Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2013 · Ordinaria 2013

1.A2 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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En el mes de febrero de este año, la Agencia Espacial Europea colocó en órbita circular alrededor de la Tierra un nuevo satélite denominado Amazonas 3. Sabiendo que la velocidad de dicho satélite es de $3072 m/s$ , calcula: Datos: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ ; masa de la Tierra, $M_{T} = 6 \cdot 1 0^{24} kg$ ; radio de la Tierra, $R_{T} = 6400 km$

a)La altura $h$ a la que se encuentra desde la superficie terrestre (en kilómetros).
b)Su periodo (en horas).

Órbita con v = 3072 m/s

Apartado a

1. Radio de la órbita
$\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} \Rightarrow r = \frac{G M _{T}}{v ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{307 2 ^{2}}$
$r = 4, 241 \cdot 1 0^{7} m$
2. Altura
$h = r - R_{T} = 4, 241 \cdot 1 0^{7} - 6, 4 \cdot 1 0^{6}$
$h = 3, 60 \cdot 1 0^{7} m = 3, 60 \cdot 1 0^{4} km$
Es la altura de la órbita geoestacionaria (≈ 36 000 km).

Apartado b

1. Periodo
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 4 , 241 \cdot 1 0 ^{7}}{3072} = 8, 67 \cdot 1 0^{4} s$
$T = 24, 1 h$
Aproximadamente un día: el satélite permanece sobre el mismo punto de la Tierra.

1.B1.5 puntos

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Para escalar cierta montaña, un alpinista puede emplear dos caminos diferentes, uno de pendiente suave y otro más empinado. ¿Es distinto el valor del trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre el cuerpo del montañero según el camino elegido? Razona la respuesta.

Mismo desnivel h ⇒ mismo trabajo

1. Carácter de la fuerza
La fuerza gravitatoria es conservativa: deriva de una energía potencial $E_{p}$
2. Trabajo
$W_{g} = - Δ E_{p} = E_{p, A} - E_{p, B}$ : depende solo de las posiciones inicial $A$ y final $B$ , no de la trayectoria. Cerca de la superficie, $W_{g} = - m g Δ h$
No es distinto: es el mismo por ambos caminos
Por el camino suave la fuerza actúa durante más recorrido pero con menor componente a lo largo del camino: el producto no cambia.

2.A1.5 puntos

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La gráfica adjunta representa la energía cinética, en función del tiempo, de un cuerpo sometido solamente a la fuerza de un muelle de constante elástica $k = 100 N/m$ . Determina razonadamente el valor de la energía mecánica del cuerpo, de su energía potencial máxima y de la amplitud del movimiento.

E = 2 J = E_c + E_p

1. Energía mecánica
En un M.A.S. $E = E_{c} + E_{p}$ es constante. Cuando $E_{c}$ es máxima ( $2, 0$ J) el cuerpo pasa por el equilibrio y $E_{p} = 0$
$E = E_{c, ma x} = 2, 0 J$
La gráfica da el máximo directamente.
2. Energía potencial máxima
Cuando $E_{c} = 0$ (extremos) toda la energía es potencial
$E_{p, ma x} = 2, 0 J$
3. Amplitud
$E_{p, ma x} = \frac{1}{2} k A^{2} \Rightarrow A = \frac{2 E}{k} = \frac{2 \cdot 2}{100}$
$A = 0, 20 m$
La energía cinética se repite cada $0, 5$ s: el periodo del movimiento es $T = 1$ s.

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La velocidad de una masa puntual cuyo movimiento es armónico simple viene dada, en unidades del SI, por la expresión $v (t) = - 0, 01 π sen [π (\frac{t}{2} + \frac{1}{4})]$ . Calcula el periodo, la amplitud y la fase inicial del movimiento.

1. Comparación con $v = - A ω sen (ω t + φ_{0})$
$ω = \frac{π}{2} rad/s$ ; $A ω = 0, 01 π$ ; $φ_{0} = \frac{π}{4}$
2. Periodo
$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{π /2}$
$T = 4 s$
3. Amplitud
$A = \frac{0 , 01 π}{ω} = \frac{0 , 01 π}{π /2}$
$A = 0, 02 m$
La posición es $x (t) = 0, 02 cos (\frac{π}{2} t + \frac{π}{4})$ m.
4. Fase inicial
Argumento del seno en $t = 0$ : $π \cdot \frac{1}{4}$
$φ_{0} = \frac{π}{4} rad$

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Para la higiene personal y el maquillaje se utilizan espejos en los que, al mirarnos, vemos nuestra imagen aumentada. Indica el tipo de espejo del que se trata y razona tu respuesta mediante un esquema de rayos, señalando claramente la posición y el tamaño del objeto y de la imagen.

