Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2012 · Ordinaria 2012

1.A1.5 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
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El módulo del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie es una constante de valor $g_{0}$ . Calcula a qué altura $h$ desde la superficie el valor del campo se reduce a la cuarta parte de $g_{0}$ . Realiza primero el cálculo teórico y después el numérico, utilizando únicamente este dato: radio de la Tierra, $R_{T} = 6370 km$ .

g = g₀/4 a r = 2R_T

1. Campo en la superficie y a altura $h$
$g_{0} = \frac{GM}{R _{T}^{2}}$ ; $g (h) = \frac{GM}{( R _{T} + h ) ^{2}}$
2. Condición $g = g_{0} /4$
$\frac{GM}{( R _{T} + h ) ^{2}} = \frac{1}{4} \frac{GM}{R _{T}^{2}} \Rightarrow (R_{T} + h)^{2} = 4 R_{T}^{2}$
$R_{T} + h = 2 R_{T} \Rightarrow h = R_{T}$
$G$ y $M$ se simplifican: por eso basta el radio.
3. Valor numérico
$h = R_{T}$
$h = 6370 km$
El campo cae a la cuarta parte al duplicar la distancia al centro.

1.B1.5 puntos

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Se sabe que la energía mecánica de la Luna en su órbita alrededor de la Tierra aumenta con el tiempo. Escribe la expresión de la energía mecánica de la Luna en función del radio de su órbita, y discute si se está alejando o acercando a la Tierra. Justifica la respuesta prestando especial atención a los signos de las energías.

E_m = −GMm/(2r): crece con r

1. Energías en órbita circular
$E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GM m}{2 r} > 0$ ; $E_{p} = - \frac{GM m}{r} < 0$
2. Energía mecánica
$E_{m} = E_{c} + E_{p} = - \frac{GM m}{2 r}$
$E_{m} = - \frac{GM m}{2 r} < 0$
Negativa: la Luna está ligada a la Tierra.
3. Discusión
Si $E_{m}$ aumenta (se hace menos negativa), $∣ E_{m} ∣ = \frac{GM m}{2 r}$ disminuye, luego $r$ aumenta
La Luna se está alejando de la Tierra
La energía cinética disminuye ( $E_{c} = - E_{m}$ ) y la potencial aumenta (menos negativa): la Luna se aleja y va más despacio.

2.A2 puntos

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Dos fuentes de ondas armónicas transversales están situadas en las posiciones $x = 0 m$ y $x = 2 m$ . Las dos fuentes generan ondas que se propagan a una velocidad de $8 m/s$ a lo largo del eje $O X$ con amplitud $1 cm$ y frecuencia $0, 5 Hz$ . La fuente situada en $x = 2 m$ emite con una diferencia de fase de $+ π /4$ rad con respecto a la situada en $x = 0 m$ .

a)Escribe la ecuación de ondas resultante de la acción de estas dos fuentes.
b)Suponiendo que sólo se tiene la fuente situada en $x = 0 m$ , calcula la posición de al menos un punto en el que el desplazamiento transversal sea $y = 0 m$ en el instante $t = 2 s$ .

Fuentes en x = 0 y x = 2 m

Apartado a

1. Parámetros de cada onda
$ω = 2 π f = π rad/s$ ; $λ = \frac{v}{f} = 16 m$ ; $k = \frac{2 π}{λ} = \frac{π}{8} rad/m$ ; $A = 0, 01 m$
2. Ondas de cada fuente (puntos con $x > 2$ m)
$y_{1} = A sen (ω t - k x)$ ; $y_{2} = A sen [ω t - k (x - 2) + \frac{π}{4}] = A sen (ω t - k x + \frac{π}{2})$
La fase de $y_{2}$ incluye $2 k = π /4$ por estar la fuente 2 m más adelante, más $π /4$ de desfase inicial: diferencia total $Δ φ = π /2$ .
3. Superposición
$y = y_{1} + y_{2} = 2 A cos \frac{Δ φ}{2} sen (ω t - k x + \frac{Δ φ}{2})$
$y (x, t) = 1, 41 \cdot 1 0^{- 2} sen (π t - \frac{π}{8} x + \frac{π}{4}) m$
Amplitud resultante $2 A cos (π /4) = 1, 41$ cm.

