, E_2 apunta a q_2

Apartado a

1. Geometría
$q_{1}$ en $(0, 0)$ , $q_{2}$ en $(5, 196, 0)$ y $A (5, 196, - 3)$ m. $r_{2} = d = 3 m$ y $r_{1} = \frac{d}{sen 3 0 ^{\circ}} = 6 m$
$q_{1} q_{2} = d / tan 3 0^{\circ} = 5, 196$ m.
2. Campo de $q_{1}$ (positiva: se aleja de ella)
$E_{1} = \frac{k q _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 6}}{36} = 1250 N/C$ ; $\overset{u}{^}_{1} = (cos 3 0^{\circ}, - sen 3 0^{\circ})$
$E_{1} = (1082, 5  - 625 ) N/C$
3. Campo de $q_{2}$ (negativa: apunta hacia ella)
$E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 , 6 \cdot 1 0 ^{- 6}}{9} = 3600 N/C$ , hacia arriba
$E_{2} = 3600  N/C$
4. Campo total
$E = E_{1} + E_{2} = (1082, 5  + 2975 )$ ; $∣ E ∣ = 1082, 5^{2} + 297 5^{2}$
$∣ E ∣ = 3166 N/C$ , a $70, 0^{\circ}$ sobre el eje $+ X$
Apunta hacia arriba y a la derecha: manda la carga negativa, más cercana.

Apartado b

1. Potencial en $A$
$V_{A} = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}}) = 9 \cdot 1 0^{9} (\frac{5 \cdot 1 0 ^{- 6}}{6} - \frac{3 , 6 \cdot 1 0 ^{- 6}}{3})$
$V_{A} = - 3300 V$
2. Trabajo mínimo (agente externo)
$W_{e x t} = q_{3} (V_{A} - V_{\infty}) = 1 0^{- 9} \cdot (- 3300)$
$W_{e x t} = - 3, 3 \cdot 1 0^{- 6} J$
Negativo: el campo atrae a $q_{3}$ hacia $A$ y es él quien hace el trabajo; no hay que aportar energía.

4.B1.5 puntos

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La figura representa un conductor rectilíneo de longitud muy grande recorrido por una corriente continua de intensidad $I$ y una espira conductora rectangular, ambos contenidos en el mismo plano. Justifica, indicando la ley física en la que te basas para responder, si se inducirá corriente en la espira en los siguientes casos: a) la espira se mueve hacia la derecha, b) la espira se encuentra en reposo.

a)La espira se mueve hacia la derecha.
b)La espira se encuentra en reposo.

Espira alejándose del hilo

1. Ley
Ley de Faraday–Lenz: $ε = - \frac{d Φ}{d t}$ , con $Φ = B \cdot S$
Solo hay corriente inducida si varía el flujo magnético que atraviesa la espira.

Apartado a

1. Espira en movimiento
El campo del hilo, $B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ , disminuye al alejarse: el flujo decrece
$ε \neq = 0$ : se induce corriente
Lenz: el flujo entrante decrece, así que la corriente inducida lo refuerza creando campo entrante: sentido horario.

Apartado b

1. Espira en reposo
$B$ y $S$ constantes (corriente continua) ⇒ $\frac{d Φ}{d t} = 0$
$ε = 0$ : no hay corriente inducida

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Calcula la masa total de deuterio necesaria diariamente en una hipotética central de fusión, para que genere una energía de $3, 8 \cdot 1 0^{13} J$ diarios, sabiendo que la energía procede de la reacción $2_{1}^{2} H \to_{2}^{4} He$ . Datos: masa del deuterio, $m (_{1}^{2} H) = 2, 01474 u$ ; masa del helio, $m (_{2}^{4} He) = 4, 00387 u$ ; unidad de masa atómica, $u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

