Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2014 · Extraordinaria 2014

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
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El planeta Tatooine, de masa $m$ , se encuentra a una distancia $r$ del centro de una estrella de masa $M$ . Deduce la expresión de la velocidad del planeta en su órbita circular alrededor de la estrella y razona el valor que tendría dicha velocidad si la distancia a la estrella fuera $4 r$ .

r → v; 4r → v/2

1. Fuerza gravitatoria = fuerza centrípeta
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$
La masa del planeta se simplifica.
2. Velocidad orbital
$v = \frac{GM}{r}$
$v = GM / r$
3. A distancia $4 r$
$v^{'} = \frac{GM}{4 r} = \frac{1}{2} \frac{GM}{r}$
$v^{'} = \frac{v}{2}$
Cuatro veces más lejos, la mitad de velocidad: $v \propto r^{- 1/2}$ .

1.B2 puntos

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Un objeto de masa $m_{1} = 4 m_{2}$ se encuentra situado en el origen de coordenadas, mientras que un segundo objeto de masa $m_{2}$ se encuentra en un punto de coordenadas $(9, 0) m$ . Considerando únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula razonadamente:

a)El punto en el que el campo gravitatorio es nulo.
b)El vector momento angular de la masa $m_{2}$ con respecto al origen de coordenadas si $m_{2} = 100 kg$ y su velocidad es $v (0, 50) m/s$ .

Campo nulo en (6, 0)

Apartado a

1. Posición del punto
Entre las masas, a una distancia $x$ de $m_{1}$ : los campos se oponen. $\frac{G 4 m _{2}}{x ^{2}} = \frac{G m _{2}}{( 9 - x ) ^{2}}$
$\frac{9 - x}{x} = \frac{1}{2}$
Fuera del segmento los campos se suman y no se anulan.
2. Resolución
$9 - x = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 6 m$
Punto $(6, 0) m$
Queda más cerca de la masa menor ( $3$ m de $m_{2}$ ).

Apartado b

1. Momento angular
$L = r \times m v = 100 (9 ) \times (50 ) = 100 \cdot 450 k$
$L = 4, 5 \cdot 1 0^{4} k kg m^{2} /s$
Perpendicular al plano del movimiento, hacia $+ Z$ (giro antihorario).

2.A1.5 puntos

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Una partícula de masa $m = 0, 05 kg$ realiza un movimiento armónico simple con una amplitud $A = 0, 2 m$ y una frecuencia $f = 2 Hz$ . Calcula el periodo, la velocidad máxima y la energía total.

x(t) con A = 0,2 m y T = 0,5 s

1. Periodo y frecuencia angular
$T = \frac{1}{f} = 0, 5 s$ ; $ω = 2 π f = 4 π rad/s$
$T = 0, 5 s$
2. Velocidad máxima
$v_{ma x} = A ω = 0, 2 \cdot 4 π$
$v_{ma x} = 2, 51 m/s$
Se alcanza al pasar por la posición de equilibrio.
3. Energía total
$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 05 \cdot (4 π)^{2} \cdot 0, 2^{2}$
$E = 0, 158 J$
Comprobación: $E = \frac{1}{2} m v_{ma x}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0, 05 \cdot 2, 5 1^{2} = 0, 158$ J.

2.B2 puntos

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Una onda se propaga según la función $y = 2 sen [2 π (t - x)] cm$ , donde $x$ está expresada en centímetros y $t$ en segundos. Calcula razonadamente:

a)El periodo, la frecuencia, la longitud de onda y el número de onda.
b)La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de una partícula situada en el punto $x = 10 cm$ en el instante $t = 10 s$ .

Apartado a

1. Comparación con $y = A sen (ω t - k x)$
$y = 2 sen (2 π t - 2 π x)$ : $A = 2 cm$ ; $ω = 2 π rad/s$ ; $k = 2 π rad/cm$
2. Periodo y frecuencia
$T = \frac{2 π}{ω} = 1 s$ ; $f = 1 Hz$
$T = 1 s$ ; $f = 1 Hz$
3. Longitud de onda y número de onda
$λ = \frac{2 π}{k} = 1 cm$
$λ = 1 cm$ ; $k = 2 π rad/cm = 628 rad/m$

Apartado b

1. Velocidad de propagación
$v = λ f = \frac{ω}{k} = 1 cm \cdot 1 Hz$
$v = 1 cm/s$
2. Velocidad de vibración
$v_{y} = \frac{\partial y}{\partial t} = 4 π cos [2 π (t - x)]$ ; en $x = 10$ , $t = 10$ : $cos (0) = 1$
$v_{y} = 4 π = 12, 6 cm/s$
En ese punto e instante la partícula pasa por $y = 0$ con velocidad máxima.

3.A2 puntos

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Se sitúa un objeto de $9 cm$ de altura a una distancia de $10 cm$ a la izquierda de una lente de $- 5$ dioptrías.

a)Dibuja un esquema de rayos, con la posición del objeto, la lente y la imagen y explica el tipo de imagen que se forma.
b)Calcula la posición de la imagen y su tamaño.

