Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2012 · Extraordinaria 2012

1.A2 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
3 resultados comprobados en 2 apartados
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La estación espacial internacional gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular a una altura $h = 340 km$ sobre la superficie terrestre. Deduce la expresión teórica y calcula el valor numérico de: Datos: constante de gravitación universal $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$ ; radio de la Tierra $R = 6400 km$ ; masa de la Tierra $M = 6 \cdot 1 0^{24} kg$

a)La velocidad de la estación espacial en su movimiento alrededor de la Tierra. ¿Cuántas órbitas completa al día?
b)La aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra la estación espacial.

Órbita a h = 340 km

Apartado a

1. Velocidad orbital
$\frac{GM m}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r} \Rightarrow v = \frac{GM}{r}$ con $r = R + h = 6, 74 \cdot 1 0^{6} m$
$v = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{6 , 74 \cdot 1 0 ^{6}} = 7706 m/s$
2. Periodo y órbitas por día
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \cdot 6 , 74 \cdot 1 0 ^{6}}{7706} = 5496 s$ ; $n = \frac{86400}{T}$
$n = 15, 7$ órbitas al día
Cada órbita dura unos 92 minutos.

Apartado b

1. Aceleración de la gravedad a esa altura
$g = \frac{GM}{r ^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 6 \cdot 1 0 ^{24}}{( 6 , 74 \cdot 1 0 ^{6} ) ^{2}}$
$g = 8, 81 m/ s^{2}$
Solo un 10 % menos que en la superficie: la «ingravidez» no se debe a que no haya gravedad, sino a que la estación está en caída libre.

1.B1.5 puntos

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La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de la Luna es de $2375 m/s$ . Calcula la velocidad de escape de dicho objeto desde la superficie de un planeta de radio 4 veces el de la Luna y masa 80 veces la de la Luna.

1. Velocidad de escape
$v_{e} = \frac{2 GM}{R}$
2. Cociente
$\frac{v _{e}^{'}}{v _{e}} = \frac{M ^{'} / R ^{'}}{M / R} = \frac{80}{4} = 20 = 4, 47$
3. Valor
$v_{e}^{'} = 4, 47 \cdot 2375$
$v_{e}^{'} = 1, 06 \cdot 1 0^{4} m/s$
Aproximadamente $10, 6$ km/s.

2.A2 puntos

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Una persona de masa $60 kg$ que está sentada en el asiento de un vehículo, oscila verticalmente alrededor de su posición de equilibrio comportándose como un oscilador armónico simple. Su posición inicial es $y (0) = A cos (π /6)$ donde $A = 1, 2 cm$ , y su velocidad inicial $v_{y} (0) = - 2, 4 sen (π /6) m/s$ . Calcula, justificando brevemente:

a)La posición vertical de la persona en cualquier instante de tiempo, es decir, la función $y (t)$ .
b)La energía mecánica de dicho oscilador en cualquier instante de tiempo.

y(t) = 1,2 cos(200t + π/6) cm

Apartado a

1. Forma de la solución
$y (t) = A cos (ω t + φ_{0})$ ; $v_{y} = - A ω sen (ω t + φ_{0})$ . Con $y (0) = A cos (π /6)$ resulta $φ_{0} = \frac{π}{6}$
2. Frecuencia angular
$v_{y} (0) = - A ω sen \frac{π}{6} = - 2, 4 sen \frac{π}{6} \Rightarrow A ω = 2, 4 m/s$
$ω = \frac{2 , 4}{0 , 012} = 200 rad/s$
3. Posición
$y (t) = 0, 012 cos (200 t + \frac{π}{6}) m$
$y (t) = 0, 012 cos (200 t + π /6) m$

Apartado b

1. Energía mecánica
$E = \frac{1}{2} m (A ω)^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ con $k = m ω^{2} = 60 \cdot 20 0^{2} = 2, 4 \cdot 1 0^{6} N/m$
$E = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 2, 4^{2} = 172, 8 J$
Constante en todo instante: se intercambian energía cinética y potencial.

2.B1.5 puntos

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Explica qué es una onda estacionaria. Describe algún ejemplo en el que se produzcan ondas estacionarias.

Modo n = 3 de una cuerda

1. Definición
Onda que resulta de la superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos contrarios: $y = 2 A sen (k x) cos (ω t)$
No transporta energía neta: la amplitud depende de la posición.
2. Nodos y vientres
Nodos (amplitud nula) en $x = n \frac{λ}{2}$ ; vientres (amplitud $2 A$ ) en $x = (2 n + 1) \frac{λ}{4}$
3. Ejemplo
Una cuerda de guitarra fija por los dos extremos: solo vibran los modos con $L = n \frac{λ}{2}$ , con nodos en los extremos. También tubos sonoros (órgano, flauta).

3.A1.5 puntos

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¿Dónde se debe situar un objeto para que un espejo cóncavo forme imágenes virtuales? ¿Qué tamaño tienen estas imágenes en relación al objeto? Justifica la respuesta con ayuda de las construcciones geométricas necesarias.

