Resolución · PAU Convocatoria Extraordinaria Julio 2011 · Extraordinaria 2011

1.A2 puntos

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

Cómo se comprobó

Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 2 apartados
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La distancia entre el Sol y Mercurio es de $58 \cdot 1 0^{6} km$ y entre el Sol y la Tierra es de $150 \cdot 1 0^{6} km$ . Suponiendo que las órbitas de ambos planetas alrededor del Sol son circulares, calcula la velocidad orbital de: Justifica los cálculos adecuadamente

a)La Tierra.
b)Mercurio.

Mercurio (58·10⁶ km) y Tierra (150·10⁶ km)

Apartado a

1. Velocidad de la Tierra
La Tierra tarda $T_{T} = 365$ días en dar una vuelta: $v_{T} = \frac{2 π r _{T}}{T _{T}} = \frac{2 π \cdot 1 , 5 \cdot 1 0 ^{11}}{365 \cdot 86400}$
$v_{T} = 2, 99 \cdot 1 0^{4} m/s$
El enunciado no da la masa del Sol: se usa el periodo conocido de la Tierra.

Apartado b

1. Relación de velocidades
De $v = G M_{S} / r$ : $\frac{v _{M}}{v _{T}} = \frac{r _{T}}{r _{M}} = \frac{150}{58} = 1, 608$
2. Velocidad de Mercurio
$v_{M} = 1, 608 \cdot 2, 99 \cdot 1 0^{4}$
$v_{M} = 4, 81 \cdot 1 0^{4} m/s$
Equivale a un año mercuriano de $T_{M} = 365 (58/150)^{3/2} = 87, 8$ días (tercera ley de Kepler).

1.B1.5 puntos

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El Apolo 11 fue la primera misión espacial tripulada que aterrizó en la Luna. Calcula el campo gravitatorio en el que se encontraba el vehículo espacial cuando había recorrido $2/3$ de la distancia desde la Tierra a la Luna (considera sólo el campo originado por ambos cuerpos). Datos: distancia Tierra-Luna, $d = 3, 84 \cdot 1 0^{5} km$ ; masa de la Tierra, $M_{T} = 5, 9 \cdot 1 0^{24} kg$ ; masa de la Luna, $M_{L} = 7, 4 \cdot 1 0^{22} kg$ ; constante de gravitación universal $G = 6, 67 \cdot 1 0^{- 11} N m^{2} /k g^{2}$

Campo en el punto a 2/3 de la Tierra

1. Distancias
A la Tierra: $r_{T} = \frac{2}{3} d = 2, 56 \cdot 1 0^{8} m$ . A la Luna: $r_{L} = \frac{1}{3} d = 1, 28 \cdot 1 0^{8} m$
2. Campos de cada cuerpo
$g_{T} = \frac{G M _{T}}{r _{T}^{2}} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 5 , 9 \cdot 1 0 ^{24}}{( 2 , 56 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 6, 00 \cdot 1 0^{- 3} N/kg$ (hacia la Tierra); $g_{L} = \frac{6 , 67 \cdot 1 0 ^{- 11} \cdot 7 , 4 \cdot 1 0 ^{22}}{( 1 , 28 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 3, 01 \cdot 1 0^{- 4} N/kg$ (hacia la Luna)
3. Campo total
Los dos campos tienen la misma dirección y sentidos opuestos: $g = g_{T} - g_{L}$
$g = 5, 70 \cdot 1 0^{- 3} N/kg$ , dirigido hacia la Tierra
Domina aún la Tierra: el punto neutro está más cerca de la Luna (a unos $0, 1 d$ de ella).

