Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2013 · Extraordinaria 2013

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
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La energía cinética de una partícula se incrementa en $1500 J$ por la acción de una fuerza conservativa. Deduce razonadamente la variación de la energía mecánica y la variación de la energía potencial de la partícula.

1. Fuerza conservativa
El trabajo de una fuerza conservativa es $W = - Δ E_{p}$ y, por el teorema de las fuerzas vivas, $W = Δ E_{c}$
Si solo actúa una fuerza conservativa se conserva la energía mecánica.
2. Variación de la energía potencial
$Δ E_{p} = - W = - Δ E_{c}$
$Δ E_{p} = - 1500 J$
La energía potencial disminuye lo que aumenta la cinética.
3. Variación de la energía mecánica
$Δ E_{m} = Δ E_{c} + Δ E_{p} = 1500 - 1500$
$Δ E_{m} = 0$
La energía mecánica se conserva.

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Tres planetas se encuentran situados, en un cierto instante, en las posiciones representadas en la figura, siendo $a = 1 0^{5} m$ . Considerando que son masas puntuales de valores $m_{2} = m_{3} = 2 m_{1} = 2 \cdot 1 0^{21} kg$ , calcula: Datos: constante de gravitación universal, $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$

a)El vector campo gravitatorio originado por los 3 planetas en el punto $O (0, 0) m$ .
b)El potencial gravitatorio (energía potencial por unidad de masa) originado por los 3 planetas en el punto $P (a, 0) m$ .

Campos en O: g_2 y g_3 se anulan

Apartado a

1. Masas
$m_{1} = 1 0^{21} kg$ ; $m_{2} = m_{3} = 2 \cdot 1 0^{21} kg$
2. Campos en $O$
$g_{1} = \frac{G m _{1}}{a ^{2}} = 6, 67 N/kg$ hacia $m_{1}$ ( $- X$ ); $g_{2} = g_{3} = \frac{G 2 \cdot 1 0 ^{21}}{a ^{2}} = 13, 34 N/kg$ hacia $m_{2}$ ( $- Y$ ) y hacia $m_{3}$ ( $+ Y$ )
$g_{1} = - 6, 67 $ ; $g_{2} = - 13, 34 $ ; $g_{3} = + 13, 34 $
3. Campo total
Los de $m_{2}$ y $m_{3}$ se anulan por simetría
$g_{O} = - 6, 67  N/kg$

Apartado b

1. Potencial en $P$
$V = - G (\frac{m _{1}}{2 a} + \frac{m _{2}}{2 a} + \frac{m _{3}}{2 a}) = - 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} (\frac{1 0 ^{21}}{2 \cdot 1 0 ^{5}} + \frac{4 \cdot 1 0 ^{21}}{2 \cdot 1 0 ^{5}})$
$V_{P} = - 2, 22 \cdot 1 0^{6} J/kg$
Es un escalar: se suman los potenciales de cada masa.

2.A2 puntos

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Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación $y (x, t) = 0, 4 cos [10 π (2 t - x)]$ , en unidades del SI. Calcula:

a)La elongación, $y$ , del punto de la cuerda situado en $x = 20 cm$ en el instante $t = 0, 5 s$ .
b)La velocidad transversal de dicho punto en ese mismo instante $t = 0, 5 s$ .

y(x) en t = 0,5 s

Apartado a

1. Fase en $x = 0, 2$ m, $t = 0, 5$ s
$10 π (2 \cdot 0, 5 - 0, 2) = 10 π \cdot 0, 8 = 8 π rad$
2. Elongación
$y = 0, 4 cos (8 π) = 0, 4 \cdot 1$
$y = 0, 4 m$
El punto está en un máximo de la oscilación.

Apartado b

1. Velocidad transversal
$v = \frac{\partial y}{\partial t} = - 0, 4 \cdot 20 π sen [10 π (2 t - x)] = - 8 π sen (8 π)$
$v = 0$
Velocidad nula: en el extremo ( $y = A$ ) la partícula invierte el sentido de su movimiento.

2.B1.5 puntos

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Una onda longitudinal, de frecuencia $40 Hz$ , se propaga en un medio homogéneo. La distancia mínima entre dos puntos del medio con la misma fase es de $25 cm$ . Calcula la velocidad de propagación de la onda.

λ = 25 cm

1. Longitud de onda
La distancia mínima entre dos puntos con la misma fase es $λ$
$λ = 0, 25 m$
2. Velocidad
$v = λ f = 0, 25 \cdot 40$
$v = 10 m/s$

3.A1.5 puntos

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En el esquema adjunto se representa un objeto de altura $y$ , así como su imagen, de altura $y^{'}$ , proporcionada por una lente delgada convergente. Determina, explicando el procedimiento seguido, la distancia focal imagen $f^{'}$ de la lente. ¿La imagen es real o virtual? ¿Cuál es el aumento lateral que proporciona la lente para ese objeto? Nota: cada una de las divisiones (horizontales y verticales) equivale a $10 cm$ .