Apartado b

1. Una sola fuente en $x = 0$
$y = 0, 01 sen (π t - \frac{π}{8} x)$ ; en $t = 2$ s: $y = 0, 01 sen (2 π - \frac{π}{8} x) = - 0, 01 sen \frac{π x}{8}$
2. Puntos con $y = 0$
$sen \frac{π x}{8} = 0 \Rightarrow x = 8 n m$
$x = 8 m$ (también $x = 16$ m, $24$ m…)
Son puntos separados media longitud de onda ( $λ /2 = 8$ m).

2.B1.5 puntos

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Explica las diferencias existentes entre las ondas longitudinales y las ondas transversales. Describe un ejemplo de cada una de ellas, razonando brevemente por qué pertenece a un tipo u otro.

Transversal (arriba) y longitudinal (abajo)

1. Ondas transversales
La perturbación vibra perpendicularmente a la dirección de propagación
Ejemplo: una onda en una cuerda, o la luz (campos $E$ y $B$ perpendiculares a la propagación). La cuerda sube y baja mientras la onda avanza horizontalmente.
2. Ondas longitudinales
La perturbación vibra en la misma dirección en que se propaga la onda
Ejemplo: el sonido en el aire: las moléculas oscilan hacia delante y hacia atrás, formando compresiones y rarefacciones a lo largo de la propagación.
3. Diferencia clave
Las transversales admiten polarización; las longitudinales no. Además, los fluidos solo propagan ondas longitudinales

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Las fibras ópticas son varillas delgadas de vidrio que permiten la propagación y el guiado de la luz por su interior, de forma que ésta entra por un extremo y sale por el opuesto pero no escapa lateralmente, tal como ilustra la figura. Explica brevemente el fenómeno que permite su funcionamiento, utilizando la ley física que lo justifica.

Reflexión total interna en la fibra

1. Ley física
Ley de Snell: $n_{1} sen θ_{1} = n_{2} sen θ_{2}$ en la frontera núcleo ( $n_{1}$ )–cubierta ( $n_{2}$ ), con $n_{1} > n_{2}$
2. Ángulo límite
Si $n_{1} > n_{2}$ , para $θ_{1} \geq θ_{c}$ con $sen θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ no hay rayo refractado
La luz que llega a la pared con ángulo (respecto a la normal) mayor que el crítico no sale.
3. Fenómeno
La luz se refleja totalmente en la pared interior una y otra vez y avanza en zigzag hasta el otro extremo
Reflexión total interna
Sin pérdida por refracción: por eso la luz no escapa lateralmente.

3.B2 puntos

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Se quiere utilizar una lente delgada convergente, cuya distancia focal es de $20 cm$ , para obtener una imagen real que sea tres veces mayor que el objeto.

a)Calcula la distancia del objeto a la lente.
b)Dibuja el diagrama de rayos, indica claramente el significado de cada uno de los elementos y distancias del dibujo y explica las características de la imagen resultante.

Imagen real, invertida y ×3

Apartado a

1. Aumento
Imagen real ⇒ invertida: $m = \frac{s ^{'}}{s} = - 3 \Rightarrow s^{'} = - 3 s$ (con $s < 0$ , $s^{'} > 0$ )
2. Ecuación de la lente
$\frac{1}{s ^{'}} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f ^{'}} \Rightarrow \frac{1}{- 3 s} - \frac{1}{s} = - \frac{4}{3 s} = \frac{1}{20}$
$s = - \frac{80}{3} = - 26, 7 cm$
3. Posición de la imagen
$s^{'} = - 3 s = + 80 cm$
El objeto está a $26, 7$ cm de la lente y la imagen a $80$ cm
El objeto está entre $f$ y $2 f$ .

Apartado b

1. Diagrama y características
Rayo paralelo al eje: sale por el foco imagen $F^{'}$ . Rayo por el centro óptico: sin desviarse. Se cruzan a $80$ cm a la derecha
Imagen real, invertida y 3 veces mayor
Elementos: eje óptico, lente, focos $F$ y $F^{'}$ (a 20 cm), objeto $y$ , imagen $y^{'} = - 3 y$ , distancias $s$ y $s^{'}$ .