Lente de −5 D: s = −10 cm, s' = −6,67 cm

Apartado a

1. Tipo de imagen y esquema
Rayo paralelo al eje: sale divergente como si viniera del foco imagen. Rayo por el centro óptico: no se desvía. Las prolongaciones se cortan antes de la lente
Imagen virtual, derecha y menor (6 cm)
Una lente divergente da siempre imagen virtual, derecha y menor.

Apartado b

1. Distancia focal
$P = - 5 D \Rightarrow f^{'} = \frac{1}{P} = - 0, 20 m = - 20 cm$
$f^{'} = - 20 cm$ (lente divergente)
2. Posición de la imagen
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{- 20} + \frac{1}{- 10} = - 0, 15 c m^{- 1}$
$s^{'} = - 6, 67 cm$
$s^{'} < 0$ : la imagen está a la izquierda de la lente, del lado del objeto.
3. Tamaño
$m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 6 , 67}{- 10} = 0, 667$ ; $y^{'} = m y = 0, 667 \cdot 9$
$y^{'} = + 6 cm$ (derecha)

3.B1.5 puntos

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Describe qué problema de visión tiene una persona que sufre de miopía. Explica razonadamente, con ayuda de un trazado de rayos, en qué consiste este problema. ¿Con qué tipo de lente debe corregirse y por qué?

Foco delante de la retina

1. Defecto
En el ojo miope los rayos de un objeto lejano convergen delante de la retina
El ojo es demasiado largo o el cristalino converge demasiado: la imagen de lejos se ve borrosa; de cerca se ve bien.
2. Trazado de rayos
Rayos paralelos → cristalino → foco antes de la retina; sobre la retina cae una mancha borrosa
3. Corrección
Lente divergente (negativa): hace que los rayos lleguen algo abiertos y el conjunto se enfoque sobre la retina
Lente divergente
Resta convergencia: retrasa el punto donde se juntan los rayos hasta la retina.

4.A2 puntos

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Un electrón se mueve dentro de un campo eléctrico uniforme $E = E $ , con $E > 0$ . El electrón parte del reposo desde el punto $A$ , de coordenadas $(0, 0) cm$ , y llega al punto $B$ con una velocidad de $1 0^{6} m/s$ después de recorrer $20 cm$ . Considerando que sobre el electrón no actúan otras fuerzas y sin tener en cuenta efectos relativistas: Datos: carga elemental, $e = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa del electrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$

a)Discute cómo será la trayectoria del electrón y calcula las coordenadas del punto $B$ (en centímetros).
b)Calcula razonadamente el módulo del campo eléctrico.

Campo E hacia +X, fuerza sobre el electrón hacia −X

Apartado a

1. Fuerza sobre el electrón
$F = q E = - e E $ (carga negativa: sentido contrario al campo)
La fuerza es constante y parte del reposo.
2. Trayectoria
Partiendo del reposo, la aceleración es constante y apunta siempre en $- X$ : movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sobre el eje $X$
$B = (- 20, 0) cm$

Apartado b

1. Conservación de la energía (o cinemática)
$W = Δ E_{c} \Rightarrow e E d = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$
2. Módulo del campo
$E = \frac{m _{e} v ^{2}}{2 e d} = \frac{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31} \cdot ( 1 0 ^{6} ) ^{2}}{2 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 2}$
$E = 14, 2 N/C$
Equivale a una diferencia de potencial de $2, 84$ V entre $A$ y $B$ .

4.B1.5 puntos

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Un conductor rectilíneo, de longitud $L = 10 m$ , transporta una corriente eléctrica de intensidad $I = 5 A$ . Se encuentra en el seno de un campo magnético cuyo módulo es $B = 1 T$ y cuya dirección y sentido es el mostrado en los casos diferentes (a) y (b) de la figura. Escribe la expresión del vector fuerza magnética que actúa sobre un conductor rectilíneo y discute en cuál de estos dos casos será mayor su módulo. Calcula el vector fuerza magnética en dicho caso.

Caso (b): F = I L × B hacia +X

1. Expresión
$F = I L \times B$ , con módulo $F = I L B sen θ$
$θ$ es el ángulo entre la corriente y el campo.
2. Comparación
(a) $B ∥ L$ : $θ = 0$ , $F = 0$ . (b) $B ⊥ L$ : $θ = 9 0^{\circ}$ , $F = I L B$ es máxima
El módulo es mayor en el caso (b)
3. Vector fuerza en (b)
$L = 10 $ m, $B = 1 k$ T: $F = 5 \cdot 10 \cdot 1 ( \times k) = 50 $
$F = 50  N$
Hacia la derecha de la figura (sentido $+ X$ ), perpendicular al hilo y al campo.

5.A1.5 puntos

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En la siguiente gráfica de número atómico frente a número de neutrones, se representan dos desintegraciones $a$ y $b$ que, partiendo del $^{231} Th$ , producen isótopos de diferentes elementos. Escribe razonadamente el símbolo de cada isótopo con su número másico y atómico. Determina, en ambos casos, el tipo de desintegración radiactiva, indicando justificadamente la partícula radiactiva que se emite.