Objeto y imagen (1 div. = 10 cm)

1. Lectura del esquema
Objeto: $s = - 10 cm$ , $y = 10 cm$ . Imagen: $y^{'} = + 20 cm$ y a la izquierda de la lente, $s^{'} = - 20 cm$
2. Aumento lateral
$m = \frac{y ^{'}}{y} = \frac{20}{10} = \frac{s ^{'}}{s} = \frac{- 20}{- 10}$
$m = + 2$
Positivo: imagen derecha. Ambas expresiones coinciden.
3. Distancia focal
$\frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{- 20} - \frac{1}{- 10} = \frac{1}{20}$
$f^{'} = + 20 cm$ (convergente)
4. Tipo de imagen
Está del mismo lado que el objeto ( $s^{'} < 0$ )
Imagen virtual, derecha y doble
Es una lupa: el objeto está entre la lente y el foco ( $10 cm < f^{'}$ ).

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Un rayo de luz monocromática atraviesa el vidrio de una ventana que separa dos ambientes en los que el medio es el aire. Si el espesor del vidrio es de $6 mm$ y el rayo incide con un ángulo de $3 0^{\circ}$ respecto a la normal: Dato: índice de refracción del vidrio, $n = 1, 5$

a)Dibuja el esquema de la trayectoria del rayo y calcula la longitud de ésta en el interior del vidrio.
b)Calcula el ángulo que forman las direcciones de los rayos incidente y emergente en el aire.

Lámina de caras paralelas: rayo emergente paralelo

Apartado a

1. Ley de Snell en la primera cara
$1 \cdot sen 3 0^{\circ} = 1, 5 sen θ_{2} \Rightarrow sen θ_{2} = 0, 3333$
$θ_{2} = 19, 4 7^{\circ}$
2. Longitud en el vidrio
$L = \frac{e}{cos θ _{2}} = \frac{6}{cos 19 , 4 7 ^{\circ}} = \frac{6}{0 , 9428}$
$L = 6, 36 mm$
Esquema: el rayo se acerca a la normal al entrar en el vidrio y se aleja al salir, recuperando el ángulo de $3 0^{\circ}$ .

Apartado b

1. Segunda cara
El ángulo de incidencia es $θ_{2}$ (caras paralelas): $1, 5 sen θ_{2} = sen θ_{3} \Rightarrow θ_{3} = 3 0^{\circ}$
$θ_{3} = 3 0^{\circ}$
2. Ángulo entre rayos
Incidente y emergente forman el mismo ángulo con la normal: son paralelos
Ángulo entre ellos: $0^{\circ}$
El rayo emergente solo queda desplazado lateralmente $d = \frac{e sen ( 3 0 ^{\circ} - 19 , 4 7 ^{\circ} )}{cos 19 , 4 7 ^{\circ}} = 1, 16$ mm.

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Dos cargas eléctricas $q_{1} = 5 μ C$ y $q_{2} = - 3 μ C$ se encuentran en las posiciones $(0, 0) m$ y $(4, 0) m$ respectivamente, como muestra la figura. Calcula: Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)El vector campo eléctrico en el punto $B (4, - 3) m$ .
b)El potencial eléctrico en el punto $A (2, 0) m$ . Determina también el trabajo para trasladar una carga de $- 1 0^{- 12} C$ desde el infinito hasta el punto $A$ . (Considera nulo el potencial eléctrico en el infinito).

Campos en B(4, −3)

Apartado a

1. Distancias a $B$
$r_{1} = 4^{2} + 3^{2} = 5 m$ ; $r_{2} = 3 m$
2. Campo de $q_{1}$ (se aleja de ella)
$E_{1} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 6}}{25} = 1800 N/C$ ; $\overset{u}{^}_{1} = (0, 8, - 0, 6)$
$E_{1} = (1440  - 1080 ) N/C$
3. Campo de $q_{2}$ (apunta hacia ella)
$E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{9} = 3000 N/C$ , hacia $+ Y$
$E_{2} = 3000  N/C$
4. Campo total
$E = E_{1} + E_{2}$
$E = (1440  + 1920 ) N/C$ ; $∣ E ∣ = 2400 N/C$

Apartado b

1. Potencial en $A$
$V_{A} = k (\frac{q _{1}}{2} + \frac{q _{2}}{2}) = 9 \cdot 1 0^{9} \cdot \frac{5 \cdot 1 0 ^{- 6} - 3 \cdot 1 0 ^{- 6}}{2}$
$V_{A} = 9000 V$
2. Trabajo desde el infinito
$W_{e x t} = q (V_{A} - V_{\infty}) = - 1 0^{- 12} \cdot 9000$
$W_{e x t} = - 9 \cdot 1 0^{- 9} J$
Negativo: la carga negativa es atraída hacia la región de potencial positivo y el campo hace $+ 9 \cdot 1 0^{- 9}$ J.