4.A2 puntos

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Una carga puntual de valor $q_{1} = 3 mC$ se encuentra situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda carga, $q_{2}$ , de valor desconocido, se encuentra situada en el punto $(4, 0) m$ . Estas cargas crean conjuntamente un potencial de $18 \cdot 1 0^{6} V$ en el punto $P (0, 3) m$ . Calcula la expresión teórica y el valor numérico de: Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

a)La carga $q_{2}$ .
b)El campo eléctrico total creado por ambas cargas en el punto $P$ . Representa gráficamente los vectores campo de cada carga y el vector campo total.

Campos en P(0, 3)

Apartado a

1. Potencial en $P$
$V_{P} = k (\frac{q _{1}}{r _{1}} + \frac{q _{2}}{r _{2}})$ con $r_{1} = 3$ m y $r_{2} = 4^{2} + 3^{2} = 5$ m
2. Despeje de $q_{2}$
$q_{2} = r_{2} (\frac{V _{P}}{k} - \frac{q _{1}}{r _{1}}) = 5 (\frac{18 \cdot 1 0 ^{6}}{9 \cdot 1 0 ^{9}} - \frac{3 \cdot 1 0 ^{- 3}}{3}) = 5 (2 \cdot 1 0^{- 3} - 1 0^{- 3})$
$q_{2} = 5 \cdot 1 0^{- 3} C = 5 mC$

Apartado b

1. Campo de $q_{1}$ (positiva: se aleja)
$E_{1} = \frac{k q _{1}}{r _{1}^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{- 3}}{9}$ , hacia $+ Y$
$E_{1} = 3 \cdot 1 0^{6}  N/C$
2. Campo de $q_{2}$ (positiva: se aleja)
$E_{2} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 \cdot 1 0 ^{- 3}}{25} = 1, 8 \cdot 1 0^{6} N/C$ ; $\overset{u}{^}_{2} = \frac{( - 4 , 3 )}{5}$
$E_{2} = (- 1, 44  + 1, 08 ) \cdot 1 0^{6} N/C$
3. Campo total
$E = E_{1} + E_{2}$
$E = (- 1, 44  + 4, 08 ) \cdot 1 0^{6} N/C$ ; $∣ E ∣ = 4, 33 \cdot 1 0^{6} N/C$

4.B1.5 puntos

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Una carga eléctrica entra, con velocidad $v$ constante, en una región del espacio donde existe un campo magnético uniforme cuya dirección es perpendicular al plano del papel. ¿Cuál es el signo de la carga eléctrica si ésta se desvía en el campo siguiendo la trayectoria indicada en la figura? Justifica la respuesta.

F contraria a v × B ⇒ q < 0

1. Fuerza magnética
$F = q v \times B$ , perpendicular a $v$ y a $B$ , y hace de fuerza centrípeta
2. Dirección de $v \times B$
Con $v = v $ y $B = - B k$ (entrante): $ \times (- k) = + $ : hacia arriba
Para $q > 0$ la fuerza apuntaría hacia arriba
3. Comparación con la trayectoria
La carga se curva hacia abajo: la fuerza apunta en sentido contrario a $v \times B$
La carga es negativa
Radio de la trayectoria: $r = \frac{m v}{∣ q ∣ B}$ .

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Un haz de luz tiene una longitud de onda de $550 nm$ y una intensidad luminosa de $10 W/ m^{2}$ . Sabiendo que la intensidad luminosa es la potencia por unidad de superficie, calcula el número de fotones por segundo y metro cuadrado que constituyen ese haz. Realiza primero el cálculo teórico, justificándolo brevemente, y después el cálculo numérico. Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz, $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

1. Energía de un fotón
$E_{f} = h f = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{550 \cdot 1 0 ^{- 9}} = 3, 62 \cdot 1 0^{- 19} J$
2. Fotones por segundo y por m²
La intensidad es la energía que atraviesa cada m² cada segundo: $I = n E_{f} \Rightarrow n = \frac{I}{E _{f}} = \frac{I λ}{h c}$
$n = \frac{10}{3 , 62 \cdot 1 0 ^{- 19}} = 2, 77 \cdot 1 0^{19} fotones s^{- 1} m^{- 2}$

5.B2 puntos

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Considera una partícula $α$ y un protón con la misma longitud de onda asociada de De Broglie. Supón que ambas partículas se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Calcula la relación que existe entre:

a)Las velocidades de ambas partículas.
b)Las energías totales de ambas partículas. Una vez realizado el cálculo teórico, sustituye para el caso en el que la velocidad del protón sea $0, 4 c$ .

