Tema 4. Tema 4. Sistemas de ecuaciones con parámetros · Forma matricial, Cramer, Rouché-Frobenius y discusión de sistemas según un parámetro · ~35 min

Imagina que una fábrica reparte su producción entre tres líneas y un coeficiente $k$ depende de un precio que todavía no está cerrado. ¿Hay un reparto posible? ¿Uno solo, o muchos? ¿Para algún valor de $k$ el problema se vuelve imposible? Eso es discutir un sistema con parámetro, y es una de las preguntas más repetidas del bloque de Álgebra en la PAU. Este tema fusiona los tres anteriores: usa las matrices para escribir el sistema, los determinantes para decidir cuándo falla y el rango para clasificarlo. Con una receta fija (calcular, igualar a cero, estudiar cada caso crítico) se resuelve casi cualquier sistema de este tipo sin trucos.

• Escribir un sistema como $AX = B$, formar la matriz ampliada $A^*$ y resolverlo con la inversa.
• Resolver un sistema compatible determinado con la regla de Cramer y saber cuándo no se puede usar.
• Clasificar un sistema (SCD, SCI o SI) con el teorema de Rouché-Frobenius, comparando $\operatorname{rg}(A)$, $\operatorname{rg}(A^*)$ y el número de incógnitas.
• Discutir sistemas de $3\times3$, $2\times2$, $3\times2$ y $2\times3$ según el valor de un parámetro, y resolverlos para valores concretos, incluidos los compatibles indeterminados.
• Resolver sistemas homogéneos con parámetro y contestar "¿para qué valores existen soluciones distintas de la trivial?".