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Una espira conductora, con forma circular, está situada en el seno de un campo magnético perpendicular al plano del papel, como muestra la figura. El módulo del campo magnético aumenta con el tiempo. Indica el sentido de la corriente inducida en la espira y justifica la respuesta basándote en las leyes que explican este fenómeno.

B entrante creciente ⇒ I antihoraria

1. Ley de Faraday
$ε = - \frac{d Φ}{d t}$ con $Φ = B S cos 0^{\circ}$ : como $B$ aumenta, el flujo entrante aumenta y aparece una fem inducida
2. Ley de Lenz
La corriente inducida se opone a la causa que la produce: crea un campo que se opone al aumento del flujo entrante, es decir, un campo saliente del papel dentro de la espira
3. Sentido
Regla de la mano derecha: un campo saliente en el interior de una espira lo genera una corriente en sentido antihorario
Corriente inducida antihoraria

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En un sincrotrón se aceleran electrones para la producción de haces intensos de rayos X que se emplean en experimentos de biología, farmacia, física, medicina y química. En el sincrotrón ALBA (sito en Barcelona) se aceleran los electrones hasta una velocidad para la que su masa es 6000 veces el valor de la masa en reposo. Calcula la energía (en julios y en MeV) de los electrones. Datos: velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; masa del electrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ ; carga elemental, $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

1. Energía relativista
Masa relativista $m = γ m_{0} = 6000 m_{0}$ : $E = m c^{2} = 6000 m_{e} c^{2}$
2. En julios
$E = 6000 \cdot 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2}$
$E = 4, 91 \cdot 1 0^{- 10} J$
3. En MeV
$E = \frac{4 , 914 \cdot 1 0 ^{- 10}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} eV = 3, 07 \cdot 1 0^{9} eV$
$E = 3071 MeV \approx 3, 07 GeV$
Con $γ = 6000$ los electrones viajan a $v = 0, 999999986 c$ .

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Una nave se aleja de la Tierra con una velocidad de $2 \cdot 1 0^{8} m/s$ . A su vez, desde la Tierra se emite un haz de luz láser en dirección a la nave. ¿Cuál es la velocidad del haz láser para el observador de la nave? Justifica la respuesta.

1. Postulado de la relatividad
Segundo postulado de Einstein: la velocidad de la luz en el vacío es la misma ( $c$ ) para todos los observadores inerciales, cualquiera que sea el movimiento de la fuente o del observador
2. Aplicación
No vale la suma galileana $c - v = 1 \cdot 1 0^{8}$ m/s; la transformación relativista de velocidades da $u^{'} = \frac{c - v}{1 - c v / c ^{2}} = c$
$u^{'} = c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$
Comprobación: $\frac{3 - 2}{1 - 2/3} \cdot 1 0^{8} = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s.

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Explica brevemente en qué consisten la radiación alfa y la radiación beta. Halla el número atómico y el número másico del elemento producido a partir del $_{82}^{210} Pb$ , después de emitir una partícula $α$ y dos partículas $β^{-}$ .

1. Radiación alfa
Núcleos de helio-4 ( $_{2}^{4} He$ : 2 protones y 2 neutrones), con carga $+ 2 e$ ; poco penetrante (la detiene una hoja de papel)
2. Radiación beta menos
Electrones emitidos por el núcleo al transformarse un neutrón en protón ( $n \to p + e^{-} + \overset{ν}{ˉ}$ ); más penetrante que la alfa
3. Emisión de una $α$
$Δ A = - 4$ , $Δ Z = - 2$ : $_{82}^{210} Pb \to_{80}^{206} Hg +_{2}^{4} He$
$_{80}^{206} Hg$
4. Emisión de dos $β^{-}$
Cada una: $Δ A = 0$ , $Δ Z = + 1$ : $Z = 80 + 2 = 82$
$_{82}^{206} Pb$
Se obtiene otro isótopo del plomo: $A = 206$ , $Z = 82$ .

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Enuncia la hipótesis de De Broglie. Menciona un experimento que confirme dicha hipótesis, justificando la respuesta.

1. Hipótesis
Toda partícula material con cantidad de movimiento $p = m v$ lleva asociada una onda de longitud $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$
Dualidad onda-corpúsculo, extendida de los fotones a la materia.
2. Experimento
Difracción de electrones por un cristal (Davisson y Germer, 1927): los electrones dispersados por un cristal de níquel forman máximos de intensidad en direcciones que cumplen la ley de Bragg con $λ = h / p$
Un patrón de difracción es una propiedad ondulatoria: confirma que los electrones se comportan como ondas con la longitud de onda predicha.