Apartado a

1. Igual longitud de onda ⇒ igual momento
$λ = \frac{h}{p}$ : $λ_{α} = λ_{p} \Rightarrow p_{α} = p_{p}$ , es decir $γ_{α} m_{α} v_{α} = γ_{p} m_{p} v_{p}$
El momento relativista es $p = γ m v$ .
2. Relación de velocidades
Con $m_{α} \approx 4 m_{p}$ : $4 γ_{α} β_{α} = γ_{p} β_{p}$ . Para $β_{p} = 0, 4$ : $γ_{p} β_{p} = 0, 4364$ , luego $γ_{α} β_{α} = 0, 1091$
$β_{α} = 0, 108$ , es decir $v_{α} = 0, 108 c \approx 0, 27 v_{p}$
Si ambos fueran ultrarrelativistas ( $p ≫ m c$ ) las velocidades serían casi iguales ( $\approx c$ ).

Apartado b

1. Relación de energías
$E^{2} = p^{2} c^{2} + m^{2} c^{4}$ con el mismo $p$ : $\frac{E _{α}}{E _{p}} = \frac{p ^{2} c ^{2} + m _{α}^{2} c ^{4}}{p ^{2} c ^{2} + m _{p}^{2} c ^{4}}$
$\frac{E _{α}}{E _{p}} \to 1$ si $p ≫ m c$
Cuanto más relativistas, más se parecen: $E \approx p c$ .
2. Caso $v_{p} = 0, 4 c$
$E_{p} = γ_{p} m_{p} c^{2} = 1, 091 m_{p} c^{2}$ ; $E_{α} = m_{p} c^{2} 0, 436 4^{2} + 4^{2} = 4, 024 m_{p} c^{2}$
$\frac{E _{α}}{E _{p}} = 3, 69$
$E_{p} = 1, 091 \cdot 938 = 1024$ MeV y $E_{α} = 3775$ MeV.

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Escribe los dos postulados de la teoría de la relatividad especial de Einstein, también conocida como teoría de la relatividad restringida. Explica brevemente su significado.

1. Primer postulado (relatividad)
Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales
No existe un sistema inercial privilegiado: ningún experimento mecánico ni electromagnético distingue el reposo del movimiento uniforme.
2. Segundo postulado (constancia de $c$ )
La velocidad de la luz en el vacío es la misma, $c = 3 \cdot 1 0^{8}$ m/s, para todos los observadores inerciales, independientemente del movimiento de la fuente o del observador
Descarta la suma galileana de velocidades para la luz y conduce a la dilatación del tiempo y la contracción de longitudes.

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Representa gráficamente, de forma aproximada, la energía de enlace por nucleón en función del número másico de los diferentes núcleos atómicos y razona, utilizando dicha gráfica, por qué es posible obtener energía mediante reacciones de fusión y de fisión nuclear.

Energía de enlace por nucleón

1. Gráfica
La energía de enlace por nucleón crece rápidamente para $A$ pequeño, alcanza un máximo ( $\approx 8, 8$ MeV) cerca del hierro y el níquel ( $A \approx 56$ - $62$ ) y decrece suavemente para $A$ grande ( $\approx 7, 6$ MeV en el uranio)
2. Fusión
Núcleos ligeros ( $A < 56$ ) que se unen en uno mayor suben por la curva: aumenta la energía de enlace por nucleón, el núcleo resultante está más ligado y la diferencia se libera
Se libera energía
Ej.: $^{2} H +^{3} H \to^{4} He + n$ .
3. Fisión
Un núcleo pesado ( $A > 56$ ) que se rompe en dos medios sube hacia el máximo: los fragmentos están más ligados
Se libera energía
Ej.: $^{235} U + n \to$ dos núcleos medios + neutrones.