Th → Pa (β⁻) → Ac (α)

1. Desintegración $a$ : Th → Pa
$N : 141 \to 140$ ( $- 1$ ); $Z : 90 \to 91$ ( $+ 1$ ); $A = N + Z = 231$ no cambia
$_{91}^{231} Pa$ : desintegración $β^{-}$ (se emite un electrón y un antineutrino)
Un neutrón se transforma en protón: $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}$ .
2. Desintegración $b$ : Pa → Ac
$N : 140 \to 138$ ( $- 2$ ); $Z : 91 \to 89$ ( $- 2$ ); $A = 231 \to 227$
$_{89}^{227} Ac$ : desintegración $α$ (se emite $_{2}^{4} He$ )
Se pierden 2 protones y 2 neutrones: un núcleo de helio.

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Una astronauta viaja en una nave que se aleja de la Tierra a una velocidad de $0, 7 c$ . En un cierto instante, la astronauta establece comunicación con la Tierra y canta la canción «Space Oddity», que dura $5$ minutos según el reloj de la astronave. ¿Cuánto tiempo ha durado la canción para los interlocutores de la Tierra? Razona adecuadamente tu respuesta.

1. Tiempo propio y dilatación
Los $5$ min son el tiempo propio $Δ t_{0}$ (medido en el sistema de la nave). Para la Tierra: $Δ t = γ Δ t_{0}$
2. Factor de Lorentz
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 7 ^{2}} = \frac{1}{0 , 51} = 1, 400$
3. Duración vista desde la Tierra
$Δ t = 1, 400 \cdot 5 min$
$Δ t = 7, 0 min$
El reloj en movimiento va más lento: para quien está en la Tierra la canción dura más. (Se desprecia el retraso por el viaje de la señal.)

6.A1.5 puntos

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En la evolución de las estrellas, la reacción de fusión por la que el hidrógeno se convierte en helio es $_{7}^{15} N +_{1}^{1} H \to_{6}^{12} C +_{2}^{4} He$ . Calcula el correspondiente defecto de masa (en $kg$ ). En la reacción anterior ¿se absorbe o se desprende energía? ¿Por qué? Determina el valor de dicha energía (en $MeV$ ). Datos: masa del nitrógeno, $m (_{7}^{15} N) = 15, 0001 u$ ; masa del hidrógeno, $m (_{1}^{1} H) = 1, 0080 u$ ; masa del carbono, $m (_{6}^{12} C) = 12, 0000 u$ ; masa del helio, $m (_{2}^{4} He) = 4, 0026 u$ ; unidad de masa atómica, $u = 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} kg$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; carga elemental, $e = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} C$

1. Defecto de masa
$Δ m = m_{r e a c t i v os} - m_{p r o d u c t os} = (15, 0001 + 1, 0080) - (12, 0000 + 4, 0026) = 0, 0055 u$
$Δ m = 0, 0055 \cdot 1, 66 \cdot 1 0^{- 27} = 9, 13 \cdot 1 0^{- 30} kg$
2. Absorbe o desprende
Los productos tienen menos masa que los reactivos: la masa «perdida» se convierte en energía ( $E = Δ m c^{2}$ )
Se desprende energía
Reacción exoenergética.
3. Energía
$E = Δ m c^{2} = 9, 13 \cdot 1 0^{- 30} \cdot 9 \cdot 1 0^{16} = 8, 22 \cdot 1 0^{- 13} J = \frac{8 , 22 \cdot 1 0 ^{- 13}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 13}} MeV$
$E = 5, 14 MeV$

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Se tienen dos muestras radiactivas diferentes 1 y 2. La cantidad inicial de núcleos radiactivos es, respectivamente $N_{10}$ y $N_{20}$ , y sus periodos de semidesintegración son $T_{1}$ y $T_{2} = 2 T_{1}$ . Razona cuánto deberá valer la relación $N_{10} / N_{20}$ para que la actividad de ambas muestras sea la misma inicialmente (en $t = 0$ ). ¿Serán iguales las actividades de ambas muestras en un instante $t$ posterior? Razona la respuesta.

Misma A₀: A₁ decae más rápido

1. Constantes de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T}$ : $λ_{2} = \frac{ln 2}{2 T _{1}} = \frac{λ _{1}}{2}$
$λ_{1} = 2 λ_{2}$
2. Actividades iniciales iguales
$A_{10} = λ_{1} N_{10} = A_{20} = λ_{2} N_{20} \Rightarrow \frac{N _{10}}{N _{20}} = \frac{λ _{2}}{λ _{1}} = \frac{T _{1}}{T _{2}}$
$\frac{N _{10}}{N _{20}} = \frac{1}{2}$
La muestra de vida más corta necesita menos núcleos para la misma actividad.
3. Actividades posteriores
$A_{1} = A_{0} e^{- λ_{1} t}$ y $A_{2} = A_{0} e^{- λ_{2} t}$ con $λ_{1} > λ_{2}$ ; $\frac{A _{1}}{A _{2}} = e^{- (λ_{1} - λ_{2}) t} < 1$ para $t > 0$
No serán iguales: $A_{1} < A_{2}$ para $t > 0$
La muestra 1 decae más deprisa y su actividad cae antes.