2.A1.5 puntos

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Calcula los valores máximos de la posición, velocidad y aceleración de un punto que oscila según la función $x = cos (2 π t + φ_{0})$ metros, donde $t$ se expresa en segundos.

x, v/2π y a/4π² en función de t

1. Posición máxima
$x = A cos (ω t + φ_{0})$ con $A = 1 m$ y $ω = 2 π rad/s$
$x_{ma x} = A = 1 m$
2. Velocidad máxima
$v = - A ω sen (ω t + φ_{0}) \Rightarrow v_{ma x} = A ω$
$v_{ma x} = 2 π = 6, 28 m/s$
3. Aceleración máxima
$a = - A ω^{2} cos (ω t + φ_{0}) \Rightarrow a_{ma x} = A ω^{2}$
$a_{ma x} = 4 π^{2} = 39, 5 m/ s^{2}$
Ninguno de los máximos depende de $φ_{0}$ .

2.B2 puntos

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Una partícula de masa $m = 2 kg$ , describe un movimiento armónico simple cuya elongación viene expresada por la función: $x = 0, 6 sen (24 π t)$ metros, donde $t$ se expresa en segundos. Calcula:

a)La constante elástica del oscilador y su energía mecánica total.
b)El primer instante de tiempo en el que la energía cinética y la energía potencial de la partícula son iguales.

E_c = E_p en t = 1/96 s

Apartado a

1. Constante elástica
$ω = 24 π rad/s$ ; $k = m ω^{2} = 2 \cdot (24 π)^{2}$
$k = 1, 137 \cdot 1 0^{4} N/m$
2. Energía mecánica
$E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1, 137 \cdot 1 0^{4} \cdot 0, 6^{2}$
$E = 2047 J$
Equivale a $\frac{1}{2} m (A ω)^{2}$ .

Apartado b

1. Condición
$E_{c} = E_{p} \Rightarrow E_{p} = \frac{1}{2} E \Rightarrow \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{4} k A^{2} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2}$
$sen (24 π t) = \frac{1}{2}$
2. Primer instante
$24 π t = \frac{π}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{96}$
$t = 0, 0104 s$
Después ocurre cada cuarto de periodo ( $T = 1/12$ s): $t = 1/96 + n /48$ .

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Calcula el valor máximo del ángulo $β$ de la figura, para que un submarinista que se encuentra bajo el agua pueda ver una pelota que flota en la superficie. Justifica brevemente la respuesta. Datos: velocidad de la luz en el agua, $v_{a g u a} = 2, 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; velocidad de la luz en el aire, $v_{ai r e} = 3, 0 \cdot 1 0^{8} m/s$

α = 90° ⇒ β máx = 50,1°

1. Ley de Snell con velocidades
$n = \frac{c}{v} \Rightarrow \frac{sen α}{v _{ai r e}} = \frac{sen β}{v _{a g u a}}$ (ángulos respecto a la vertical)
Los rayos que llegan al agua desde el aire pueden tener $α$ de $0^{\circ}$ a $9 0^{\circ}$ .
2. Caso límite
La pelota que flota «a ras» de la superficie envía rayos rasantes: $α = 9 0^{\circ}$ ( $sen α = 1$ )
$sen β_{ma x} = \frac{v _{a g u a}}{v _{ai r e}} = \frac{2 , 3}{3 , 0} = 0, 767$
3. Ángulo máximo
$β_{ma x} = arcsen 0, 767$
$β_{ma x} = 50, 1^{\circ}$
Para $β > 50, 1^{\circ}$ ningún rayo del exterior llega al ojo: el submarinista solo ve reflejos del fondo (cono de visión de $10 0^{\circ}$ hacia arriba).

3.B1.5 puntos

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¿Dónde debe situarse un objeto delante de un espejo cóncavo para que su imagen sea real? ¿Y para que sea virtual? Razona la respuesta utilizando únicamente las construcciones geométricas que consideres oportunas.

