Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2014 · Ordinaria 2014

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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La Luna tarda $27$ días y $8$ horas aproximadamente en completar una órbita circular alrededor de la Tierra, con un radio de $3, 84 \cdot 1 0^{5} km$ . Calcula razonadamente la masa de la Tierra. Dato: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$

Órbita lunar: r = 3,84·10⁵ km

1. Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = m \frac{4 π ^{2}}{T ^{2}} r \Rightarrow M_{T} = \frac{4 π ^{2} r ^{3}}{G T ^{2}}$
Es la tercera ley de Kepler aplicada a la órbita lunar.
2. Datos en el SI
$T = 27 \cdot 86400 + 8 \cdot 3600 = 2, 3616 \cdot 1 0^{6} s$ ; $r = 3, 84 \cdot 1 0^{8} m$
3. Masa de la Tierra
$M_{T} = \frac{4 π ^{2} ( 3 , 84 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{3}}{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot ( 2 , 3616 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}}$
$M_{T} = 6, 01 \cdot 1 0^{24} kg$
Coincide con el valor aceptado, $5, 97 \cdot 1 0^{24}$ kg.

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Nos encontramos en la superficie de la Luna. Ponemos una piedra sobre una báscula en reposo y ésta indica $1, 58 N$ . Determina razonadamente la intensidad de campo gravitatorio en la superficie lunar y la masa de la piedra sabiendo que el radio de la Luna es $0, 27$ veces el radio de la Tierra y que la masa de la Luna es $1/85$ la masa de la Tierra. Dato: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre, $g_{T i er r a} = 9, 8 m/ s^{2}$

1. Campo en la superficie lunar
$g_{L} = \frac{G M _{L}}{R _{L}^{2}} = \frac{G M _{T} /85}{( 0 , 27 R _{T} ) ^{2}} = g_{T} \frac{1}{85 \cdot 0 , 2 7 ^{2}} = \frac{9 , 8}{6 , 197}$
$g_{L} = 1, 58 N/kg$
2. Masa de la piedra
La báscula marca el peso: $P = m g_{L} \Rightarrow m = \frac{1 , 58}{1 , 58}$
$m = 1, 0 kg$
La masa no cambia: en la Tierra pesaría $9, 8$ N.

2.A1.5 puntos

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Explica brevemente qué es el efecto Doppler. Indica alguna situación física en la que se ponga de manifiesto este fenómeno.

1. Qué es
Variación de la frecuencia (y de la longitud de onda) que percibe un observador cuando hay movimiento relativo entre el foco emisor de la onda y el observador
Si se acercan, la frecuencia percibida es mayor; si se alejan, menor.
2. Expresión (sonido)
$f^{'} = f \frac{v \pm v _{o}}{v \mp v _{f}}$
$v$ velocidad de la onda en el medio; $v_{o}$ del observador y $v_{f}$ del foco; se suma en el numerador si el observador se acerca y se resta en el denominador si el foco se acerca.
3. Situación física
La sirena de una ambulancia suena más aguda al acercarse y más grave al alejarse; en luz, el corrimiento al rojo de las galaxias que se alejan

2.B2 puntos

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La función que representa una onda sísmica es $y (x, t) = 2 sen (\frac{π}{5} t - 2, 2 x)$ , donde $x$ e $y$ están expresadas en metros y $t$ en segundos. Calcula razonadamente:

a)La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda.
b)La velocidad de un punto situado a $2 m$ del foco emisor, para $t = 10 s$ . Un instante $t$ para el que dicho punto tenga velocidad nula.

