Resolución · PAU Convocatoria Ordinaria Junio 2010 · Ordinaria 2010

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Cálculo simbólico: un programa de álgebra (SymPy) rehace las cuentas con fracciones y raíces exactas y comprueba que el resultado coincide.

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Método: SymPy rehace los resultados exactos y comprueba que coinciden.
2 resultados comprobados en 1 apartado
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Un planeta gira alrededor del sol con una trayectoria elíptica. Razona en qué punto de dicha trayectoria la velocidad del planeta es máxima.

Perihelio: v máxima; afelio: v mínima

1. Conservación del momento angular
La fuerza gravitatoria es central: $L = m r \times v$ es constante; en el perihelio y el afelio $r ⊥ v$ , luego $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$
$v \propto \frac{1}{r}$
Es la segunda ley de Kepler (áreas iguales en tiempos iguales).
2. Punto de velocidad máxima
La velocidad es máxima donde $r$ es mínimo, es decir, en el perihelio (punto más cercano al Sol)
Perihelio
También se ve con la energía: $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GM m}{r}$ constante, así que la energía cinética es mayor donde $r$ es menor.

1.B2 puntos

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Un objeto de masa $m_{1}$ se encuentra situado en el origen de coordenadas, mientras que un segundo objeto de masa $m_{2}$ se encuentra en un punto de coordenadas $(8, 0) m$ . Considerando únicamente la interacción gravitatoria y suponiendo que son masas puntuales, calcula:

a)La relación entre las masas $m_{1} / m_{2}$ si el campo gravitatorio en el punto $(2, 0) m$ es nulo.
b)El módulo, dirección y sentido del momento angular de la masa $m_{2}$ con respecto al origen de coordenadas si $m_{2} = 200 kg$ y su velocidad es $(0, 100) m/s$ .

Campo nulo en (2, 0)

Apartado a

1. Distancias
El punto $(2, 0)$ está a $2$ m de $m_{1}$ y a $6$ m de $m_{2}$ ; los campos son opuestos
2. Campo nulo
$\frac{G m _{1}}{2 ^{2}} = \frac{G m _{2}}{6 ^{2}} \Rightarrow \frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{4}{36}$
$\frac{m _{1}}{m _{2}} = \frac{1}{9}$
La masa más cercana al punto es la menor.

Apartado b

1. Momento angular
$L = r \times m_{2} v = 200 (8 ) \times (100 ) = 200 \cdot 800 k$
$L = 1, 6 \cdot 1 0^{5} k kg m^{2} /s$
Módulo $1, 6 \cdot 1 0^{5}$ , dirección $Z$ (perpendicular al plano del movimiento) y sentido $+ Z$ .

2.A2 puntos

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Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es $A = 2 cm$ , el periodo $T = 200 ms$ y la elongación en el instante inicial es $y (0) = + 1 cm$ .

a)Escribe la ecuación de la elongación del movimiento en cualquier instante $y (t)$ .
b)Representa gráficamente dicha elongación en función del tiempo.

y(t) = 2 sen(10πt + π/6) cm

Apartado a

1. Frecuencia angular
$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{0 , 2}$
$ω = 10 π = 31, 4 rad/s$
2. Fase inicial
$y (0) = A sen φ_{0} = 1 \Rightarrow sen φ_{0} = \frac{1}{2}$ ; se toma el valor con velocidad inicial positiva
$φ_{0} = \frac{π}{6} rad$
La otra solución, $5 π /6$ , corresponde a velocidad inicial negativa (el enunciado no lo precisa).
3. Ecuación
$y (t) = A sen (ω t + φ_{0})$
$y (t) = 2 sen (10 π t + \frac{π}{6}) cm$
Equivale a $y = 2 cos (10 π t - π /3)$ cm.

Apartado b

1. Gráfica
Sinusoide de amplitud $2$ cm y periodo $0, 2$ s que parte de $1$ cm subiendo; primer máximo en $t = \frac{π /2 - π /6}{10 π} = \frac{1}{30} s = 33 ms$ y primer cero en $t = \frac{π - π /6}{10 π} = 83 ms$
Cada $T /2 = 100$ ms alterna el signo.

2.B1.5 puntos

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Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia se duplica, manteniendo la amplitud constante, ¿qué ocurre con el periodo, la velocidad máxima y la energía total? Justifica la respuesta.