Objeto más allá de F: imagen real

1. Imagen real
Objeto más allá del foco ( $∣ s ∣ > ∣ f ∣ = R /2$ ): el rayo paralelo se refleja por el foco y el rayo por el centro vuelve sobre sí mismo; los rayos reflejados se cortan delante del espejo
Imagen real e invertida
Entre $F$ y $C$ la imagen es mayor y más allá de $C$ menor.
2. Imagen virtual
Objeto entre el foco y el espejo ( $∣ s ∣ < ∣ f ∣$ ): los rayos reflejados divergen y solo se cortan al prolongarlos detrás del espejo
Imagen virtual, derecha y mayor
3. Caso límite
Objeto en el foco: los rayos reflejados salen paralelos y la imagen se forma en el infinito

4.A2 puntos

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Un electrón entra con velocidad constante $v = 10  m/s$ en una región del espacio en la que existen un campo eléctrico uniforme $E = 20  N/C$ y un campo magnético uniforme $B = B_{0} k T$ . Nota: Desprecia el campo gravitatorio.

a)Calcula y representa los vectores fuerza que actúan sobre el electrón (dirección y sentido), en el instante en el que entra en esta región del espacio.
b)Calcula el valor de $B_{0}$ necesario para que el movimiento del electrón sea rectilíneo y uniforme.

F_e hacia −Y y F_m hacia +Y

Apartado a

1. Fuerza eléctrica
$F_{e} = q E = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 20 $
$F_{e} = - 3, 2 \cdot 1 0^{- 18}  N$
Carga negativa: sentido contrario al campo ( $- Y$ ).
2. Fuerza magnética
$F_{m} = q v \times B = - 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 10 B_{0} ( \times k) = + 1, 6 \cdot 1 0^{- 18} B_{0} $
$F_{m} = + 1, 6 \cdot 1 0^{- 18} B_{0}  N$ (sentido $+ Y$ para $B_{0} > 0$ )
$ \times k = - $ y la carga es negativa.

Apartado b

1. Movimiento rectilíneo y uniforme
$\sum F = 0 \Rightarrow F_{e} = F_{m} \Rightarrow 1, 6 \cdot 1 0^{- 18} B_{0} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 18}$
$B_{0} = 2 T$ (es decir, $B_{0} = E / v$ )
Con $B_{0} = 2$ T ambas fuerzas se compensan: selector de velocidades.

4.B1.5 puntos

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Una carga puntual $q$ que se encuentra en un punto $A$ es trasladada a un punto $B$ , siendo el potencial electrostático en $A$ mayor que en $B$ . Discute cómo varía la energía potencial de dicha carga dependiendo de su signo.

1. Variación de la energía potencial
$Δ E_{p} = E_{p} (B) - E_{p} (A) = q (V_{B} - V_{A})$ con $V_{A} > V_{B} \Rightarrow V_{B} - V_{A} < 0$
2. Carga positiva
$q > 0 \Rightarrow Δ E_{p} < 0$
La energía potencial disminuye
La carga se mueve espontáneamente hacia potenciales menores: el campo realiza trabajo positivo.
3. Carga negativa
$q < 0 \Rightarrow Δ E_{p} > 0$
La energía potencial aumenta
Hay que realizar trabajo exterior: una carga negativa «prefiere» ir hacia mayor potencial.

5.A1.5 puntos

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Escribe la expresión del principio de incertidumbre de Heisenberg. Explica lo que significa cada término de dicha expresión.

1. Expresión
$Δ x \cdot Δ p_{x} \geq \frac{ℏ}{2} = \frac{h}{4 π}$
2. Significado de cada término
$Δ x$ : incertidumbre en la posición de la partícula. $Δ p_{x}$ : incertidumbre en la componente de su cantidad de movimiento en la misma dirección. $ℏ = h /2 π$ : constante de Planck reducida ( $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34}$ J·s)
No se puede conocer a la vez con precisión arbitraria la posición y el momento: si $Δ x \to 0$ entonces $Δ p \to \infty$ .
3. Interpretación
Es una limitación de principio, no del instrumento de medida; también $Δ E \cdot Δ t \geq ℏ/2$
Consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia.