Apartado a

1. Comparación con $y = A sen (ω t - k x)$
$A = 2 m$ ; $ω = \frac{π}{5} rad/s$ ; $k = 2, 2 rad/m$
$A = 2 m$
2. Periodo y frecuencia
$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{π /5}$ ; $f = \frac{1}{T}$
$T = 10 s$ ; $f = 0, 1 Hz$
3. Longitud de onda
$λ = \frac{2 π}{k} = \frac{2 π}{2 , 2}$
$λ = 2, 86 m$

Apartado b

1. Velocidad de oscilación
$v = \frac{\partial y}{\partial t} = 2 \frac{π}{5} cos (\frac{π}{5} t - 2, 2 x)$ ; en $x = 2$ m, $t = 10$ s: $v = 0, 4 π cos (2 π - 4, 4)$
$v = - 0, 386 m/s$
2. Instante de velocidad nula
$v = 0 \Rightarrow cos (\frac{π}{5} t - 4, 4) = 0 \Rightarrow \frac{π}{5} t - 4, 4 = \frac{π}{2} + nπ$
$t = 9, 50 s$ (también $4, 50$ s, $14, 5$ s…, cada $5$ s)
Velocidad nula en los extremos de la oscilación ( $y = \pm 2$ m), dos veces por periodo.

3.A2 puntos

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El espejo retrovisor exterior que se utiliza en un camión es tal que, para un objeto real situado a $3 m$ , produce una imagen derecha que es cuatro veces más pequeña.

a)Determina la posición de la imagen, el radio de curvatura del espejo y su distancia focal. El espejo ¿es cóncavo o convexo?
b)Realiza un trazado de rayos donde se señale claramente la posición y el tamaño, tanto del objeto como de la imagen. ¿Es la imagen real o virtual?

Retrovisor convexo: s = −3 m, s' = +0,75 m

Apartado a

1. Posición de la imagen
Imagen derecha y 4 veces menor: $m = - \frac{s ^{'}}{s} = + \frac{1}{4}$ con $s = - 3 m$
$s^{'} = + 0, 75 m$
$s^{'} > 0$ : la imagen queda detrás del espejo.
2. Distancia focal
$\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{- 3} + \frac{1}{0 , 75} = 1 m^{- 1}$
$f = + 1 m$
3. Radio de curvatura y tipo
$R = 2 f$
$R = 2 m$ ; espejo convexo
Con las normas DIN, $f > 0$ en un espejo convexo (su foco es virtual, detrás del espejo).

Apartado b

1. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje: se refleja como si saliera del foco $F$ (detrás del espejo). Rayo hacia el centro de curvatura: se refleja sobre sí mismo. Las prolongaciones de los reflejados se cortan detrás del espejo
Imagen virtual, derecha y menor
Los espejos convexos dan un campo de visión amplio: por eso se usan de retrovisor.

3.B1.5 puntos

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¿Qué características tiene la imagen que se forma con una lente divergente si se tiene un objeto situado en el foco imagen de la lente? Justifica la respuesta con la ayuda de un trazado de rayos.

Objeto en el foco imagen: s' = f'/2

1. Posición del objeto
En una lente divergente $f^{'} < 0$ : el foco imagen está del lado del objeto, a $∣ f^{'} ∣$ de la lente; $s = f^{'}$
2. Ecuación de la lente
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{2}{f ^{'}} \Rightarrow s^{'} = \frac{f ^{'}}{2}$
$s^{'} = \frac{f ^{'}}{2} < 0$ ; $m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{1}{2}$
La imagen está del mismo lado que el objeto, entre la lente y el foco, a la mitad de distancia.
3. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje: sale divergente como si viniera del foco imagen. Rayo por el centro: no se desvía. Las prolongaciones se cortan entre lente y foco
Imagen virtual, derecha y de la mitad de tamaño

4.A2 puntos

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Por dos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos entre sí, circulan corrientes continuas de intensidades $I_{1}$ e $I_{2}$ , respectivamente, como muestra la figura. La distancia de separación entre ambos es $d = 2 cm$ . Dato: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A$

a)Sabiendo que $I_{1} = 1 A$ , calcula el valor de $I_{2}$ para que, en un punto equidistante a ambos conductores, el campo magnético total sea $B = - 1 0^{- 5} k T$ .
b)Calcula la fuerza $F$ (módulo, dirección y sentido) sobre una carga $q = 1 μ C$ , que pasa por dicho punto, con una velocidad $v = 1 0^{6}  m/s$ . Representa los vectores $v$ , $B$ y $F$ .