1. Periodo
$T = \frac{1}{f}$ : si $f^{'} = 2 f$
$T^{'} = \frac{T}{2}$
2. Velocidad máxima
$v_{ma x} = A ω = 2 π f A$ : con $A$ constante y $f^{'} = 2 f$
$v_{ma x}^{'} = 2 v_{ma x}$
3. Energía total
$E = \frac{1}{2} m ω^{2} A^{2} = 2 π^{2} m f^{2} A^{2}$ (con $m$ constante; equivale a multiplicar $k = m ω^{2}$ por 4)
$E^{'} = 4 E$
La energía es proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud.

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Un rayo de luz se propaga por una fibra de cuarzo con velocidad de $2 \cdot 1 0^{8} m/s$ , como muestra la figura. Teniendo en cuenta que el medio que rodea a la fibra es aire, calcula el ángulo mínimo con el que el rayo debe incidir sobre la superficie de separación cuarzo-aire para que éste quede confinado en el interior de la fibra. Datos: índice de refracción del aire $n_{A} = 1$ ; velocidad de la luz en el aire $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$

Reflexión total para θ ≥ 41,8°

1. Índice de refracción del cuarzo
$n_{Q} = \frac{c}{v} = \frac{3 \cdot 1 0 ^{8}}{2 \cdot 1 0 ^{8}}$
$n_{Q} = 1, 5$
2. Condición de confinamiento
El rayo queda atrapado si hay reflexión total: $θ \geq θ_{c}$ con $n_{Q} sen θ_{c} = n_{A} sen 9 0^{\circ}$
$sen θ_{c} = \frac{1}{1 , 5} = 0, 667$
3. Ángulo mínimo
$θ_{m} = θ_{c} = arcsen 0, 667$
$θ_{m} = 41, 8^{\circ}$
Con ángulos de incidencia menores, parte de la luz se refracta al aire y se pierde.

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Un objeto de $1 cm$ de altura se sitúa entre el centro de curvatura y el foco de un espejo cóncavo. La imagen proyectada sobre una pantalla plana situada a $2 m$ del objeto es tres veces mayor que el objeto.

a)Dibuja el trazado de rayos.
b)Calcula la distancia del objeto y de la imagen al espejo.
c)Calcula el radio del espejo y la distancia focal.

Objeto entre C y F: imagen real, invertida, ×3

Apartado a

1. Trazado de rayos
Rayo paralelo al eje: se refleja por $F$ . Rayo por $C$ : vuelve sobre sí mismo. Se cortan a $3$ m delante del espejo
Imagen real, invertida y 3 veces mayor

Apartado b

1. Planteamiento
Imagen proyectable ⇒ real ⇒ invertida: $m = - \frac{s ^{'}}{s} = - 3 \Rightarrow s^{'} = 3 s$ (ambas negativas, delante del espejo); la pantalla está $2$ m más lejos que el objeto
$∣ s^{'} ∣ - ∣ s ∣ = 2 m$
2. Distancias
$3∣ s ∣ - ∣ s ∣ = 2 \Rightarrow ∣ s ∣ = 1 m$
$s = - 1 m$ ; $s^{'} = - 3 m$
Objeto a 1 m e imagen a 3 m del espejo; tamaño de la imagen $3$ cm, invertida.

Apartado c

1. Distancia focal
$\frac{1}{s} + \frac{1}{s ^{'}} = \frac{1}{f} \Rightarrow \frac{1}{f} = \frac{1}{- 1} + \frac{1}{- 3} = - \frac{4}{3}$
$f = - 0, 75 m$
Foco a $0, 75$ m delante del espejo (espejo cóncavo, $f < 0$ en DIN).
2. Radio
$R = 2 f$
$R = - 1, 5 m$ (módulo $1, 5$ m)
Comprobación: el objeto a 1 m está entre $F$ (0,75 m) y $C$ (1,5 m).

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Un electrón se mueve dentro de un campo eléctrico uniforme $E = E (- )$ . El electrón parte del reposo desde el punto $A$ , de coordenadas $(1, 0) m$ , y llega al punto $B$ con una velocidad de $1 0^{7} m/s$ después de recorrer $50 cm$ . Datos: carga del electrón $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ ; masa del electrón $m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} kg$

a)Indica la trayectoria del electrón y las coordenadas del punto $B$ .
b)Calcula el módulo del campo eléctrico.