Espejo de maquillaje (cóncavo)

1. Tipo de espejo
Una imagen aumentada y derecha solo la da un espejo cóncavo con el objeto entre el espejo y el foco ( $∣ s ∣ < ∣ f ∣$ )
Espejo cóncavo
El espejo convexo siempre da una imagen menor; el plano, igual.
2. Razonamiento
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s}$ con $f < 0$ y $∣ s ∣ < ∣ f ∣$ da $s^{'} > 0$ y $m = - \frac{s ^{'}}{s} > 1$
Imagen virtual, derecha y mayor
La imagen queda detrás del espejo.
3. Esquema de rayos
Rayo paralelo al eje: se refleja por el foco. Rayo por el centro de curvatura: se refleja sobre sí mismo. Las prolongaciones hacia atrás se cortan en la imagen, mayor y detrás del espejo

3.B2 puntos

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Sea una lente delgada convergente, de distancia focal $8 cm$ . Se sitúa una flecha de $4 cm$ de longitud a una distancia de $16 cm$ de la lente, como muestra la figura.

a)Indica las características de la imagen a partir del trazado de rayos.
b)Calcula el tamaño, la posición de la imagen y la potencia de la lente.

Objeto en 2f: imagen en 2f, invertida

Apartado a

1. Características
El objeto está en $2 f$ : el rayo paralelo y el que pasa por el centro se cruzan a la derecha, a $2 f^{'}$
Imagen real, invertida y del mismo tamaño
$s^{'} > 0$ y $m < 0$ : real e invertida.

Apartado b

1. Posición
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f ^{'}} + \frac{1}{s} = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$ (con $s = - 16$ cm, $f^{'} = + 8$ cm)
$s^{'} = + 16 cm$
2. Tamaño
$m = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{16}{- 16} = - 1$ ; $y^{'} = m y = - 4 cm$
$y^{'} = - 4 cm$
3. Potencia
$P = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{0 , 08 m}$
$P = 12, 5 D$

4.A1.5 puntos

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Una carga eléctrica $q_{1} = 2 mC$ se encuentra fija en el punto $(- 1, 0) cm$ y otra $q_{2} = - 2 mC$ se encuentra fija en el punto $(1, 0) cm$ . Representa en el plano $X Y$ las posiciones de las cargas, el campo eléctrico de cada carga y el campo eléctrico total en el punto $(0, 1) cm$ . Calcula el vector campo eléctrico total en dicho punto. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

Dipolo: campos en (0, 1) cm

1. Distancias y módulos
Cada carga está a $r = 1^{2} + 1^{2} = 2 cm = 2 \cdot 1 0^{- 2}$ m: $E = \frac{k ∣ q ∣}{r ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 3}}{2 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 9 \cdot 1 0^{10} N/C$
$E_{1} = E_{2} = 9 \cdot 1 0^{10} N/C$
2. Campo de cada carga
$q_{1} > 0$ : sale de ella, $\overset{u}{^}_{1} = \frac{( 1 , 1 )}{2}$ . $q_{2} < 0$ : va hacia ella, $\overset{u}{^}_{2} = \frac{( 1 , - 1 )}{2}$
$E_{1} = 6, 36 \cdot 1 0^{10} ( + )$ ; $E_{2} = 6, 36 \cdot 1 0^{10} ( - ) N/C$
3. Campo total
Las componentes $y$ se anulan y las $x$ se suman
$E = 1, 27 \cdot 1 0^{11}  N/C$
Como en un dipolo, el campo en la mediatriz es paralelo a la línea que une las cargas.

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Dos cables rectilíneos y muy largos, paralelos entre sí y contenidos en el plano $X Y$ , transportan corrientes eléctricas $I_{1} = 2 A$ e $I_{2} = 3 A$ con los sentidos representados en la figura adjunta. Determina: Datos: permeabilidad magnética del vacío, $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T m/A$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

a)El campo magnético total (módulo, dirección y sentido) en el punto $P$ .
b)La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre un electrón que pasa por dicho punto $P$ con una velocidad $v = - 1 0^{6}  m/s$ .

Corrientes −Y: B saliente en P, F hacia −Y

Apartado a

1. Campo de $I_{1}$ en $P$ ( $r_{1} = 0, 40$ m)
$B_{1} = \frac{μ _{0} I _{1}}{2 π r _{1}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2}{0 , 4} = 1 0^{- 6} T$
$B_{1} = 1 \cdot 1 0^{- 6} T$
Con $I$ hacia $- Y$ y $P$ a la derecha, la regla de la mano derecha da campo saliente ( $+ Z$ ): $(- ) \times  = + k$ .
2. Campo de $I_{2}$ en $P$ ( $r_{2} = 0, 20$ m)
$B_{2} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 3}{0 , 2} = 3 \cdot 1 0^{- 6} T$ , también saliente
$B_{2} = 3 \cdot 1 0^{- 6} T$
3. Campo total
Ambos tienen el mismo sentido: se suman
$B = 4 \cdot 1 0^{- 6} k T$
Módulo $4 μ$ T, dirección $Z$ y sentido saliente.