5.B2 puntos

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Desde la Tierra se lanza una nave espacial que se mueve con una velocidad constante de valor el $70 %$ de la velocidad de la luz. La nave transmite datos a la Tierra mediante una radio alimentada por una batería, que dura $15$ años medidos en un sistema en reposo.

a)¿Cuánto tiempo dura la batería de la nave, según el sistema de referencia de la Tierra? ¿En cuál de los dos sistemas de referencia se mide un tiempo dilatado?
b)Según el sistema de referencia de la nave, ¿a qué distancia se encuentra la Tierra en el instante en que la batería se agota?

Contracción: 14,7 al → 10,5 al

Apartado a

1. Factor de Lorentz
$γ = \frac{1}{1 - 0 , 7 ^{2}} = \frac{1}{0 , 51} = 1, 400$
2. Tiempo en la Tierra
Los $15$ años son el tiempo propio $Δ t_{0}$ (en reposo respecto a la batería): $Δ t = γ Δ t_{0} = 1, 400 \cdot 15$
$Δ t = 21, 0 a \tilde{n} os$
El tiempo dilatado es el medido en el sistema de la Tierra, que ve moverse la batería.

Apartado b

1. Distancia vista desde la nave
En el sistema de la nave la Tierra se aleja a $0, 7 c$ durante $15$ años propios: $d = v Δ t_{0} = 0, 7 c \cdot 15 a \tilde{n} os$
$d = 10, 5 a \tilde{n} os luz = 9, 9 \cdot 1 0^{16} m$
Es la contracción de longitudes: en el sistema Tierra la distancia es $0, 7 \cdot 21 = 14, 7$ al y $14, 7/ γ = 10, 5$ al.

6.A1.5 puntos

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El $_{55}^{124} Cs$ es un isótopo radiactivo cuyo periodo de semidesintegración es de $30, 8 s$ . Si inicialmente se tiene una muestra con $3 \cdot 1 0^{16}$ núcleos de este isótopo, ¿cuántos núcleos habrá $2$ minutos después?

N(t) = N₀·2^(−t/30,8)

1. Ley de desintegración
$N = N_{0} e^{- λ t} = N_{0} 2^{- t / T_{1/2}}$ con $λ = \frac{ln 2}{T _{1/2}} = \frac{0 , 693}{30 , 8} = 0, 0225 s^{- 1}$
2. Núcleos tras $t = 120$ s
$N = 3 \cdot 1 0^{16} \cdot e^{- 0, 0225 \cdot 120} = 3 \cdot 1 0^{16} \cdot 2^{- 3, 896}$
$N = 2, 0 \cdot 1 0^{15}$ núcleos
Han pasado casi 4 semividas: queda aproximadamente $1/15$ de la muestra.

6.B1.5 puntos

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La longitud de onda de De Broglie de un electrón coincide con la de un fotón cuya energía (en el vacío) es de $1 0^{8} eV$ . Calcula la longitud de onda del electrón y su energía cinética expresada en $eV$ . Datos: constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ ; velocidad de la luz en el vacío $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ ; masa del electrón $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$ ; carga elemental $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

1. Longitud de onda del fotón
$λ = \frac{h c}{E} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{1 0 ^{8} \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ = 1, 24 \cdot 1 0^{- 14} m$
El electrón tiene la misma $λ$ .
2. Cantidad de movimiento del electrón
$p = \frac{h}{λ} = \frac{E _{f o t o n}}{c} = 5, 33 \cdot 1 0^{- 20} kg m/s$ ; $p c = 1 0^{8} eV = 100$ MeV, muy superior a $m_{e} c^{2} = 0, 511$ MeV: el electrón es relativista
3. Energía cinética (relativista)
$E_{c} = (p c)^{2} + (m_{e} c^{2})^{2} - m_{e} c^{2} = (1 0^{8})^{2} + (5, 12 \cdot 1 0^{5})^{2} - 5, 12 \cdot 1 0^{5} eV$
$E_{c} = 9, 95 \cdot 1 0^{7} eV \approx 99, 5 MeV$
La fórmula clásica $p^{2} /2 m$ daría $9, 8 \cdot 1 0^{9}$ eV, absurdamente mayor que la energía total: no es válida aquí.