Objeto entre F y el espejo

1. Posición del objeto
Entre el espejo y el foco: $∣ s ∣ < ∣ f ∣ = R /2$
2. Ecuación del espejo y aumento
$\frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s}$ con $s < 0$ , $f < 0$ y $∣ s ∣ < ∣ f ∣$ ⇒ $s^{'} > 0$ (detrás del espejo) y $m = - \frac{s ^{'}}{s} = \frac{f}{f - s} > 1$
Imagen virtual, derecha y mayor que el objeto
3. Construcción geométrica
Rayo paralelo al eje: se refleja por el foco. Rayo que sale del objeto hacia el centro de curvatura: se refleja sobre sí mismo. Las prolongaciones de los reflejados se cortan detrás del espejo
Si $∣ s ∣ > ∣ f ∣$ la imagen es real e invertida.

3.B2 puntos

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Una placa de vidrio se sitúa horizontalmente sobre un depósito de agua de forma que la parte superior de la placa está en contacto con el aire como muestra la figura. Un rayo de luz incide desde el aire a la cara superior del vidrio formando un ángulo $α = 3 0^{\circ}$ con la vertical. Datos: índice de refracción del agua: $1, 33$ ; índice de refracción del aire: $1$

a)Calcula el ángulo de refracción del rayo de luz al pasar del vidrio al agua.
b)Deduce la expresión de la distancia ( $A B$ ) de desviación del rayo tras atravesar el vidrio y calcula su valor numérico. La placa de vidrio tiene un espesor $d = 30 mm$ y su índice de refracción es de $1, 6$ .

Aire → vidrio (n = 1,6) → agua (1,33)

Apartado a

1. Ángulo en el vidrio
$1 \cdot sen 3 0^{\circ} = 1, 6 sen θ_{v} \Rightarrow sen θ_{v} = 0, 3125$
$θ_{v} = 18, 2 1^{\circ}$
2. Ángulo en el agua
$1, 6 sen θ_{v} = 1, 33 sen θ_{a} \Rightarrow sen θ_{a} = \frac{0 , 5}{1 , 33} = 0, 3759$
$θ_{a} = 22, 0 8^{\circ}$
El resultado no depende del vidrio: $n_{ai r e} sen α = n_{a g u a} sen θ_{a}$ .

Apartado b

1. Expresión de $A B$
En el triángulo rectángulo de cateto $d$ y ángulo $θ_{v}$ : $A B = d tan θ_{v} = d tan (arcsen \frac{n _{ai r e} sen α}{n _{v}})$
2. Valor
$A B = 30 mm \cdot tan 18, 2 1^{\circ} = 30 \cdot 0, 3290$
$A B = 9, 87 mm$
Es el desplazamiento horizontal del rayo al atravesar el vidrio.

4.A1.5 puntos

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Una partícula de carga $q = 2 μ C$ que se mueve con velocidad $v = (1 0^{3} ) m/s$ entra en una región del espacio en la que hay un campo eléctrico uniforme $E = (- 3 ) N/C$ y también un campo magnético uniforme $B = (2 k) mT$ . Calcula el vector fuerza total que actúa sobre esa partícula y representa todos los vectores involucrados (haz coincidir el plano $X Y$ con el plano del papel).

v, E, B y fuerzas (plano XY = papel)

1. Fuerza eléctrica
$F_{e} = q E = 2 \cdot 1 0^{- 6} \cdot (- 3 )$
$F_{e} = - 6 \cdot 1 0^{- 6}  N$
2. Fuerza magnética
$F_{m} = q v \times B = 2 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{3} \cdot 2 \cdot 1 0^{- 3} ( \times k)$ ; $ \times k = - $
$F_{m} = - 4 \cdot 1 0^{- 6}  N$
3. Fuerza total (Lorentz)
$F = q (E + v \times B) = F_{e} + F_{m}$
$F = - 1 \cdot 1 0^{- 5}  N$
Ambas fuerzas apuntan en $- Y$ : se suman.

4.B1.5 puntos

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Una carga puntual de valor $q_{1} = - 2 μ C$ se encuentra en el punto $(0, 0) m$ y una segunda carga de valor desconocido, $q_{2}$ se encuentra en el punto $(3, 0) m$ . Calcula el valor que debe tener la carga $q_{2}$ para que el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $(5, 0) m$ sea nulo. Representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas en ese punto. Dato: constante de Coulomb, $k = 9 \cdot 1 0^{9} N m^{2} / C^{2}$

Campo nulo en (5, 0)

1. Campo de $q_{1}$ en $(5, 0)$
$E_{1} = \frac{k ∣ q _{1} ∣}{5 ^{2}} = \frac{9 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 6}}{25}$ ; $q_{1} < 0$ : hacia ella ( $- X$ )
$E_{1} = - 720  N/C$
2. Condición
Hace falta $E_{2} = + 720 $ : alejándose de $q_{2}$ (a 2 m de $P$ ), así que $q_{2} > 0$ : $\frac{k q _{2}}{2 ^{2}} = 720$
3. Valor de $q_{2}$
$q_{2} = \frac{720 \cdot 4}{9 \cdot 1 0 ^{9}}$
$q_{2} = + 3, 2 \cdot 1 0^{- 7} C = 0, 32 μ C$

