Tema 3. Tema 3. Determinantes · Cálculo y propiedades, adjuntos, inversa por determinantes, ecuaciones matriciales y rango · ~31 min

Hay una pregunta que se repite cada año en la PAU: "¿para qué valores del parámetro tiene inversa esta matriz?" Responderla con Gauss-Jordan es larguísimo, con un parámetro de por medio. Con un determinante es una sola cuenta: se calcula un número, se iguala a cero, y los valores que lo anulan son justo los que estropean la inversa. El determinante es un número asociado a cada matriz cuadrada que resume si esa matriz "funciona" (invertible) o se "aplasta" (singular). Este tema te da las técnicas para calcularlo con rapidez, para usarlo en la inversa, en las ecuaciones matriciales y en el rango, y es la herramienta que usarás en el tema 4 para discutir sistemas con parámetros.

• Calcular determinantes de orden 2 y 3 (regla de Sarrus) y de orden superior con ceros y adjuntos.
• Usar las propiedades de los determinantes para simplificar cálculos y para deducir un determinante a partir de otro.
• Calcular menores complementarios, adjuntos y la matriz adjunta, y con ellos la inversa $A^{-1} = \tfrac{1}{|A|}\,[\operatorname{adj}(A)]^t$.
• Hallar los valores de un parámetro para los que una matriz tiene (o no) inversa, y calcular la inversa para un valor concreto.
• Despejar y resolver ecuaciones matriciales y calcular el rango de una matriz, incluso con parámetros, mediante determinantes.