Punto medio: v hacia +Y, B entrante y F hacia −X

Apartado a

1. Campo de $I_{1}$ en el punto medio ( $r = 1 cm$ )
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 1}{0 , 01} = 2 \cdot 1 0^{- 5} T$ ; el punto está a la derecha del hilo 1: entrante
$B_{1} = - 2 \cdot 1 0^{- 5} k T$
Regla de la mano derecha con $I$ hacia $+ Y$ .
2. Campo de $I_{2}$
Para el hilo 2 el punto está a su izquierda: el campo es saliente; $B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} I _{2}}{0 , 01} = 2 \cdot 1 0^{- 5} I_{2}$
$B_{2} = + 2 \cdot 1 0^{- 5} I_{2} k T$
3. Campo total y valor de $I_{2}$
$- 2 \cdot 1 0^{- 5} + 2 \cdot 1 0^{- 5} I_{2} = - 1 0^{- 5}$
$I_{2} = 0, 5 A$ (en el mismo sentido que $I_{1}$ )
Las corrientes tienen el mismo sentido y los campos se restan en el punto medio.

Apartado b

1. Fuerza de Lorentz
$F = q v \times B = 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{6}  \times (- 1 0^{- 5} k)$ ; $ \times k = $
$F = - 1 0^{- 5}  N$
Módulo $1 0^{- 5}$ N, dirección del eje $X$ y sentido $- X$ (hacia el hilo 1): perpendicular a $v$ y $B$ .

4.B1.5 puntos

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Sabiendo que la intensidad de campo eléctrico en el punto $P$ es nula, determina razonadamente la relación entre las cargas $q_{1} / q_{2}$ .

P, q_1 y q_2 alineados

1. Distancias
$r_{1} = a$ ; $r_{2} = a + \frac{a}{2} = \frac{3 a}{2}$
2. Campo nulo en $P$
Los dos campos tienen la misma dirección: para que se anulen deben ser de sentidos opuestos (cargas de signo contrario) e igual módulo: $\frac{k ∣ q _{1} ∣}{a ^{2}} = \frac{k ∣ q _{2} ∣}{( 3 a /2 ) ^{2}}$
$\frac{∣ q _{1} ∣}{∣ q _{2} ∣} = \frac{a ^{2}}{9 a ^{2} /4} = \frac{4}{9}$
3. Relación con el signo
Signos opuestos
$\frac{q _{1}}{q _{2}} = - \frac{4}{9}$
$q_{1}$ y $q_{2}$ tienen signos contrarios y $∣ q_{1} ∣ < ∣ q_{2} ∣$ por estar más cerca de $P$ .

5.A1.5 puntos

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Se desea identificar las partículas que emite una sustancia radiactiva. Para ello se hacen pasar entre las placas de un condensador cargado y se observa que unas se desvían en dirección a la placa positiva y otras no se desvían. Razona el tipo de emisión radiactiva y partículas que la constituyen, en cada caso.

Rayos β⁻ (se desvían hacia +) y γ (no se desvían)

1. Partículas desviadas hacia la placa positiva
La fuerza eléctrica $F = q E$ atrae hacia la placa $+$ a las cargas negativas
Emisión $β^{-}$ : electrones
Los electrones, de masa muy pequeña, se desvían bastante. Las partículas $α$ (positivas) se irían hacia la placa negativa.
2. Partículas que no se desvían
No tienen carga eléctrica: la fuerza eléctrica es nula
Emisión $γ$ : fotones
Son radiación electromagnética de alta energía, sin masa ni carga.

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Se quiere realizar un experimento de difracción utilizando un haz de electrones, y se sabe que la longitud de onda de De Broglie óptima de los electrones sería de $1 nm$ . Calcula la cantidad de movimiento y la energía cinética (no relativista), expresada en $eV$ , que deben tener los electrones. Datos: carga elemental, $e = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; masa del electrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$

1. Cantidad de movimiento
Hipótesis de De Broglie: $λ = \frac{h}{p} \Rightarrow p = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{1 0 ^{- 9}}$
$p = 6, 63 \cdot 1 0^{- 25} kg m/s$
2. Energía cinética
$E_{c} = \frac{p ^{2}}{2 m _{e}} = \frac{( 6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 25} ) ^{2}}{2 \cdot 9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}} = 2, 415 \cdot 1 0^{- 19} J$
$E_{c} = \frac{2 , 415 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} = 1, 51 eV$
Con $v = p / m = 7, 3 \cdot 1 0^{5}$ m/s ( $≪ c$ ) la aproximación no relativista es correcta.