1. Defecto de masa por reacción
$Δ m = 2 \cdot 2, 01474 - 4, 00387 = 0, 02561 u = 4, 251 \cdot 1 0^{- 29} kg$
2. Energía por reacción
$E = Δ m c^{2} = 4, 251 \cdot 1 0^{- 29} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
$E = 3, 826 \cdot 1 0^{- 12} J$
3. Número de reacciones y de núcleos de deuterio
$N_{r e a c} = \frac{3 , 8 \cdot 1 0 ^{13}}{3 , 826 \cdot 1 0 ^{- 12}} = 9, 93 \cdot 1 0^{24}$ ; $N_{D} = 2 N_{r e a c}$
$N_{D} = 1, 986 \cdot 1 0^{25}$ núcleos
Cada reacción consume 2 núcleos.
4. Masa de deuterio
$m = N_{D} \cdot 2, 01474 u \cdot 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} = 1, 986 \cdot 1 0^{25} \cdot 3, 345 \cdot 1 0^{- 27}$
$m = 0, 0664 kg \approx 66 g$ al día

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Escribe la expresión de la energía de un fotón indicando el significado de cada símbolo. Supongamos que un fotón choca con un electrón en la superficie de un metal, transfiriendo toda su energía al electrón. Discute si el electrón será emitido siempre o bajo qué condiciones. ¿Cómo se denomina el fenómeno físico al que se refiere esta explicación?

1. Energía del fotón
$E = h f = \frac{h c}{λ}$
$h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J·s es la constante de Planck, $f$ la frecuencia, $c$ la velocidad de la luz y $λ$ la longitud de onda.
2. Condición de emisión
El electrón sale solo si $h f \geq W_{0}$ , siendo $W_{0}$ el trabajo de extracción del metal ( $f \geq f_{0} = W_{0} / h$ )
Si $h f < W_{0}$ el electrón no escapa, aunque aumente la intensidad. Si $h f > W_{0}$ sale con $E_{c} = h f - W_{0}$ .
3. Fenómeno
Efecto fotoeléctrico
Efecto fotoeléctrico

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Un paciente se somete a una prueba diagnóstica en la que se le inyecta un fármaco que contiene un cierto isótopo radiactivo. Éste se fija en el órgano de interés y se detecta la emisión radiactiva que produce. La actividad inicial de la sustancia inyectada debe ser de $5 \cdot 1 0^{8} Bq$ (desintegraciones/segundo) y su periodo de semidesintegración es de $6 h$ . Calcula: Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6, 02 \cdot 1 0^{23} mo l^{- 1}$ ; masa molar del isótopo, $m_{M} = 98 g/mol$

a)La cantidad de isótopo radiactivo, en gramos, que hay que inyectarle.
b)El tiempo que ha de transcurrir para que la actividad del isótopo sea de $1 0^{4} Bq$ .

Apartado a

1. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{6 \cdot 3600 s}$
$λ = 3, 209 \cdot 1 0^{- 5} s^{- 1}$
2. Número de núcleos
$A_{0} = λ N_{0} \Rightarrow N_{0} = \frac{5 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 209 \cdot 1 0 ^{- 5}}$
$N_{0} = 1, 558 \cdot 1 0^{13}$ núcleos
3. Masa
$m = \frac{N _{0}}{N _{A}} M = \frac{1 , 558 \cdot 1 0 ^{13}}{6 , 02 \cdot 1 0 ^{23}} \cdot 98$
$m = 2, 54 \cdot 1 0^{- 9} g$
Una cantidad minúscula: bastan nanogramos para tener esa actividad.

Apartado b

1. Tiempo
$A = A_{0} e^{- λ t} \Rightarrow t = \frac{1}{λ} ln \frac{A _{0}}{A} = \frac{ln ( 5 \cdot 1 0 ^{4} )}{3 , 209 \cdot 1 0 ^{- 5}}$
$t = 3, 37 \cdot 1 0^{5} s = 93, 7 h \approx 3, 9$ días
Unas 15,6 semividas: $2^{15, 6} \approx 5 \cdot 1 0^{4}$ .

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La energía relativista de una partícula que se mueve a una velocidad $v$ es el doble de su energía en reposo. Calcula su velocidad. Dato: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

1. Condición
$E = γ m c^{2} = 2 m c^{2} \Rightarrow γ = 2$
2. Despeje de $v$
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 2 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$v = \frac{3}{2} c$
3. Valor
$v = 0, 866 \cdot 3 \cdot 1 0^{8}$
$v = 2, 60 \cdot 1 0^{8} m/s$
Es el 86,6 % de la velocidad de la luz.