5.A1.5 puntos

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Uno de los procesos que tiene lugar en la capa de ozono de la estratosfera es la rotura del enlace de la molécula de oxígeno por la radiación ultravioleta del sol. Para que este proceso tenga lugar hay que aportar a cada molécula $5 eV$ . Calcula la longitud de onda mínima que debe tener la radiación incidente para que esto suceda. Explica brevemente tus razonamientos. Datos: carga elemental $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

1. Energía umbral
$E = 5 eV = 5 \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} = 8 \cdot 1 0^{- 19} J$ por molécula (un fotón por molécula)
2. Longitud de onda límite
$E = \frac{h c}{λ} \Rightarrow λ = \frac{h c}{E} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{8 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ = 2, 49 \cdot 1 0^{- 7} m = 249 nm$
Es radiación ultravioleta.
3. Interpretación
Cuanto menor es $λ$ , mayor es la energía del fotón: la rotura ocurre si $λ \leq 249$ nm
El valor límite que aporta justo los $5$ eV es $249$ nm
El valor de $249$ nm es la longitud de onda umbral: con valores más largos (menos energía) no se rompe el enlace.

5.B2 puntos

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El cátodo de una célula fotoeléctrica tiene una longitud de onda umbral de $542 nm$ . Sobre su superficie incide un haz de luz de longitud de onda $160 nm$ . Calcula: Datos: constante de Planck, $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; masa del electrón, $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ ; velocidad de la luz en el vacío $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; carga elemental $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$

a)La velocidad máxima de los fotoelectrones emitidos desde el cátodo.
b)La diferencia de potencial que hay que aplicar para anular la corriente producida en la fotocélula.

Efecto fotoeléctrico: umbral 542 nm

Apartado a

1. Energía cinética máxima
$E_{c} = h c (\frac{1}{λ} - \frac{1}{λ _{0}}) = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0^{8} (\frac{1}{160 \cdot 1 0 ^{- 9}} - \frac{1}{542 \cdot 1 0 ^{- 9}})$
$E_{c} = 8, 76 \cdot 1 0^{- 19} J$
$λ < λ_{0}$ : hay efecto fotoeléctrico.
2. Velocidad máxima
$v = \frac{2 E _{c}}{m _{e}} = \frac{2 \cdot 8 , 76 \cdot 1 0 ^{- 19}}{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31}}$
$v = 1, 39 \cdot 1 0^{6} m/s$

Apartado b

1. Potencial de frenado
$e V_{0} = E_{c} \Rightarrow V_{0} = \frac{8 , 76 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$V_{0} = 5, 48 V$
Con ese potencial ningún fotoelectrón llega al ánodo.

6.A1.5 puntos

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La gráfica de la derecha representa el número de núcleos radiactivos de una muestra en función del tiempo en años. Utilizando los datos de la gráfica deduce razonadamente el valor de la constante de desintegración radiactiva de este material.

N(t) = 1000·2^(−t/5)

1. Periodo de semidesintegración
$N$ pasa de $1000$ a $500$ en $t = 5$ años (y de $500$ a $250$ en otros $5$ años)
$T_{1/2} = 5 a \tilde{n} os$
Se cumple $N = N_{0} e^{- λ t}$ con semividas constantes.
2. Constante de desintegración
$λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{5 a n ~ os}$
$λ = 0, 139 a \tilde{n} o s^{- 1} = 4, 4 \cdot 1 0^{- 9} s^{- 1}$
Comprobación: $N (10) = 1000 e^{- 0, 139 \cdot 10} = 250$ .

6.B1.5 puntos

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Calcula la energía total en kilovatios-hora ( $kW \cdot h$ ) que se obtiene como resultado de la fisión de $1 g$ de $^{235} U$ , suponiendo que todos los núcleos se fisionan y que en cada reacción se liberan $200 MeV$ . Datos: número de Avogadro $N_{A} = 6 \cdot 1 0^{23}$ ; carga elemental $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

1. Número de núcleos
$N = \frac{m}{M} N_{A} = \frac{1}{235} \cdot 6 \cdot 1 0^{23}$
$N = 2, 55 \cdot 1 0^{21}$ núcleos
2. Energía total
$E = N \cdot 200 MeV = 2, 55 \cdot 1 0^{21} \cdot 200 \cdot 1 0^{6} \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19}$
$E = 8, 17 \cdot 1 0^{10} J$
3. En kW·h
$1 kW \cdot h = 3, 6 \cdot 1 0^{6} J$ : $E = \frac{8 , 17 \cdot 1 0 ^{10}}{3 , 6 \cdot 1 0 ^{6}}$
$E = 2, 27 \cdot 1 0^{4} kW \cdot h$
Como el consumo anual de unas 6 viviendas (≈ 3500 kWh/año cada una).