6.A1.5 puntos

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En febrero de este año 2014, en la National Ignition Facility, se ha conseguido por primera vez la fusión nuclear energéticamente rentable a partir de la reacción $_{1}^{2} H +_{1}^{3} H \to_{Z}^{A} X +_{0}^{1} n$ . Determina $Z$ , $A$ y el nombre del elemento $X$ que se produce. Calcula la energía (en $MeV$ ) que se genera en dicha reacción. Datos: masa del deuterio, $m (_{1}^{2} H) = 2, 0141 u$ ; masa del tritio, $m (_{1}^{3} H) = 3, 0160 u$ ; masa del neutrón, $m (_{0}^{1} n) = 1, 0087 u$ ; masa del núcleo desconocido, $m (_{Z}^{A} X) = 4, 0026 u$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; unidad de masa atómica, $u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; carga elemental, $e = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} C$

1. Conservación de $A$ y $Z$
$A$ : $2 + 3 = A + 1 \Rightarrow A = 4$ . $Z$ : $1 + 1 = Z + 0 \Rightarrow Z = 2$
$X =_{2}^{4} He$ (helio)
2. Defecto de masa
$Δ m = (2, 0141 + 3, 0160) - (4, 0026 + 1, 0087) = 0, 0188 u = 3, 12 \cdot 1 0^{- 29} kg$
3. Energía liberada
$E = Δ m c^{2} = 3, 12 \cdot 1 0^{- 29} \cdot 9 \cdot 1 0^{16} = 2, 81 \cdot 1 0^{- 12} J = \frac{2 , 81 \cdot 1 0 ^{- 12}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 13}} MeV$
$E = 17, 6 MeV$
Es la reacción D–T de los reactores de fusión.

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En un experimento de efecto fotoeléctrico, la luz incide sobre un cátodo que puede ser de cerio ( $Ce$ ) o de niobio ( $Nb$ ). Al representar la energía cinética máxima de los electrones frente a la frecuencia $f$ de la luz, se obtienen las rectas mostradas en la figura. Responde razonadamente para qué metal se tiene: Dato: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$

a)El mayor trabajo de extracción de electrones. Calcula su valor.
b)El mayor valor de la energía cinética máxima de los electrones si la frecuencia de la luz incidente es $20 \cdot 1 0^{14} Hz$ , en ambos casos. Calcula su valor.

E_c^máx = h(f − f₀)

Apartado a

1. Frecuencias umbral de la gráfica
$f_{0} (Ce) = 7 \cdot 1 0^{14} Hz$ ; $f_{0} (Nb) = 10 \cdot 1 0^{14} Hz$
Ecuación de Einstein: $E_{c}^{m \overset{a}{ˊ} x} = h f - W_{0}$ , con $W_{0} = h f_{0}$ .
2. Trabajo de extracción
$W_{0} = h f_{0}$ : el mayor corresponde a la mayor $f_{0}$ , el niobio. $W_{0} (Nb) = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 1 0^{15}$
$W_{0} (Nb) = 6, 63 \cdot 1 0^{- 19} J = 4, 14 eV$
Para el cerio: $W_{0} = 4, 64 \cdot 1 0^{- 19}$ J $= 2, 90$ eV.

Apartado b

1. Energía cinética máxima con $f = 2 \cdot 1 0^{15}$ Hz
$E_{c} = h (f - f_{0})$ : Ce: $6, 63 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 13 \cdot 1 0^{14} = 8, 62 \cdot 1 0^{- 19}$ J; Nb: $6, 63 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 10 \cdot 1 0^{14} = 6, 63 \cdot 1 0^{- 19}$ J
El mayor valor es el del cerio: $E_{c} = 8, 62 \cdot 1 0^{- 19} J = 5, 39 eV$
El metal con menor trabajo de extracción emite electrones más energéticos con la misma luz.