E hacia −Y: el electrón sube

Apartado a

1. Fuerza y trayectoria
$F = - e E = - e \cdot E (- ) = + e E $ : la fuerza es constante y apunta hacia $+ Y$ . Parte del reposo: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado a lo largo de la recta $x = 1$ m
Trayectoria rectilínea en el sentido $+ Y$
2. Punto B
Recorre $0, 5$ m en el sentido $+ Y$ desde $A (1, 0)$
$B = (1, 0, 5) m$

Apartado b

1. Teorema de las fuerzas vivas
$W = e E d = Δ E_{c} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$
$E = \frac{m _{e} v ^{2}}{2 e d} = \frac{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 31} \cdot ( 1 0 ^{7} ) ^{2}}{2 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 0 , 5}$
$v = 1 0^{7} m/s \approx 0, 03 c$ : la mecánica clásica es válida.
2. Módulo del campo
$E = \frac{9 , 1 \cdot 1 0 ^{- 17}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$E = 569 N/C$
Equivale a una diferencia de potencial de $284$ V entre $A$ y $B$ .

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¿Qué energía libera una tormenta eléctrica en la que se transfieren 50 rayos entre las nubes y el suelo? Supón que la diferencia de potencial media entre las nubes y el suelo es de $1 0^{9} V$ y que la cantidad de carga media transferida en cada rayo es de $25 C$ .

1. Energía de un rayo
$W = q Δ V = 25 \cdot 1 0^{9}$
$W_{1} = 2, 5 \cdot 1 0^{10} J$
Es el trabajo del campo al mover la carga a través de la diferencia de potencial.
2. Energía de 50 rayos
$E = 50 W_{1} = 50 \cdot 2, 5 \cdot 1 0^{10}$
$E = 1, 25 \cdot 1 0^{12} J$
Unos $3, 5 \cdot 1 0^{5}$ kW·h, del orden de la energía de una pequeña bomba.

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Si se duplica la frecuencia de la radiación que incide sobre un metal ¿se duplica la energía cinética de los electrones extraídos? Justifica brevemente la respuesta.

E_c = hf − W₀

1. Ecuación de Einstein
$E_{c} = h f - W_{0}$ , donde $W_{0}$ es el trabajo de extracción del metal
2. Al duplicar la frecuencia
$E_{c}^{'} = h (2 f) - W_{0} = 2 (h f - W_{0}) + W_{0} = 2 E_{c} + W_{0}$
$E_{c}^{'} = 2 E_{c} + W_{0} > 2 E_{c}$
No se duplica: aumenta más del doble, porque el trabajo de extracción es un término fijo que no se duplica.

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Calcula la longitud de onda de una línea espectral correspondiente a una transición entre dos niveles electrónicos cuya diferencia de energía es de $2 eV$ . Datos: constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$ , carga del electrón $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ , velocidad de la luz $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ .

1. Energía del fotón emitido
$Δ E = 2 eV = 2 \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} = 3, 2 \cdot 1 0^{- 19} J$
2. Longitud de onda
$Δ E = h f = \frac{h c}{λ} \Rightarrow λ = \frac{h c}{Δ E} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 2 \cdot 1 0 ^{- 19}}$
$λ = 6, 22 \cdot 1 0^{- 7} m = 622 nm$
Luz visible, anaranjada-roja.

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Calcula la longitud de onda de De Broglie de una pelota de $500 g$ que se mueve a $2 m/s$ y explica su significado. ¿Sería posible observar la difracción de dicha onda? Justifica la respuesta. Dato: constante de Planck $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J s$

1. Longitud de onda
$λ = \frac{h}{m v} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34}}{0 , 5 \cdot 2}$
$λ = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} m$
2. Significado
Toda partícula en movimiento lleva asociada una onda de materia de longitud $λ = h / p$ (dualidad onda-corpúsculo)
3. ¿Difracción observable?
La difracción exige aberturas u obstáculos del orden de $λ$ ; aquí $λ \sim 1 0^{- 33}$ m, $1 0^{18}$ veces menor que un núcleo atómico
No es observable
En los objetos macroscópicos el carácter ondulatorio es indetectable porque $h$ es tan pequeña.

6.B1.5 puntos

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Si la actividad de una muestra radiactiva se reduce un $75 %$ en $6$ días, ¿cuál es su periodo de semidesintegración? Justifica brevemente tu respuesta.

1. Fracción que queda
Si se reduce un $75 %$ , queda el $25 %$ : $\frac{A}{A _{0}} = \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$
2. Número de semividas
$A = A_{0} 2^{- t / T_{1/2}} \Rightarrow \frac{t}{T _{1/2}} = 2$
$t = 2 T_{1/2}$
3. Periodo
$T_{1/2} = \frac{6 d}{2}$
$T_{1/2} = 3 d \overset{ı}{ˊ} as$
Comprobación con la ley exponencial: $λ = ln 4/6 = 0, 231$ d $^{- 1}$ y $T_{1/2} = ln 2/ λ = 3$ d.