Matemáticas II resuelto paso a paso: Ordinaria 2025

Al multiplicar $A$ por sí misma (es triangular superior, así que conviene ir fila a fila):

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& \alpha +{\alpha }^2& 0\\ 0& {\alpha }^2& 0\\ 0& 0& (1-\alpha {)}^2\end{array}\right)$

Igualando $A^2=A$ aparecen tres condiciones: $\alpha +{\alpha }^2=\alpha \Rightarrow \alpha =0$; ${\alpha }^2=\alpha \Rightarrow \alpha =0$ o $\alpha =1$; $(1-\alpha {)}^2=1-\alpha \Rightarrow \alpha =0$ o $\alpha =1$. Para que las tres se cumplan a la vez solo vale $\alpha =0$ — con $\alpha =1$ falla la primera ($1+1\ne 1$).

Solución: $\alpha =0$.

$A$ es triangular superior, así que $\det (A)$ es el producto de la diagonal:

$\det (A)=1\cdot \alpha \cdot (1-\alpha )=\alpha (1-\alpha )$

Existe inversa cuando $\alpha \ne 0$ y $\alpha \ne 1$. Resolviendo $A\cdot A^{-1}=I$ fila a fila:

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1/\alpha & 0\\ 0& 0& 1/(1-\alpha )\end{array}\right),\alpha \notin \{0,1\}$

Desarrollando el determinante de la matriz de coeficientes por la primera fila:

$\det (A)=3(2a+5)+2(4+5)-3(2-a)=9a+27$

Se anula en $a=-3$. Para $a\ne -3$: $\det (A)\ne 0\Rightarrow \text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=3\Rightarrow$ compatible determinado. Para $a=-3$: el rango de $A$ baja a 2 (hay un menor $2\times 2$ no nulo, filas 1 y 3); el rango de la ampliada también sale 2, así que $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=2<3\Rightarrow$ compatible indeterminado (no aparece el caso incompatible en este sistema).

Tomando $z=\lambda$ como parámetro:

$x=\frac{6-\lambda }{5},y=\frac{9-9\lambda }{5},z=\lambda ,\lambda \in \mathbb{R}$

(Comprobación: sustituyendo en las tres ecuaciones originales se obtienen las identidades $0=0$, $-3=-3$ y $3=3$ para cualquier $\lambda$.)

Con $a=0$ el sistema tiene solución única. Despejando de la segunda ecuación $x=\frac{5z-3}{2}$ y sustituyendo en la primera y la tercera se llega a $27=27x\Rightarrow x=1$, y de ahí $z=1$, $y=0$.

Solución: $x=1,y=0,z=1$.

Un punto de $r$ es $(1+2\lambda ,\lambda ,2-\lambda )$. Para que esté en $s$ necesitamos $x=-1$: $1+2\lambda =-1\Rightarrow \lambda =-1$, lo que da el punto $(-1,-1,3)$. Se comprueba que también cumple la segunda ecuación de $s$: $-1+2(-1)+3=0$ ✓.

Punto de corte: $(-1,-1,3)$.

El vector director de $r$ es $(2,1,-1)$ y el de $s$ (parametrizando $s$ como $(-1,\mu ,1-2\mu )$) es $(0,1,-2)$. El plano pasa por $(-1,-1,3)$ y su normal es $(2,1,-1)\times (0,1,-2)=(-1,4,2)$.

$x-4y-2z+3=0$

$P=(1,0,2)$ es exactamente el punto de $r$ con $\lambda =0$ — está sobre la propia recta $r$, que por construcción está contenida en el plano.

$d(P,\text{plano})=0$

(se comprueba sustituyendo: $1-4\cdot 0-2\cdot 2+3=0$).

El vector $\overrightarrow{PQ}=(3,1,1)$ debe estar contenido en el nuevo plano, y para que sea perpendicular a $\pi$ su normal debe ser perpendicular también a la normal de $\pi$, $(3,-1,2)$. Tomamos como normal $(3,-1,2)\times (3,1,1)=(-3,3,6)$, simplificado $(-1,1,2)$.

$x-y-2z+3=0$

(se comprueba que también pasa por $Q$).

$d(Q,\pi )=\frac{|3\cdot 2-1+2\cdot 2-4|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{5}{\sqrt{14}}=\frac{5\sqrt{14}}{14}\approx 1,34$

Se calcula primero el pie de la perpendicular $M$ desde $P$ en la dirección de la normal $(3,-1,2)$: resolviendo $14t-1=4$ se obtiene $t=5/14$ y $M=(1/14,-5/14,12/7)$.

$P^{\prime }=2M-P=\left(\frac{8}{7},-\frac{5}{7},\frac{17}{7}\right)$

Si $x$ es el lado de la base y $h$ la altura, el volumen da $h=80/x^2$. El área lateral es $4xh$ y cuesta 1 céntimo/cm²: $4xh$. La base y la tapa suman $2x^2$ y cuestan 1,25 céntimo/cm²: $2,5x^2$. Sustituyendo $h$:

$P(x)=2,5x^2+\frac{320}{x},x>0(\text{en ceˊntimos})$

$P^{\prime }(x)=5x-\frac{320}{x^2}=0\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4$

Como $P^{\prime \prime }(x)=5+640/x^3>0$ para $x>0$, es un mínimo. La altura es $h=80/4^2=5$.

Dimensiones: base $4\times 4$ cm, altura $5$ cm.

$P(4)=2,5\cdot 16+320/4=40+80=120\text{ ceˊntimos}=1,20€$

Quitando el valor absoluto:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-x^2& \text{si }x<2\\ x^2-2x& \text{si }x\ge 2\end{array}$

Sus raíces son $x=0$ y $x=2$. $f$ es negativa en $(-1,0)$, positiva en $(0,2)$ y positiva en $(2,5)$.

$\text{Aˊrea}={\int }_{-1}^0(x^2-2x)dx+{\int }_0^2(2x-x^2)dx+{\int }_2^5(x^2-2x)dx$

(la primera integral lleva el signo cambiado porque $f$ es negativa ahí). Calculando cada una: $4/3+4/3+18$.

$\text{Aˊrea}=\frac{62}{3}\approx 20,67{\text{ u}}^2$