Apartado b

1. Fuerza sobre el electrón
$F = q v \times B = (- 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}) (- 1 0^{6} ) \times (4 \cdot 1 0^{- 6} k)$ ; $ \times k = - $
$F = - 6, 4 \cdot 1 0^{- 19}  N$
Módulo $6, 4 \cdot 1 0^{- 19}$ N, dirección $Y$ y sentido $- Y$ .

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¿A qué velocidad debe moverse una partícula relativista para que su energía total sea un $10 %$ mayor que su energía en reposo? Expresa el resultado en función de la velocidad de la luz en el vacío, $c$ .

1. Condición
$E = γ m c^{2} = 1, 1 m c^{2} \Rightarrow γ = 1, 1$
2. Despeje
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 1, 1 \Rightarrow \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{1 , 21} = 0, 1736$
$v = 0, 417 c$
$v \approx 1, 25 \cdot 1 0^{8}$ m/s: ya es apreciable la corrección relativista.

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En la gráfica adjunta se representa la energía cinética máxima de los electrones emitidos por un metal en función de la frecuencia de la luz incidente sobre él. ¿Cómo se denomina el fenómeno físico al que se refiere la gráfica? Indica la frecuencia umbral del metal. ¿Qué ocurre si sobre el metal incide luz de longitud de onda $0, 6 μ m$ ? Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

E_c = h(f − f₀)

1. Fenómeno
Emisión de electrones por un metal al iluminarlo
Efecto fotoeléctrico
Ecuación de Einstein: $E_{c}^{m \overset{a}{ˊ} x} = h f - W_{0}$ .
2. Frecuencia umbral
Corte de la recta con el eje horizontal ( $E_{c} = 0$ )
$f_{0} = 1 \cdot 1 0^{15} Hz$
$W_{0} = h f_{0} = 6, 63 \cdot 1 0^{- 19}$ J $= 4, 14$ eV. La pendiente $4 eV /1 0^{15} Hz$ coincide con $h$ .
3. Luz de $0, 6 μ m$
$f = \frac{c}{λ} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{0 , 6 \cdot 1 0 ^{- 6}} = 5 \cdot 1 0^{14} Hz < f_{0}$
No se emiten electrones
Cada fotón tiene $h f = 3, 3 \cdot 1 0^{- 19}$ J $< W_{0}$ : no basta para arrancar un electrón, por muy intensa que sea la luz.

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En una cueva, junto a restos humanos, se ha hallado un fragmento de madera. Sometido a la prueba del $^{14} C$ se observa que presenta una actividad de $200$ desintegraciones/segundo. Por otro lado se sabe que esta madera tenía una actividad de $800$ desintegraciones/segundo cuando se depositó en la cueva. Sabiendo que el periodo de semidesintegración del $^{14} C$ es de $5730$ años, calcula: Datos: número de Avogadro, $N_{A} = 6, 02 \cdot 1 0^{23}$ ; masa molar del $^{14} C$ , $m_{M} = 14 g/mol$

a)La antigüedad del fragmento.
b)El número de átomos y la masa en gramos de $^{14} C$ que todavía queda en el fragmento.

A(t) = 800·2^(−t/5730)

Apartado a

1. Ley de desintegración
$A = A_{0} e^{- λ t} \Rightarrow t = \frac{1}{λ} ln \frac{A _{0}}{A}$ , con $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}}$
2. Antigüedad
$\frac{A _{0}}{A} = \frac{800}{200} = 4 = 2^{2}$ : han pasado dos semividas
$t = 2 T_{1/2} = 11460 a \tilde{n} os$
$t = \frac{5730}{ln 2} ln 4 = 11460$ años.

Apartado b

1. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{5730 \cdot 365 \cdot 86400 s}$
$λ = 3, 84 \cdot 1 0^{- 12} s^{- 1}$
2. Número de átomos
$A = λ N \Rightarrow N = \frac{200}{3 , 84 \cdot 1 0 ^{- 12}}$
$N = 5, 21 \cdot 1 0^{13}$ átomos
3. Masa
$m = \frac{N}{N _{A}} m_{M} = \frac{5 , 21 \cdot 1 0 ^{13}}{6 , 02 \cdot 1 0 ^{23}} \cdot 14$
$m = 1, 21 \cdot 1 0^{- 9} g$

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Indica razonadamente qué tipo de desintegración tiene lugar en cada uno de los pasos de la siguiente serie radiactiva: $_{92}^{238} U \to_{90}^{234} Th \to_{91}^{234} Pa$

1. Primer paso: U → Th
$Δ A = 234 - 238 = - 4$ ; $Δ Z = 90 - 92 = - 2$ : se emite $_{2}^{4} He$
Desintegración $α$
$_{92}^{238} U \to_{90}^{234} Th +_{2}^{4} He$ .
2. Segundo paso: Th → Pa
$Δ A = 0$ ; $Δ Z = + 1$ : un neutrón se convierte en protón y se emite un electrón
Desintegración $β^{-}$
$_{90}^{234} Th \to_{91}^{234} Pa +_{- 1}^{0} e + \overset{ν}{ˉ}_{e}$ .